funcion de transferencia, Apuntes de Ingeniería de Telecomunicaciones

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Apuntes del Taller

Función de Transferencia

Profesor: Herman García R

SANTIAGO

ENERO 2011

Taller de Función de Transferencia Herman García R Página i

Objetivo:

Reforzar algunos conceptos fundamentales relacionados con función de transferencia.

Contenidos a abordar:

.- Funciones de transferencia

.- Respuestas de frecuencia

.- Uso de MATLAB

.- Trabajo experimental en laboratorio de Electrónica

Función de Transferencia

La función de transferencia H (s), también llamada función de red, es una herramienta analítica útil

principalmente para:

determinar la respuesta de frecuencia de un sistema

analizar la estabilidad de un sistema

Una función de transferencia es la relación entre una salida y una entrada dependiente de la

frecuencia.

En general una red lineal puede ser representada mediante un bloque como se muestra a

continuación.

Figura 1: Representación de una función de transferencia

Se tiene, en general, que

Puesto que la entrada y la salida pueden ser una tensión o una corriente en cualquier parte del

circuito, existen cuatro posibles funciones de transferencia:

X (s)

Entrada

Red Lineal

H (s)

Y (s)

Salida

donde los índices i y o indican, respectivamente, los valores de entrada y salida.

Matemáticamente la función de transferencia H (s) puede expresarse en términos de sus polinomios

numerador N (s) y el del denominador D (s) como:

Las raíces de N (s) se llaman ceros de H (s) y se representan como s=z 1 , z 2 ,…….

De manera similar las raíces de D (s) se llaman polos de H (s) y se representan como s=p 1 , p 2 ,…….

Un cero es un valor que hace que H (s) sea cero y un polo es un valor que hace que H (s) sea infinito.

Dado que la función de transferencia es una fracción polinómica, hay muchas formas de expresarla:

1. Forma común (polinomios decrecientes en el numerador y denominador)

donde algunos ai y bj pueden ser cero.

2. Forma factorizada.

Los polinomios se pueden factorizar de modo que la expresión puede verse como:

donde los zi son los ceros y los pj son los polos.

La forma factorizada nos informa inmediatamente cuáles son los polos, ceros y ganancia del

sistema, parámetros que determinan el comportamiento y estabilidad del mismo.

3. Expandiendo la fracción en fracciones parciales.

La forma en fracciones parciales facilita el cálculo de la respuesta en el tiempo del sistema,

puesto que a cada término en fracción parcial se le puede aplicar luego la transformada inversa

de La Place.

Debe notarse que en aquellos lugares donde falta un término, se inserta un cero

Este programa entrega los siguientes resultados:

NUM =

NUM =

s^2 + 12 DEN = 1 5 6 0 DEN = s^3 + 5 s^2 + 6 s

Aprovechando estos polinomios se verá, en el ejemplo siguiente, cómo obtener las raíces de ellos.

Ejemplo 2: Encontrar las raíces de los polinomios del ejemplo 1.

Solución:

Programa MATLAB:

NUM=[1 0 12] %vector NUM RNUM= roots(NUM) %calcula las raíces del polinomio NUM DEN=[1 5 6 0] %vector DEN RDEN= roots(DEN) %calcula las raíces del polinomio DEN

Este programa entrega el siguiente resultado:

RNUM =

0 + 3.4641i 0 - 3.4641i RDEN = 0 -3. -2.

Se puede apreciar que las raíces del polinomio NUM son imaginarios y complejos conjugados, y por

lo tanto, se puede escribir como

Se puede apreciar que las raíces del polinomio DEN son reales, y por lo tanto, se puede escribir

como

b) Creación de un polinomio a partir de sus raíces.

La otra alternativa para generar polinomios es a partir de un vector cuyos elementos son las raíces

del polinomio. Esto se hace insertando un vector con las raíces y luego con la función poly se

genera el polinomio.

