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PRODUCCIÓN
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN
Representa la tecnología. Un proceso productivo es una forma de combinar los factores productivos. Es importante el concepto de eficiencia técnica: un proceso A es eficiente frente a uno B si utiliza menos de algún factor productivo y no más de ningún otro que el B para lograr un determinado nivel de producción (en este caso, el proceso A es eficiente y el B es ineficiente, desde el punto de vista técnico). Por lo tanto, se trata de un concepto relativo, que tiene sentido cuando se comparan dos procesos productivos. Si, por ejemplo, el proceso A utilizara menos de algún factor productivo que el C pero más que éste de algún otro factor, ambos procesos serían eficientes (no se podrían comparar).
Por ejemplo, si tenemos la tabla siguiente:
Procesos L K x A 10 10 1 B 15 10 1 C 16 8 1
Los procesos A y C son eficientes mientras el B es ineficiente.
La función de producción recoge todos los procesos productivos eficientes para la producción de un determinado bien en un momento del tiempo. Es importante notar que la función de producción sólo recoge los procesos técnicamente eficientes.
Si consideramos el caso en que sólo se utilizan dos factores productivos, capital K y trabajo L, la función de producción puede representarse como sigue:
x = F L K ( , )
y representa la máxima cantidad de producto para cada nivel de utilización de los factores productivos L y K. Es importante notar que la cantidad de producto es máxima para cada nivel de utilización de los factores porque, como hemos dicho antes, la función de producción sólo recoge los procesos productivos eficientes.
Vamos a suponer que la función de producción cumple las propiedades matemáticas de concavidad, continuidad y diferenciabilidad requeridas para que se verifiquen en su caso las condiciones de segundo orden en los problemas de optimización que resolvamos en este tema y en el siguiente (costes).
Si quisiéramos ahora representar la función de producción podríamos hacerlo fijando una de las variables, en concreto el nivel de producción (de otro modo tendríamos que utilizar tres ejes, uno para cada variable, x, L y K). De esta
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forma, vamos a representar la tecnología, y en concreto la función de producción, a través del mapa de sus curvas de nivel, las isocuantas.
CURVAS ISOCUANTAS
Concepto
Las curvas isocuantas son las curvas de nivel de la función de producción. Son, por lo tanto, el conjunto de combinaciones de factores productivos (L,K) que dan lugar al mismo nivel de producción. Así, la isocuanta de nivel 4 estará formada por todos los pares de valores (L,K) que permitan obtener 4 unidades de producto. Existe por tanto una cierta similitud con el análisis de la función de utilidad que realizamos en el capítulo correspondiente. Sin embargo, existe una diferencia fundamental pues la función de utilidad es una función ordinal (lo que importa es el orden, no la etiqueta de la curva de indiferencia, que sólo tiene sentido en referencia a las restantes) mientras que la función de producción es una función cardinal (la etiqueta de cada isocuanta tiene sentido por sí misma, pues refiere una cantidad de producción física).
La isocuanta indica por tanto, cómo las cantidades de factores productivos pueden variar simultáneamente sin que lo haga el nivel de producción: a lo largo de una isocuanta las combinaciones de factores van cambiando pero el nivel de producción es siempre el mismo.
Podemos representar la isocuanta de nivel x 0 como:
x 0 = {( , L K ) / F L K ( , )= x 0 }⇒ x 0 = F L K ( , )
Por ejemplo, si x = F L K ( , )= LK , la isocuanta de nivel 8 sería:
8 = {( , L K ) / F L K ( , ) = LK = 8 } = {(1,8),(8,1),(4,2),(2,4).... }⇒ 8 = F L K ( , )= LK
Forma, pendiente y representación gráfica
Podemos ahora preguntarnos sobre la forma y la pendiente de la isocuanta. Es decir, tenemos que ver cómo varían L y K con la condición de mantener constante el nivel de producción. Si ambos pudieran aumentar sin que la producción variase, la isocuanta sería creciente. Por el contrario, si cuando se reduce la cantidad utilizada de uno de los factores tiene que aumentar la cantidad aplicada del otro para mantener constante el nivel de producción, entonces la isocuanta sería decreciente. En suma, tenemos que estudiar el
signo de la derivada x
dK dL
, que es precisamente la pendiente de la isocuanta.
Formalmente podemos calcular la pendiente de la isocuanta diferenciando totalmente su ecuación:
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valor absoluto de la pendiente, que indica la sustituibilidad entre factores, se hace menor).
