¡Descarga Limitas de Sucesiones: Números Reales, Supremos y Inferiores y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
II. N UMEROS REALS. SUCCESSIONS. L´ ´IMITS DE SUCCESSIONS
- Trobeu, si existeixen, el suprem i l’´ınfim dels seg¨uents subconjunts de R. Tenen m`axim i m´ınim? (a) A = { 1 /n, n 2 N}; (b) B = A [ { 0 }; (c) C = {x 2 Q |x 2 < 4 }; (d) C = {x 2 Q |x 2 < 3 }; (e) els conjunts del problema 4 (f) reconsidereu les respostes anteriors al considera-los com a subconjunts de Q
- Donat a 2 R, a > 0, sigui A = {a, a^2 , a^3 ,.. .}. Determineu si existeixen inf(A) i sup(A). (Distingiu els casos a > 1, a = 1, a < 1).
- Utilitzant la definici´o de l´ımit, demostreu les igualtats (a) i (b) i calculeu la resta:
(a) lim 6 n 1 4 n 13
(b) lim
n
( 1)n n 2
! = 0
(c) lim
n 2 + 1 (d) lim n^2 + 1 2 n 2 + 3 (e) lim ( 1)n^ n n 2 + 1 (f) lim
n
( 1)n n
!
(g) lim 2 n n!
(h) lim n! n n (i) lim
p n + 7
(j) lim
p n n + 1 (k) lim 2 n n + 2 Ajut: per a l’apartat (g) demostra primer que 2n+1^ < n! i per a l’apartat (h) que n n^ > (n + 1)! (a partir de quin n?).
- Determineu el l´ımit de les seg¨uents successions, fent servir els resultats dels problemes 1 i 2 si cal:
(a) an =
n 2
n 2
n 1 n 2
(b) an =
2 n^
(c) a (^) n = 1
( 1)n ^1 3 n ^1
(d) a (^) n = 1 + 3 + 5 +... + (2n 1) n + 1
2 n + 1 2
(e) an = 2 n+1^ + 3n+ 2 n^ + 3n^
(f) a (^) n =
p n + 1
p n; (g) a (^) n =
p n 2 + an 1 n; (h) an =
⇣ (^) p n 2 + n n
⌘ ⇣ (^) p n + 1
p n
⌘ (^) p n;
(i) a 1 =
p 2 , a 2 =
q 2
p 2 ,... , an =
q 2 an 1.
- Prova que les seg¨uents successions definides per recurr`encia tenen l´ımit i calcula’l:
(a) a 1 = 1, an = p 3 an 1 (b) a 1 =
p 2 , an =
p 2 + an 1 (c) a 1 =
, an = a (^2) n 1 +
Escriu els tres primers termes de cada successi´o.
- Alguns teoremes ´utils per al c`acul de l´ımits:
(a) Si {a (^) n } ´es una successi´o de nombres reals positius i lim a^ n a+1 (^) n = l =) lim n p a (^) n = l (b) Si lim |a|^ na+1 (^) n | |= l < 1 =) lim an = 0 (c) Criteri de Stolz: Si {b (^) n } ! + 1 i lim a b^ nn^ abn^ n ^11 = l =) lim a bn^ n = l
Fent ´us del teorema (a), trobeu
(a) lim n
p n, (b) lim
p nn!
n
- Calcula els seg¨uents l´ımits (si existeixen):
(a) lim 12 + 2^2 + · · · + n^2 n 3
(j) lim n + 1 n
p n (b) lim( 1)n^ + ( 1)^2 n ^1 (k) lim P (n) Q(n) (c) lim
✓ 1 +
n
◆ (^) log n (l) lim n!
p n!
(d) lim n
p a n^ + b n^ a, b > 0 (m) lim
p nn!
n (e) lim
✓ (^) n + 3 n + 2
◆ (^5) n 3
(f) lim n
qp 2 3
p 3 · · · n
p n (g) lim 1 k^ + 2k^ + · · · + nk n k+1^ + 1 (h)
1 + · · · + n
p n 4 1
p n 4 (i) lim(
p n + 1
p n)
p n
- Troba si les seg¨uents successions s´on de Cauchy o no:
(a) an =
n (b) a (^) n = ( 1)n
- Demostra que a (^) n = 2n^ ´es un successi´o divergent.
- Sigui a (^) n la successi´o definida per a 1 = 1 i a (^) n+1 =
p 4 + 3a (^) n. Demostreu per inducci´o que, per tot n 2 N es t´e a (^) n < 4 i a (^) n+1 an. Quin ´es el l´ımit de la successi´o?
(a) Proveu que lim
a^ n a+1 (^) n
< 1 implica que lim a (^) n = 0. (b) Apliqueu aquest resultat als apartats b) i c) del problema anterior.
- Demostreu, utilitzant la definici´o, que les seg¨uents successions s´on de Cauchy:
(a) an = ( 1)n 2 n + 1
(b) an =
1 + (1/3)n^
(c) an =
n 1 n
- Sigui {a (^) n } una successi´o de nombres reals.
(a) Demostreu que si lim (a (^) n a (^) n 1 ) = a, llavors lim an n = a.
(b) Apliqueu aquest resultat al c`alcul de lim ln n n
- Demostreu que si {an }! + 1 , llavors lim(1 + 1/an )a^ n^ = e. Apliqueu aquesta propietat al c`alcul dels l´ımits seg¨uents:
(a) lim
✓ 1
n
◆ (^) n ;
(b) lim
✓ (^) n + a n a
◆ (^) n ;
(c) lim n 2 + 3 n 1
n
!n .
- Un capital C es diposita en un banc a un inter
es anual r; n vegades a l’any s’afegeixen al capital els interessos corresponents, es a dir, una fracci´o r/n del capital total. Quin sera el capital despr´es del primer any? Trobeu el l´ımit del resultat quan n! 1.
