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Tema 7: Ecuaciones diferenciales ] Rafael Magdalena £: José D. Martín Degt. Ingeniería Electrónica. Universidad de Valencia. VIVES NI IOGVALENCIA Contenidos O Introducción e Consideraciones previas O Ecuaciones diferenciales de ler orden e Definición general y particularización a circuitos Ecuaciones diferenciales homogéneas Ecuaciones diferenciales no homogéneas Soluciones transitorias (sol. homogénea) y estacionarias (sol. particular) Ecuaciones diferenciales no homogéneas Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a constante Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a onda senoidal Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a función exponencial OO Ecuaciones diferenciales de 2 orden e Definición general y particularización a circuitos o Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no homogéneas e Determinar las constantes 1 y 2: casos e Sistemas amortiguados, críticamente amortiguados y subamortiguados o Ejemplos Introducción . Consideraciones previas e Las ecuaciones de nudos o mallas de un circuito lineal planteadas directamente en el dominio temporal (sin utilizar fasores u otro dominio, como el de Laplace), dan lugar a ecuaciones diferenciales lineales. e En este curso trataremos con circuitos que dan lugar a ecuaciones diferenciales de primer o segundo orden. e No contemplaremos la resolución de ecuaciones diferenciales de tercer orden o mayores, aunque en otras asignaturas (Matemáticas) se verá cómo es posible convertir ecuaciones diferenciales de orden n en n sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden, y cómo solucionarlos. 3/28 Ecuaciones diferenciales de 1er orden Definición general y particularización a circuitos En general, una ecuación diferencial de primer orden toma la forma y =f(y,t) (1) donde y' = % Sin embargo, en nuestro caso sólo vamos a encontrar ecuaciones diferenciales en la forma , y +k-y=f(t) (2) En el caso particular de circuitos electrónicos, la variable y será la tensión (v) o la corriente (1). Además, en temas anteriores se definió el operador derivada como D = <;, por lo que podemos particularizar la ecuación (2) para el caso de tensión, siguiendo una notación más familiar, como (D + k)v(t) = F(t) 6) o para corriente (D + K)i(t) = (+) 1) Ecuaciones diferenciales de ler orden Ecuaciones diferenciales homogéneas Las ecuaciones diferenciales donde F(t) = 0 se denominan homogéneas (D + k)y(+) =0 (5) y su solución toma siempre la misma forma y(t) = Ao (6) donde A y a son dos constantes a determinar. La constante a: se obtiene sustituyendo la solución (6) en la ecuación diferencial homogénea (D + k)y(t) =0 > (D + k)Ae"* =0 dado que la constante A y la exponencial siempre se simplifican, esto da lugar a la llamada ecuación característica (a+k)=0 (7) que se puede obtener fácilmente sin más que tomar, en la ecuación (5), la parte que multiplica a la variable y(+), substituir el operador D por a e igualar a O. Conclusión Para ecuaciones diferenciales de primer orden obtendremos por tanto a = Ecuaciones diferenciales de ler orden Ecuaciones diferenciales homogéneas e Para determinar la constante A es necesario conocer el valor de la función y(t) en algún instante de tiempo. De esa manera se evalúa la ecuación en el instante conocido y se despeja el valor de A. e En el caso particular de circuitos, recordemos que la variable y(t) será bien la tensión o la corriente. El instante de tiempo que escogeremos será, en la mayoría de los casos, el instante inicial cuando conectamos el circuito, t=0, puesto que en ese momento conocemos cuál es el valor de la tensión y la corriente en todos los puntos del circuito. Ejemplo: Supongamos que en un circuito sabemos que v(t = 0) = 10 voltios. Para ese caso, tendremos v(t=0) = Ae** =10 y por lo tanto A=10. Ecuaciones diferenciales de 1er orden Ecuaciones diferenciales no homogéneas Como en el caso de las EDs homogéneas, en las EDs no homogéneas el problema consiste en hallar las constantes, «+, A, K, Ki, K2, etc. Procedimiento para hallar las constantes en EDs no homogéneas e La constante a se obtiene igual que antes mediante la ecuación característica, por lo que se sigue teniendo a =—k e Para las constante K (o Ki, K2) de la solución particular, el método para hallarlas consiste en introducir la solución particular en la ED y despejar el valor de la(s) constante(s). e Por último, para hallar la constante A se debe considerar la solución total, es decir, y(t) = ys(t) + yp(£). y conocer el valor de la variable y en un instante de tiempo determinado. Veamos todo esto a partir de los siguientes ejemplos. Ecuaciones diferenciales de ler orden Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a constante Obtener la tensión V,(t) en el siguiente circuito PV 10) 1kQ wÍ| 1k90 Ecuaciones diferenciales de 1er orden . Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a constante Solución: : demostrar que aplicando nudos en V, se obtiene la ec. (8D +2)V,=1 Puesto que la ED es no homogénea e igual a una constante sabemos que su solución es Va(t) = Ae + K En este caso la ecuación característica es 3a +2 = 0, por lo que a=-2/3. Para obtener el valor de K, tomamos la solución Va(t) = K, la introducimos en la ED y obtenemos (compruébalo) K = 1/2. Para obtener A, nos fijamos en que la tensión V, al conectar el circuito (t =0) es de 1/3 V. Esto es debido a que inicialmente el condensador está descargado y actúa como un circuito cerrado, por lo que la corriente pasará, en el instante inicial, por las resistencias, que conforman un divisor de tensión. Sustituyendo en la solución general V,(t = 0) = 1/3 obtenemos (compruébalo) A=—1/6. ; Por tanto la solución es | Va(t) = 1 (a - 340) V | (t en ms). Ecuaciones diferenciales de 1er orden Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a onda senoidal Obtener la tensión V,(t) en el siguiente circuito (la fuente AC es de corriente). o Vale) 2cos(1000£) mA. 1k0 1H Ecuaciones diferenciales de ler orden Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a onda senoidal Solución: Ejercicio: demostrar que aplicando nudos en V, se obtiene la ec. diferent (D+1)V,=-2sint 9 Puesto que la ED es no homogénea e igual a una función senoidal sabemos que su solución es Va(t) = Ae" + Ki cost + Kosint e La ecuación característica es a +1=0, por lo que a =-—1. e Para obtener los valores de Ki y K2, tomamos la solución particular y la introducimos en la ED, obteniendo (compruébalo): —Ki sin t + K2 cost 4 Ki cost 4 Ko sin =—2sint comparando los términos a un lado y a otro de la igualdad comprobamos que se debe cumplir K+K=0 y -K+KkK= por lo que Ki =1 y K2=-1, e Para obtener A, nos fijamos en que la tensión V, al conectar el circuito (t= 0) es de 2 V (por las resistencias pasa una corriente de 2 mA). e Sustituyendo en la solución general Va(t = 0) = 2 obtenemos (compruébalo) e Por tanto la solución es | V¿(t) =e7* + cost — sin t V | (E en ms) 14/28 Ecuaciones diferenciales de ler orden Ejemplo ecuación diferencial no homogénea igual a onda senoidal Bonus: demostrar que la solución estacionaria es la misma que la obtenida con fasores 9 Como se ha indicado previamente, la solución estacionaria (particular) obtenida resolviendo la ED es la misma que la solución obtenida por fasores (siempre que estemos trabajando con generadores de ondas senoidales de frecuencia constante). Efectivamente, si solucionamos el problema usando fasores, el fasor del generador V(juw) = 2 V, Za =1kQ y Z, =j k02. Aplicando nudos en V, obtenemos (compruébalo) Va(ju) =1+j tomando el módulo y fase de Va(juw) obtenemos la onda senoidal correspondiente Va(t) = V2cos(t + p) con p=arctanl= z (10) Sin embargo la solución estacionaria obtenida resolviendo la ED es: cost — sint. ¿Son iguales? Para comprobarlo, aplicamos a la ecuación (10) la propiedad trigonométrica cos(a + b) = cosacos b — sin asin b V,(t) = V2 (cos t cos p — sin tsin pp) Para que se cumpla la igualdad debe ocurrir que Y/2cosp =1 y que V2sin y =1. Por otro lado se tiene y = arcos ( SALA), y también y = arsin (19). En nuestro caso, Va (ju 1-4 j, por lo que cos (arccos (24) = 33, y lo mismo ocurre para el seno, por lo que efectivamente /2cosp =1, y V2sinyp = 1. 15/28 Ecuaciones diferenciales de 2 orden Definición general y particularización a circuitos En el caso de ecuaciones diferenciales de segundo orden aparece la segunda derivada, y en general se pueden expresar como y” =F(y,y,t) (11) En nuestro caso las EDs tomarán la forma Y +Hkay + ko =F(t) (12) Y particularizando aún más para el caso de circuitos, y será bien una tensión (v), bien una corriente (1), y expresaremos las ecuaciones diferenciales utilizando el operador derivada, con lo que tendremos (07 + k1D + ko)v(t) = F(t) (13) o para cuando tengamos que determinar una corriente (0? + k1D + ko)i(t) = F(t) (14) Ecuaciones diferenciales de 2” orden . Ecuaciones diferenciales de segundo orden homogéneas y no homogéneas e De la misma forma que en el caso de las ED de primer orden, las ED de segundo orden (o de cualquier orden en general) se clasifican en homogéneas (cuando £(t) = 0) y no homogéneas (caso contrario). Las soluciones particulares de las ED no homogéneas para el caso de ED de segundo orden (orden n en general) siguen siendo las mismas que las vistas para las ED de primer orden (véase Tabla 1). La solución homogénea, sin embargo, toma