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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
Facultad de Ciencias Biológicas
Escuela Académico Profesional de Microbiología y Parasitología
CURSO:
Matemática básica y aplicada a la biología
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN FORMATIVA:
“Explorando el poder matemático: Problemas de aplicación”
DOCENTE:
Zavaleta Quipuzcoa, Santos Azucena
ESTUDIANTE / CODIGO:
Llanos Rojas Jhon Paolo / 1051901423
GRUPO:
CICLO Y AULA:
II – A
TRUJILLO – PERU
2023 - II
ÍNDICE
- I. INTRODUCCIÓN
- II. PROBLEMAS DE APLICACIÓN................................................................................. - 2.1. Ecuaciones - 2.2. Inecuaciones - 2.3. Función lineal - 2.4. Función cuadrática - 2.5. Función exponencial - 2.6. Función logarítmica - 2.7. Función raíz cuadrada - 2.8. Función logística - 2.9. Función valor absoluto - 2.10. Límites - 2.11. Límites al infinito - 2.12. Límites laterales
- III. CONCLUSIONES......................................................................................................
- IV. RECOMENDACIONES
- V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................
II. PROBLEMAS DE APLICACIÓN
2.1. ECUACIONES
Problema 01: En la Universiada Nacional de Trujillo, en la escuela profesional de Microbiologia y Parasitologia, los estudiantes del II CICLO aprenderán a elaborar cultivos bacterianos, donde el ingrediente principal es el agar. El docente le pide a Sonia, delegada de aula, comprar dos agares diferentes. Sonia va a comprar los agares, a los cuales denominó: Agar 1 y Agar 2, en Biotienda Trujillo. Inicialmente, el precio del Agar 2 era el doble que el del Agar 1, pero se ha aplicado un descuento del 10% al precio del agar 1 y un 20% al precio del agar 2. En total, Sonia ha pagado 86 soles. ¿Cuál era el precio inicial del Agar 2? ¿Y el precio final del Agar 2 después del descuento? DATOS: ● Precio inicial del Agar 1: Llamémoslo " x " (en soles). ● Precio inicial del Agar 2: Llamémoslo "2 x " (en soles). ● Dto. aplicado al Agar 1: 10%, lo que significa que Sonia pagó el 90% del precio inicial por el Agar 1. ● Dto. aplicado al Agar 2: 20%, lo que significa que sonia pagó el 80% del precio inicial por el Agar 2 ● Costo total pagado por Sonia: 86 soles SOLUCIÓN: Calculamos el precio después de aplicar los descuentos: ⇒ Al aplicar un 10% de descuento en el Agar 1 , su precio se queda en 90. x 100 ⇒ Al aplicar un 20% de descuento en el Agar 2 , su precio se queda en 80. 2 x 100 Como Sonia ha pagado 86 soles, 90. x + 80. 2 x = 86 100 100
Multiplicamos la ecuación por 100: 100 90. x + 80. 2x = 86 100 100 90 x + 80 (2 x ) = 8600 90 x + 160 x = 8600 250 x = 8600 x = 8600 250 x = 34. RESPUESTA: ● El precio inicial del Agar 1 es 34.4 soles y el del Agar 2 es 68.8 soles ( el doble ). ● El precio final del Agar 2 es 55 soles: 80. 2 x **100
- 2(34.4)** ⇒ 55.04 = 55 soles 100
2.2. INECUACIONES
Problema 03: Carlos es un biólogo de la UNMSM y quiere hacer un borde de ancho uniforme con gras sintético alrededor de su laboratorio rectangular, para ello pide ayuda a su amigo Javier, que es Ingeniero Civil. El laboratorio tiene una longitud de 10 pies y un ancho de 6 pies. Si se cuenta con gras para cubrir a lo más 36 pies². ¿Cuál será el máximo valor que puede tomar el ancho del borde? SOLUCIÓN: Sea x : el ancho uniforme para el borde con gras sintético. Por dato se tiene que el área de gras sintético debe ser a lo más de 36 pies², AGS ≤ 36 Pero AGS = (10 + 2 x )(6 + 2 x ) - 60 ⇒ (10 + 2 x )(6 + 2 x ) - 60 ≤ 36 ⇒ 60 + 20x + 12x + 4 x ² - 60 ≤ 36 ⇒ 60 + 32 x + 4 x ² - 60 ≤ 36 ⇒ 32 x + 4 x ² ≤ 36 ⇒ 4x² + 32x - 36 ≤ 0 (sacamos la cuarta parte) ⇒ x² + 8x - 9 ≤ 0 (Factorizamos) ⇒ (x + 9)(x - 1) ≤ 0 x + 9 = 0 x - 1= 0 x = -9 x = 1 ⇒ C.S = [-9 ; 1]
