Procés mitjançant , Apuntes de Econometría

¡Descarga Procés mitjançant y más Apuntes en PDF de Econometría solo en Docsity!

Inferència estadística

Tema 1

Introducció

• Inferència estadística: procés mitjançant el qual, a

partir de la informació (parcial) proporcionada per una

mostra aleatòria, obtenim unes conclusions que

afecten tota la població.

• Les conclusions estan subjectes a un grau d'incertesa

que podem mesurar a partir del càlcul de probabilitats.

• Motius per emprar una mostra:
  • Població massa gran i, per tant, pot ser molt costós obtenir-ne tota la informació necessària per a la investigació que es vol dur a terme.
  • El procés d'investigació de les característiques de la població que s'estudia impliqui la destrucció dels elements.

Inferència estadística: dos vessants

• Estimació : càlcul del valor de determinades

característiques d'una població. Exemples:

1. quants d’elements té aquesta població, en cas que aquesta quantitat sigui desconeguda;
2. quin és el valor mitjà d'una determinada característica dels elements de la població;
3. la quantitat total d'una d'aquestes característiques dels elements de la població.

• Contrast d'hipòtesis : consisteix a formular una

afirmació sobre la població, que s'anomena hipòtesi

(nul·la), i comprovar si l'evidència que aporta la

informació mostral és compatible o no amb aquesta

hipòtesi.

Estimació

Estimació (I)

• Un estimador és una funció (en principi pot ser qualsevol) de les observacions mostrals que s'empra per calcular el valor d'una magnitud desconeguda d'una població.
• Aquesta magnitud desconeguda és, molt sovint, un paràmetre, una constant, que caracteritza la població (per exemple la mitjana i la variància en una població amb distribució normal), però poden ser altres quantitats (per exemple: la mediana, un determinat quantil, una proporció, el nombre total d'elements).
• Ens centrarem en l'estimació paramètrica: la llei de probabilitat de la població és coneguda a priori, però els paràmetres que la determinen són desconeguts i es volen estimar. Deixarem de banda l'estimació no paramètrica, en què la llei de probabilitat que genera la mostra és desconeguda.

Exemples pràctics d’estimació

• Quina és la mitjana de gent que passa diàriament per un

carrer comercial?

• Quina és la renda mitjana de les famílies d'una

determinada regió?

• Quin percentatge de renda destinen les famílies d'un

determinat lloc a comprar roba?

• Quin és el percentatge de peces defectuoses que surten

d'una determinada línia de producció d'una fàbrica?

• Quin és el rendiment històric mitjà d'un determinat actiu

financer? I quin risc té (mesurat per la seva dispersió o

desviació estàndard)?

• Quina és la intenció de vot d'un determinat partit polític?
• Quantes tonyines roges queden en el món?

Estimació. Sumari

• Definició i alguns exemples
• Definicions prèvies: error d’estimació, biaix, EQM,

estimador lineal

• Propietats desitjables dels estimadors: no

esbiaixament, eficiència, consistència

• Estimació de  i ^2
• Mètodes d’estimació: dels moments, MQO i MV
• Estimació per interval

Definicions prèvies (I)

• Error d’estimació:
  • És una v.a.
• Biaix:
  • És una constant

Definicions prèvies (II)

• Error quadràtic mig:
• Estimador lineal

Estimació. Sumari

• Definició i alguns exemples
• Definicions prèvies: error d’estimació, biaix, EQM,

estimador lineal

• Propietats desitjables dels estimadors: no

esbiaixament, eficiència, consistència

• Estimació de  i ^2
• Mètodes d’estimació: dels moments, MQO i MV
• Estimació per interval

Propietats en mostra finita (II)

• Eficiència : Compara la variància de dos

estimadors. Com menor és la variància d'un

estimador, menor dispersió d'aquest (entorn

del seu centre) i major precisió, major

eficiència.

• Eficiència relativa :

Si ER>1 : és més eficient que

Propietats en mostra finita (III)

• Eficiència absoluta : es defineix dins d'una classe

d'estimadors (per exemple, la classe dels centrats, la dels lineals i centrats...) de manera que l'estimador de variància mínima dins d'una classe és el més eficient (dins d'aquesta classe).

• Estimador lineal òptim (ELO): és l'estimador lineal i

centrat de variància mínima.

• Si s'han de comparar dos estimadors, un dels quals és

centrat, però no l'altre, que té una variància menor, es pot recórrer a l'EQM, que considera ambdós aspectes, el biaix i la variància, i elegir aquell estimador que el tingui menor.

Propietats asimptòtiques (II)

• Consistència
  • Convergència en probabilitat : un estimador és consistent si convergeix en probabilitat en el valor poblacional. Formalment, per a tot >0 arbitràriament petit:

Sempre podem trobar una mostra prou gran de manera que (el valor absolut de) l'error d'estimació sigui inferior a una fita màxima , per petita que sigui, amb probabilitat 1. L'error d'estimació es pot reduir tant com es vulgui augmentant la mida mostral, és a dir, la informació disponible. També es pot escriure com:

Propietats asimptòtiques (III)

• Consistència en EQM : un estimador és consistent en EQM si

Per tant, s'ha de complir:

• Relació entre consistència en EQM i convergència en probabilitat:
• Teorema d’Slutski: si és un estimador consistent de  i h (·) és una funció contínua, aleshores és un estimador consistent de h ().