esta otra forma y(t) = Aettt 4 Bent (15) donde en lugar de una sola exponencial como en el caso de las de primer orden, nos encontramos ahora dos exponenciales, y cuatro constantes a determinar, 01,02, A y B. Las constantes a y a? se obtienen a partir de la ecuación característica de la ED, que se saca sustituyendo la solución homogénea (15) en la ED (12). En este caso la ecuación característica es una ecuación de segundo grado, por lo que aparecen 3 posibles casos que analizaremos más adelante: o dos raíces reales y distintas, o dos raíces reales duplicadas, o dos raíces complejas (un complejo y su complejo conjugado). Para determinar las constantes A y B hay que conocer el valor de la variable buscada en dos instantes de tiempo determinados, o bien conocer el valor de la variable y de su primera derivada en un único instante de tiempo. En circuitos (y en muchos otros campos), como sólo es posible conocer el estado del sistema (circuito) al inicio se opta por la segunda opción. Ecuaciones diferenciales de 2” orden . Determinar las constantes 01 y a: La ecuación característica de una ED de segundo orden toma la forma + kia + ko por lo que la solución de la misma será —ka + /R— Alo 2 Tendremos los siguientes casos: e ki — 4k, > 0> 01,07 ER: La solución toma la forma ya vista: y(t) = Act! + Ber! e ki — 4k =0->0.€R: Raíz doble, la solución toma la forma y(t) = Ae"! 4 Bte”* e ki — Alo <0>a,a" EC: Raíz compleja (y su conjugada), la solución toma la forma: y(t) = e”*(Acos(wt) + B sin(wt)) donde f es la parte real de a, y wv la parte imaginaria. Ecuaciones diferenciales de 22 orden Sistemas amortiguados, críticamente amortiguados y subamortiguados Cada uno de estos casos recibe un nombre en función de su respuesta temporal. e ki —4k,>0> 01,07 E RR”: sistema sobreamortiguado (o amortiguado) y(t) = Ae! 4 Bor" o ki —4k.=0>)0 ER”: sistema críticamente amortiguado y(t) = Ae"! 4 Bre"* e k —4k <0>a,0* € C: sistema subamortiguado y(t) = e**(Acos(wt) + Bsin(wt)) La siguiente figura muestra un ejemplo de cada caso: sobreamortiguado (linea negra discontinua), críticamente amortiguado (linea azúl) y subamortiguado (linea roja). y(t) Ecuaciones diferenciales de 2” orden 'esoo0o Ejemplos Ejemplo a1, a2 ER Determinar la tensión V,(t) en el circuito de la figura. 1k0 10k0 Va(t) 10 vi YET 1H Ejemplos Soluciór Ejercicio: demostrar que aplicando nudos en V, se obtiene la ec. diferencial (D? + 11D + 11)V, = 100 Puesto que la ED es no homogénea e igual a una constante sabemos que su solución es Va(t) =A0C1! Y Bo02 + K La ecuación característica es a? + 11a +11 =0, por lo que 1 = —1.11 y az = —9.89. 10 =9.09. Para obtener el valor de K sustituimos la solución particular en la ED: K' Para obtener A y B determinamos el valor de V,(£) y su primera derivada, V¿(2), en t =0. V,(t) es la tensión del condensador, y a la puesta en marcha del circuito valdrá O voltios, por lo que sustituyendo en la solución general para V,(t = 0) = O obtenemos A+ B = —K. La primera derivada V,(£) está relacionada con la corriente en el condensador. Efectivamente, por la ley de Ohm sabemos que le(t) = CDV.(t). En nuestro caso C = 1uF y Vet) = Va(t), por lo que sólo resta derivar V,(t) para obtener /-(t) (compruébalo) le(t) = V¿(t) = Age”! + Bazo”?* En el instante inicial, toda la corriente que viene por la resistencia de 1K92 se deriva por el condensador, por lo que /e(t = 0) = 10 mA. Por tanto tenemos Aa1 + Baz = 10. Resolviendo el sistema de ecuaciones en A y B se obtiene A= = =-9,1, B= pa =0.01. Por tanto la solución es | V,(t) = —9.10 1"! + 0.01e?-9% + 9.09 V | (t en ms). Ejemplos Ecuaciones diferenciales de 2 orden Solución: Ejercicio: demostrar que aplicando nudos en V, se obtiene la ec. diferencial (0? + 2D +2)V,=10 En este caso la ecuación característica es a? + 2a: + 2 = 0 y por tanto obtenemos a=(-1+j)eC. Para este caso, y dado que la ED es no homogénea igual a una constante, su solución será Va(t) = 0% (Acos(wt) + Bsin(wt)) + K donde B=-—1 yw Para obtener el valor de K sustituimos la solución particular en la ED, por lo tanto k=%Y% 2 1 Para obtener A y B necesitamos conocer el valor de V, y su primera derivada, V¿(t), en Como en el ejemplo anterior, V,(t = 0) = 0. Sustituyendo en la solución general obtenemos A=-K="5 La primera derivada V¿(t) será, como en el ejemplo anterior, la corriente en el condensador. Derivando se obtiene (compruébalo): l(t) = V¿(t) = Be”* (Acos(wt) + Bsin(wt)) + e** (—Aw sin(ct) + Bu cos(wt)) En el instante inicial la corriente que pasa por el condensador es /.(t =0) = 10 mA. Sustituyendo en la ecuación anterior se obtiene SA + B: 10, por lo que B= H£X Por tanto la solución es | V(£) 5cos(t) + 5sin(£)) + 5 V | (£ en ms)