Teniendo en cuenta que x > 0, entonces los valores del ancho del gras sintético varía en el < 0 ; 1] RESPUESTA: El máximo valor que puede tomar el ancho del borde será de 1 pie. Problema 04: La editorial “Trotamundos", determina que el costo por publicar cada ejemplar de la revista MYP de Microorganismos es de S/.16. El ingreso recibido de los distribuidores es S/. 15 por revista. El ingreso por publicidad es 10% de los ingresos recibidos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por arriba de los 4000. ¿Cuál es el número mínimo de ejemplares que deben venderse de modo que la editorial obtenga utilidades? DATOS: ● Costo de cada ejemplar = S/. ● Ingreso de cada ejemplar de los distribuidores = S/. ● Ingreso por publicidad = 10% de los ingresos de los distribuidores por todos los ejemplares vendidos por encima de 4000. SOLUCIÓN: Denotemos el número de ejemplares vendidos como "x". Los costos totales (CT) se calculan como: CT = Costo por ejemplar ***** Número de ejemplares vendidos CT = 16x Los ingresos totales (IT) se calculan como: IT = Ingreso - ejemplar de distribuidores ( Número de ejemplares vendidos) IT = 15x El ingreso por publicidad se aplica sólo a las ventas por encima de 4000 ejemplares. Por lo tanto, si venden más de 4000 ejemplares, el ingreso por publicidad (IP) se calcula como: IP = 10% de los ingresos de los distribuidores por los ejemplares vendidos por encima de 4000 IP = 10%[15(x - 4000)]
DATOS:
● Población inicial de bacterias (P0)) : 5000 bacterias ● Población después de 8 horas (P(8)) : 12000 bacterias ● La variable independiente : tiempo (en horas). ● La variable dependiente: población de bacterias SOLUCIÓN:
1. Define una función lineal que modele el crecimiento de la población de bacterias en función del tiempo (en horas) Para definir la función lineal que modele el crecimiento de la población de bacterias, primero encontramos la pendiente "m" y el valor de la ordenada al origen "b" utilizando los datos proporcionados. ● Población inicial de bacterias (P(0)) = 5000 ● Población después de 8 horas (P(8)) = 12000 Utilizando la ecuación de la recta: P(t) = mt + b Usamos los puntos (0, 5000) y (8, 12000) para encontrar la pendiente: m = (12000 - 5000) = 7000 = 875 (8 - 0) 8 Luego, podemos usar uno de los puntos para encontrar "b." Usaremos (0, 5000) : 5000 = (875)(0) + b 5000 - 0 = b 5000 = b Por lo tanto, la función lineal es: P(t) = 875t + 5000 Donde: ● P(t) = representa la población de bacterias. ● t = representa el tiempo en horas. ● 875 = pendiente de la línea que representa la tasa de crecimiento de la población. ● 5000 = población inicial de bacterias en el cultivo.
2. ¿Cuál será la población de bacterias después de 5 horas de observación? ¿Y después de 12 horas? Para encontrar la población de bacterias después de 5 horas de observación, sustituimos "t" por 5 en la ecuación: P( 5 ) = 875( 5 ) + 5000 P( 5 ) = 4375 + 5000 P( 5 ) = 9375 RESPUESTA: La población de bacterias después de 5 horas es de 9375. Para encontrar la población después de 12 horas, sustituimos "t" por 12 en la ecuación: P( 12 ) = 875( 12 ) + 5000 P( 12 ) = 10500 + 5000 P( 12 ) = 15500 RESPUESTA: La población de bacterias después de 12 horas es de 15500. Problema 06: Un equipo de investigación en microbiología está llevando a cabo un experimento para estudiar la eficacia de un nuevo antibiótico en la inhibición del crecimiento de una población bacteriana en una muestra de cultivo. La población bacteriana inicial es de 5000 bacterias. Se ha observado que la población bacteriana disminuye con el tiempo debido al efecto del antibiótico. Después de 2 horas, la población de bacterias ha disminuido a 4200. Luego, se toma una segunda muestra de la misma población bacteriana después de 4 horas, y la población se reduce aún más a 3200. El laboratorio ha establecido un modelo de función lineal para la disminución de la población bacteriana en función del tiempo, teniendo en cuenta la acción del antibiótico.
