¡Descarga Limitas y continuidad de funciones y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
6
III. FUNCIONS. L´IMITS DE FUNCIONS. CONTINU¨ITAT
- Utilitzant la definici´o de l´ımit d’una funci´o en termes d’✏ i demostreu:
(a) lim x! 1
2 x 2 + x
(b) lim x! 0
x 3 |x|
(c) lim x! 0
✓ x sin
x
◆ = 0.
- Determineu els l´ımits seg¨uents:
(a) lim x! 2
x 3 + 8 x 2 4
; (e) (^) xlim!
x 2 1 + x
p x
(b) lim x! 1
p (^3) x 1 p x 1
; (f) lim x! 0
p 1 + x
p 1 x x
(c) lim x! 0
✓ 1 +
x 2
◆ (^) x 1 ; (g) lim x! 1 +
1 x
(d) lim x! 1
1 x
; (h) lim x!a
x n^ a n x a
- Estudieu l’exist`encia dels l´ımits seg¨uents i calculeu-ne el valor quan existeixin:
(a) lim x! 1
1 x 2
(b) lim x! 0 cos
x 2
(c) lim x! 2 [x]. (Nota: [x] vol dir ”part entera de x”).
- Demostreu, fent servir la definici´o, que la funci´o y = sin x ´es cont´ınua per qualsevol x 2 R.
- Estudieu els punts de discontinu¨ıtat i establiu-ne el tipus per a les seg¨uents funcions:
(a) y =
x 3 27 x 2 9
; (c) y = sin (1/x);
(b) y =
a/x 1 a/x
; (d) y = x sin (1/x).
- Determineu els punts de discontinu¨ıtat de la funci´o seg¨uent
f (x) =
( x 2 si x ´es irracional, 0 si x ´es racional.
- Demostreu que qualsevol equaci´o c´ubica (ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, amb a 6 = 0) t´e almenys una sol·luci´o real.
- Demostreu que les seg¨uents equacions tenen al menys una soluci´o real:
(a) x^3 x 2 1 = 0; (b) sin x = x 5.
7
- Una funci´o cont´ınua est`a definida en l’interval [0, 1], i pren valors dins de [0, 1]. Estudiant la funci´o g(x) = f (x) x demostreu que hi ha al menys un punt x 0 2 [0, 1] tal que f (x 0 ) = x 0.
- Donades les seg¨uents funcions, definides als dominis que s’indiquen, determineu si tenen inverses, i per quins valors estan definides:
(a) f (x) = 3x + 2, per x 2 R; (b) g(x) = x 2 + 2x 3, per x 0;
(c) h(x) =
x 2
, per 0 < x 1;
(d) p(x) =
x x + 2
, per x > 2.
- Calculeu
xlim! 0
sin(tan x) x
seguint el procediment seg¨uent: Feu ´us de sin x x tan x, per x 0, per demostrar
lim x! 0
sin x x
= 1, i lim x! 0
tan x x
Utilitzeu aquests dos l´ımits per “comprimir” la funci´o. [ Observaci´o: per a x 0 es pot aplicar el mateix raonament per`o ara amb la desigualtat sin x x tan x. ]
- Trobeu una expressi´o per l’
area A(n) d’un pol´ıgon regular de n costats inscrit en una circumferencia de radi r. Quin ´es el l´ımit d’aquesta `area quan n tendeix a infinit? - Calculeu els l´ımits seg¨uents, raonant amb infinit`esims:
(a) lim x! 0
tan^3 x x 4 + x 3
; (c) lim x! 0
(ex^ 1)^2 sin x tan^3 x
(b) lim x! 0
(1 cos x)^2 3 sin 4 x + sin^5 x
; (d) lim x! 0
1 cos x + x^2 2 x 2
- Calculeu els l´ımits:
(a) lim x!+ 1
ln (x 4 + x 2 + 1) ln (x 10 + 3x 6 + 2)
; (c) lim x! 0
✓ (^) 2 + x 2 x
2 + x 3 x
◆ (^1) /x ;
(b) (^) x!lim+ 1
x 2 + 1 x 2 1
! 2 x 1 ; (d) lim x! 0 +^ | sin x|
1 ln x (^).
- Mireu quines de les seg¨uents funcions s´on uniformement cont´ınues als conjunts indi- cats:
(a) f (x) = 1/x 2 , amb 0 < x < 1; (b) f (x) = 1/(x 2 + 1), amb x 2 R; (c) f (x) = sin x, amb x 2 R.
