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Ejercicio 3.1. Considere una tienda de conveniencia, la cual cuenta con 2 cajas que
cobran a cada uno de los clientes, a cierta hora entra Pedro a comprar artículos y se dirige
a las cajas a pagar, cuando él va las 2 cajas se encuentran ocupadas, por lo que, esperará a
que se desocupe alguna. Suponga que el tiempo de atención a cada uno de los
clientes sigue una distribución exponencial con media
λ
; entonces ¿Cuál será la
probabilidad que Pedro sea el último en salir de los 3 clientes que están actualmente en
la tienda?
Podemos declarar 2 variables:
X
1
=El tiempo cuando se desocupa alguna de las dos cajas.
X
2
=El tiempo que tardara todavia el otro cliente siendo atendido.
X =El tiempo que tarda en ser atendido Pedro.
Imaginemos que el momento en el que Pedro encontrara alguna caja desocupada, para
este momento, alguno de los otros dos clientes se habría ido y el otro todavía estaría
siendo atendido.
Sin embargo, utilizando la propiedad de pérdida de memoria, se deduce que la cantidad
de tiempo que este otro cliente todavía tendría que pasar en la caja se distribuye
exponencialmente con una media de
λ
Caja 1 Caja 2
Pedro
Caja 1 Caja 2
Pedro
P
X > X
1
+ X
2
∨X > X
1
=P( X> X
2
Es decir, es lo mismo que si estuviera comenzando ser atendido en este momento. Por
tanto, la probabilidad de que sea el último en salir es igual a
Ejercicio 3.2. Una tienda debe decidir a cada inicio de mes la cantidad de artículos de
cierto producto que ordenará para el siguiente mes. Ahora bien, la demanda mensual del
artículo sigue una distribución exponencial con parámetro λ. Si el costo del artículo es
de $c pesos para el dueño de la tienda y este mismo lo vende a $v pesos. Suponga que
los artículos que no se vendieron no generan pérdida alguna. ¿Cuál es la cantidad
de artículos que deberá de pedir a fin de maximizar el ingreso por este producto?
Ahora suponga que los artículos que se quedan sin vender se pueden regresar a un precio
de $r <mín(v,c). ¿Cómo cambia la cantidad a ordenar a fin de maximizar las ganancias por
este producto?
Vamos a definir X como la variable que representa la demanda. Entonces definiremos la
ganancia con la letra G de la forma siguiente, donde la tienda está pidiendo la cantidad
de t:
G=v∗min( X , t )−ct
Donde min
X , t
=X −
X−t
¿
y
X −t
¿
es la función de costos definida por:
X −t
¿
{
X −t , X >t
0,∧X < t
Entonces definimos Y= ( X −t
¿
como una variable aleatoria definida como los costos que
pagaría la tienda dado que la cantidad demandada sea mayor que la pedida, y así es una
variable aleatoria exponencial con media λ. Aplicando la propiedad de pérdida de
memoria:
E [ Y =
X−t
¿
] =E [
X−t
¿
|X >t ] P
X >t
X−t
¿
|X ≤ t ] P( X ≤ t)
¿ E
[
( X −t)
¿
|
X >t ]
e
−λt
λ
e
−λ t
Donde usamos que P
X >t
= 1 −P
X < t
=e
−λ t
Entonces de lo anterior obtenemos que:
E [min ( X , t ) ]=
λ
λ
e
−λ t
Y sustituyendo en
E [ G] =v∗
(
λ
λ
e
− λt
)
−ct=
v
λ
v
λ
e
− λt
−ct
Ahora vamos a derivar e igualar a cero para encontrar la ganancia máxima y después
despejamos la variable t.
v e
− λt
−c= 0
λ
α
Γ (α )
∫
0
∞
e
−( λ−it) x
x
α − 1
dx
Sea
y=( λ−it ) x → x=
y
λ−it
dx=
λ−it
dy
Sustituyendo en la última ecuación:
λ
α
Γ (α )
∫
0
∞
e
− y
(
y
λ−it
)
α− 1
λ−it
dy
λ
α
( λ−it )
α
Γ (α)
∫
0
∞
e
− y
( y )
α − 1
dy
Si
Γ ( α )= ∫
0
∞
e
− y
y
∝ − 1
dy.
Entonces
C
x
t
λ
α
( λ−it)
α
- Sea
Y = X
1
+ X
2
+·· ·+ X
n
la variable aleatoria definida a partir de
X
1
, X
2
, … , X
n
variables aleatorias i.i.d. donde,
X
1
se distribuye exponencialmente con
parámetro λ, demuestre que Y∼Gamma(λ,n).
Por inducción lo hacemos primero para n=1.
C
x
1
( t )=E [ e
itx
]=
∫
0
∞
e
itx
λ e
− λ x
dx= λ
∫
0
∞
e
(it−λ)x
dx=lim
s → ∞
λ
∫
0
s
e
(it −λ)x
dx=λ lim
s→ ∞
[
it −λ
e
(it −λ) x
]
s
0
λ
λ−it
Para n=2:
C
Y
( t )=E [ e
itY
]=E
[ e
it (
x
1
+x
2
)
] =E
[ e
it (
x
1
)
+e
it (
x
2
)
] =E ¿
¿ C
x
1
t
C
x
2
t
(
λ
λ−it
)(
λ
λ−it
)
(
λ
λ−it
)
2
Para n=k
C
Y
( t )=E [ e
itY
]=E
[ e
it (
x
1
+x
2
k
)
] =E
[ e
it (
x
1
)
+e
it (
x
2
)
it (
x
k
)
] =E ¿
¿ C
x
1
t
C
x
2
t
… C
x
k
t
(
λ
λ−it
)(
λ
λ−it
)
(
λ
λ−it
)
(
λ
λ−it
)
k