- Define una función lineal que modele la disminución de la población bacteriana en función del tiempo (en horas).
- ¿Cuál será la población bacteriana estimada después de 6 horas de exposición al antibiótico?
- El equipo de investigación desea saber cuánto tiempo llevaría reducir la población bacteriana a menos de 1000. Utilizando la función lineal,
2. ¿Cuál será la población bacteriana estimada después de 6 horas de exposición al antibiótico? Para encontrar la población bacteriana estimada después de 6 horas de exposición al antibiótico, sustituimos "t" por 6 en la ecuación: P(6) = −400( 6 ) + 5000 P(6) = −2400 + 5000 P(6) = 2600 RESPUESTA: La población bacteriana estimada después de 6 horas es de 2600 bacterias. 3. El equipo de investigación desea saber cuánto tiempo llevaría reducir la población bacteriana a menos de 1000. Utilizando la función lineal, determina cuántas horas se necesitan para lograr este objetivo. Para determinar cuántas horas se necesitan para reducir la población bacteriana a menos de 1000, configuramos la ecuación: P(t) < 1000 −400t + 5000 < 1000 (Sustituimos la función lineal) −400t + 5000 - 5000 < 1000 - 5000 (Restamos 5000) −400t < −4000 (Dividimos ambos lados por -400) -400t > −4000 (Cambiar la dirección de la desigualdad) −400 - t > RESPUESTA: Por lo tanto, se necesitarán más de 10 horas para reducir la población bacteriana a menos de 1000. 2.4. FUNCIÓN CUADRÁTICA Problema 07: En un laboratorio se introdujo una cierta cantidad de roedores para estudiar su evolución. La función f(x) = -20χ² + 360x + 100 permite calcular la cantidad de roedores que hubo en el laboratorio a los x días de haberlas introducido. A. ¿Qué día la población de roedores fue mayor? B. ¿Cuántos roedores había en la isla en esos 14 días? C. ¿Cuál fue la población inicial de roedores?
SOLUCIÓN:
f(x) = -20x² + 360x + 100 a= -20 b= 360 c= 100 ● Hallamos sus raíces usando la fórmula general ⇒ X1,2 = −𝑏 ± 𝑏² − 4 𝑎𝑐 2 𝑎 ⇒ X1,2 = − 360 ± 360² − 4 .(− 20 )( 100 ) 2 (− 20 ) ⇒ X1,2 = − 360 ± 129600 + 8000 − 40 ⇒ X1,2 = − 360 ± 137600 − 40 ⇒ X1,2 = -360 ± 370.
X1= -360 + 370.94 X2= -360 - 370. -40 - X1= 10.94 X2= -730. -40 - X1= -0.27 X2= 18. ● Hallamos el vértice de la parábola f(x) = -20x² + 360x + 100 VÉRTICE: V(h;k) = V(x;y) → V(9;1720) ⇒ h = -b = -360 = -360 = 9 2a 2(-20) - ⇒ k(h) = -20 h ² + 360 h + 100 ⇒ k(h) = -20( 9 )² + 360( 9 ) + 100 ⇒ k(h) = -1620 + 3240 + 100 ⇒ k(h) = 1720 ● Graficamos la parábola, para ello tabulamos algunos valores: Días (^0 3 6 9 12 15 ) Cantidad de roedores
Problema 08: En los laboratorios de Microbiología y Parasitología de la UNT, se realizan experimentos en alimentos refrigerados de uso diario en casa. El número, N, de bacterias en un alimento refrigerado está dado por: 𝑁 ( 𝑇 ) = 35 𝑇 ² − 70 𝑇 + 400, 2 ≤ 𝑇 ≤ 20 Donde T es la temperatura del alimento en grados Celsius. Cuando el alimento se remueve de la refrigeración, su temperatura está dado por: 𝑇(𝑡) = 2 𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 9, donde t es el tiempo en horas. A. Encuentre N(t) e interprete su significado en contexto del problema B. Encuentre el tiempo