Gráficamente:
K
K 1
K 2
x 1
L 1 L
Las isocuantas deben ser decrecientes, no pueden tener esa especie de “cuernos” constituidos por un tramo creciente. Como se aprecia en la figura, el punto (L 1 , K 1 ) no puede pertenecer a la isocuanta porque con la combinación (L 1 , K 2 ) permite obtener la misma cantidad de producto utilizando la misma cantidad de trabajo pero menos capital. Esto supone que la combinación (L 1 , K 1 ) corresponde a un proceso productivo ineficiente por lo que no estará recogido en la función de producción ni en sus curvas de nivel, las isocuantas.
EL MAPA DE ISOCUANTAS
El conjunto de curvas isocuantas forman el mapa de isocuantas, que es una representación completa de la función de producción, es decir, de la tecnología.
Las curvas isocuantas no se cortan y representan un nivel de producción mayor cuanto más alejadas están del origen.
Gráficamente:
K
L
x (^0)
x (^1)
x (^2)
Donde x 2 (^) > x 1 (^) > x 0
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LA PRODUCCIÓN A CORTO PLAZO
Se trata ahora de estudiar la producción a corto plazo, es decir, en un período de tiempo en el que al menos un factor productivo está fijo. Esto significa que, si la empresa desea ajustar el nivel de producción en el corto plazo, el peso del ajuste no podrá recaer sobre la cantidad de ese factor. Así, si por ejemplo el stock de capital está fijo a corto plazo y la empresa quiere aumentar su nivel de producción, deberá contratar más trabajadores. Si quiere, por el contrario, reducir su producción, deberá despedir trabajadores.
La función de producción a corto plazo o productividad total
Vamos a denotar el factor fijo colocando una barra encima de su símbolo matemático, de forma que la función de producción a corto plazo, considerando fijo el stock de capital, será:
x = F L K ( , ) = f L ( )
Como vemos, la función de producción a corto plazo, también denominada curva de producto total o curva de productividad total, depende sólo del factor variable, L en este caso. Sin embargo, el lector debe notar que dicha función será diferente según sea el nivel de factor fijo de que la empresa dispone.
Por ejemplo, si la función de producción es x = F L K ( , )= LK , tendremos las
siguientes funciones de producción a corto plazo para diferentes niveles del stock de capital:
x F L K LK K x L K x K x
= ⇒ = L
= ⇒ = L
Podemos pensar en la forma de la función de producción a corto plazo. Eso equivale a estudiar la pendiente de dicha función:
x F L K f L dx F f L dL L
Esta derivada es la Productividad Marginal del factor variable (L), que refleja la aportación a la producción de la última unidad de factor variable aplicada, es decir, la variación de la producción debida a la última unidad de factor variable utilizada. La Productividad Marginal puede ser positiva (cuando la producción aumenta al hacerlo la cantidad de factor variable) o negativa (cuando la producción disminuye al introducir una unidad más de factor variable, dada la cantidad de factor fijo). Vamos a suponer, sin embargo, que la PMg es positiva,
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de 20 unidades en el nivel de producción es necesario incrementar el factor variable en 1 unidad en cada fase.
En este caso, la función de producción es lineal puesto que su pendiente (PMgL o rendimientos del factor variable) es constante:
x
L
L
PMgL
x = f L ( )
PMgL PMgL
Rendimientos crecientes del factor variable
Los rendimientos del factor variable son crecientes cuando, dada la cantidad de factor fijo, sucesivos incrementos iguales del factor variable dan lugar sucesivos incrementos cada vez mayores del nivel de producción. Por ejemplo, se incrementa el factor variable en 1 unidad de forma sucesiva y se obtiene en la fase un incremento por ejemplo de 20 unidades de producción, en la segunda de 30, en la tercera de 40 etc..
También podríamos verlo de esta otra forma: los rendimientos del factor variable son crecientes cuando, dada la cantidad de factor fijo, para lograr sucesivos incrementos iguales en el nivel de producción es necesario aplicar incrementos cada vez menores del factor variable. Por ejemplo, para lograr sucesivos incrementos de 2 unidades en el nivel de producción es necesario incrementar el factor variable en 10 unidades en la primera fase, en 8 unidades en la 2ª, en 5 unidades en la 3ª, etc.