cuando el conteo bacterial alcanza 950. DATOS: 𝑁 ( 𝑇 ) = 35 𝑇 ² − 70 𝑇 + 400 , 2 ≤ 𝑇 ≤ 20 𝑇(𝑡) = 2 𝑡 + 1 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 SOLUCIÓN: (NOT)(t) = N(T(t)) (NOT)(t) = N (2 𝑡 + 1) (NOT)(t) = 35( 2 𝑡 + 1) ² − 70( 2 𝑡 + 1) + 400 (NOT)(t) = 35(4t² + 4t+ 1) − 140 𝑡 - 70 + 400 (NOT)(t) = 140t² + 140t + 35 − 140t - 70 + 400 (NOT)(t) = 140t² + 365 ⇒ N(T(t)) = 140t² + 365 ⇒ N(t) = 140t² + 365 DNOT = {t / t ∊ DT ⋀ T(t) ∊ DN} 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 ⋀ 2 ≤ 2t + 1 ≤ 20 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 ⋀ 2 - 1 ≤ 2t + 1 - 1 ≤ 20 - 1 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 ⋀ 1 ≤ 2t ≤ 19 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 ⋀ ≤ ≤ 1 2 2 𝑡 2 19 2 0 ≤ 𝑡 ≤ 9 ⋀ ≤ t ≤ t ∊ [ ; 9] 1 2 19 2 1 2 DNOT = [ ; 9 ] 1 2
RESPONDIENDO A LAS INTERROGANTES:
A. Encuentre N(t) e interprete su significado en contexto del problema N(t) se encuentra por medio de la composición de funciones NOT ⇒ (NOT)(t) = N(T(t)) = N(t) Dando como resultado N(t) ; es decir que el tiempo t está definido por la función N con DNOT = [ ; 9 ] 1 2 B. Encuentre el tiempo cuando el conteo bacterial alcanza 950. N(t) = 140t² + 365 Sabiendo que N(t) = 950 (conteo bacterial), encontrar t SOLUCIÓN: N(t) = 140t² + 365 950 = 140t² + 365 950 - 365 = 140t² 585 = 140t² = t² 585 140 4.1785714286 = t² √4.1785714286 = t 2.044 = t (t = 2.044) ∊ [ ; 9] = DNOT 1 2 RESPUESTA: Sabiendo que el tiempo está en horas se cumple que N(t) alcanza a 950 (número de conteo de bacterias) cuando t = 2.044 horas.
Donde: ● P = Cantidad de colonias de bacterias en función al tiempo. ● P0 = Población inicial de colonias ● K = Constante de crecimiento ● t = Tiempo (horas) ● c = Cada periodo de tiempo que crece Usando los datos del problema, el modelo exponencial que modela el crecimiento de la cantidad de colonias de bacterias Salmonella sp. es el siguiente: C(t)= 80. 3 t/8^ ; 20 ≥ x ≥ 0 Donde: ● C(t) = Cantidad de colonias de bacterias de Salmonella sp. en pollo contaminado en función al tiempo. ● P = Población inicial de colonias de bacterias de Salmonella en el pollo, valor de 80. ● K = Constante de crecimiento, valor de 3 ● t = Tiempo (horas) ● c = cada periodo de tiempo que crece, valor de 8
2. Grafica y calcula el dominio y rango de las función exponenciales del cultivo óptimo de pollo. ¨DOMINIO Y RANGO DEL CULTIVO de BACTERIAS (POLLO)¨ t C(t) P 0 80 Q 8 240 R 10 315, S 12 415, T 15 627, U 20 1247, Dominio : t ∈ [0;20] Rango: C(t) ∈ [80;1247,08]
GRÁFICA
Fuente: Geogebra – Suite Calculadora Elaboración propia
3. ¿Cuál será la cantidad de colonias estimada después de 45 minutos y 13 horas de observación? CULTIVO DE POLLO A LOS 45 MINUTOS
⇒ C(t)= 80. 3 t/
⇒ C(0,75)= 80. 3 0,75/
⇒ C(0,75)= 80. 3 0,
⇒ C(0.75) =80. 3 0,
⇒ C(0.75) =88.
Respuesta: Dentro de 45 minutos habrá 88 colonias de salmonella sp. y un 68% de otra colonia de bacterias. CULTIVO DE POLLO A LOS 13 HORAS
⇒ C(t)= 80. 3 t/
⇒ C(13)= 80. 3 13/
⇒ C(13)= 80. 3 1,
⇒ C(13) = 476,
Respuesta: Dentro de 13 horas habrá 476 colonias de salmonella sp. y un 88% de otra colonia de bacterias.