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En este caso, la función de producción es estrictamente convexa respecto del origen puesto que su pendiente (PMgL o rendimientos del factor variable) es creciente:
x
L
L
PMgL
x = f L ( )
PMgL
La pendiente de la curva en cada punto es la PMgL .Va aumentando conforme aumenta L
Rendimientos decrecientes del factor variable
Los rendimientos del factor variable son decrecientes cuando, dada la cantidad de factor fijo, sucesivos incrementos iguales del factor variable dan lugar sucesivos incrementos cada vez menores del nivel de producción. Por ejemplo, se incrementa el factor variable en 1 unidad de forma sucesiva y se obtiene en la fase un incremento por ejemplo de 20 unidades de producción, en la segunda de 10, en la tercera de 7 etc..
También podríamos verlo de esta otra forma: los rendimientos del factor variable son decrecientes cuando, dada la cantidad de factor fijo, para lograr sucesivos incrementos iguales en el nivel de producción es necesario aplicar incrementos cada vez mayores del factor variable. Por ejemplo, para lograr sucesivos incrementos de 2 unidades en el nivel de producción es necesario incrementar el factor variable en 10 unidades en la primera fase, en 12 unidades en la 2ª, en 19 unidades en la 3ª, etc.
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x
L
L
PMgL
x = f L ( )
PMgL
LA LEY DE LOS RENDIMIENTOS DECRECIENTES
La ley de los rendimientos decrecientes del factor variable supone que los rendimientos del factor variable son decrecientes al menos a partir de un nivel de utilización del mismo. Esto significa que, para construir la teoría de la producción y los costes que vamos a estudiar, se supone que los rendimientos del factor variable son o bien decrecientes desde el principio, o bien a partir de un cierto nivel de utilización de dicho factor, por lo que también cabría el caso, por ejemplo, de rendimientos primero crecientes y luego decrecientes.
Productividad Media
La Productividad Media del trabajo se calcula como sigue:
( ) L
x f L PMe L L
Es el producto medio por trabajador. Para calcular la Productividad Media basta con calcular la pendiente de un rayo vector que partiendo del origen pasa por el punto en el que se quiere calcular la PMe.
Cuando la función de producción es estrictamente convexa respecto del origen:
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x
L
L
PMeL
x = f L ( )
PMeL
La pendiente del rayo vector que pasa por cada punto es la PMeL .Va aumentando conforme aumenta L
En el caso en que la función de producción es estrictamente cóncava respecto del origen:
x
L
L
PMeL
x = f L ( )
PMeL
La pendiente del rayo vector que pasa por cada punto es la PMeL .Va disminuyendo conforme aumenta L
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Ahora, si la dPMe es positiva (es decir, la pendiente de la curva de PMe es positiva), entonces la PMe es creciente y tenemos:
dPMe L PMgL PMeL (^) Si dPMeL 0 PMgL PMeL 0 PMg PMe dL L L dL L L
Es decir, cuando la PMe es creciente, la PMg es mayor que la PMe.
Si por el contrario, la PMe es decreciente:
dPMe L PMgL PMeL (^) Si dPMeL 0 PMgL PMeL 0 PMg PMe dL L L dL L L
O sea, en este caso la PMe es mayor que la PMg.
Si observamos la relación entre ambas en el máximo de la PMe, y sabiendo que en ese punto la pendiente de la curva de PMe (la derivada de la PMe) tiene que ser igual a cero:
dPMe L PMgL PMeL (^) Si dPMeL 0 PMgL PMeL 0 PMg PMe dL L L dL L L
De forma que en el máximo de la PMe, ambas coinciden (ambas curvas se cortan en ese punto).
Podemos también deducir estas relaciones gráficamente:
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LA PRODUCCIÓN A LARGO PLAZO: LOS RENDIMIENTOS A
ESCALA
Si consideramos la producción a largo plazo, todos los factores son variables y nos podemos preguntar cómo variará la producción cuando lo hacen simultáneamente todos los factores productivos en una determinada proporción. La respuesta dependerá del tipo de rendimientos a escala (o de escala) que presente la función de producción.
Así, los rendimientos a escala son costantes cuando, al variar simultáneamente todos los factores productivos en la misma proporción, la producciòn varía proporcionalmente ( o sea, en la misma proporción). Por ejemplo, si se duplican todos los factores productivos, la producciòn también se duplica.
Los rendimientos a escala serán crecientes cuando, al variar simultáneamente todos los factores productivos en la misma proporción, la producciòn varía más
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