Ejemplo 3 : Genere un polinomio a partir de las raíces encontradas en el ejemplo

Solución:

Programa MATLAB:

RNUM= [3.4641i -3.4641i]; %raíces del polinomio NUM RDEN= [0 -3 -2]; %raíces del polinomio DEN NUM=poly(RNUM) %polinomio NUM del ejemplo 1 NUM=poly2str(NUM,'s')

Los factores encontrados para el vector RDEN en el ejemplo 3 son: s, (s+2) y (s+3).

El programa en MATLAB sería

a=[1 0]; %polinomio a b= [1 2]; %polinomio b c= [1 3]; %polinomio c d=conv(a,b); %multiplicación de los polinomios a y b DEN=conv(d,c) %multiplicación de los polinomios d y c DEN=poly2str(DEN,'s') %visualización como polinomio

el cual entrega el siguiente resultado

DEN =

DEN =

s^3 + 5 s^2 + 6 s el cual es el polinomio DEN del problema 1.

MATLAB también puede hacer una división de polinomios, esto lo hace por medio del comando

deconv.

Ejemplo 5: Realice la división de polinomios siguiente.

Solución:

El programa MATLAB es:

DEN=[1 5 6 0]; %polinomio DEN a= [1 0]; %polinomio c x=deconv(DEN, a) Division= poly2str(x,'s') %visualización del polinomio División

Y el resultado entregado es:

x = 1 5 6

Division =

s^2 + 5 s + 6

Funciones de transferencia.

Una función de transferencia puede ser expresada matemáticamente de tres formas diferentes:

a) Forma Polinomial o común.

b) Forma Factorizada.

c) Expansión en Fracciones Parciales.

a) Forma polinomial o común.

La forma más común de escribir una función de transferencia es un polinomio en el numerador y

uno en el denominador, (ec 7).

Al usar MATLAB, para poder verificar que la función de transferencia que se ha ingresado es

correcta, se puede usar la función printsys.

b) Forma factorizada.

La forma factorizada se refiere a la representación en ceros, polos y ganancia de una función de

transferencia. MATLAB permite pasar de una representación en forma polinomial (7) a forma

factorizada (8) utilizando el comando tf2zp, y a la inversa, de una forma factorizada a forma

polinomial con el comando zp2tf.

Ejemplo 7: Usando el resultado del ejemplo 6 realice las conversiones de polinomial a factorizada y

viceversa.

Solución: Forma polinomial a forma factorizada

Programa MATLAB

NUM=[1 0 12]; %polinomio NUM DEN=[1 5 6 0]; %polinomio DEN printsys(NUM,DEN,'s') %función de transferencia H [z,p,k]=tf2zp(NUM,DEN) %encuentra los ceros, polos y la constante k %de la forma factorizada de la función de %transferencia H=NUM/DEN

y entrega el siguiente resultado

num/den = s^2 + 12

---

s^3 + 5 s^2 + 6 s

z =

0 + 3.4641i 0 - 3.4641i

p = 0

k = 1

Lo cual corresponde a:

Forma polinomial Forma Factorizada

Forma factorizada a forma polinomial

Programa MATLAB

z=[3.4641j -3.4641j]'; %vector z como vector columna p=[0 -3 -2]'; %vector p como vector columna k=[1]; [NUM, DEN]=zp2tf(z,p,k) %z,p y k deben ser vectores columnas printsys(NUM,DEN,'s')

entrega el siguiente resultado

Programa MATLAB

NUM=[1 0 12]; %polinomio NUM DEN=[1 5 6 0]; %polinomio DEN printsys(NUM,DEN,'s') %función de transferencia H [r,p,k]=residue(NUM,DEN) %encuentra los residuos, polos y la constante k %de la forma de fracciones parciales de la función de %transferencia H=NUM/DEN

el que entrega el siguiente resultado

num/den = s^2 + 12

---

s^3 + 5 s^2 + 6 s

Transfer function: s^2 + 12

---

s^3 + 5 s^2 + 6 s

r =

p =

k = []

Para interpretar este resultado se debe recordar la expresión (9)

Entonces se realizó la siguiente transformación:

Forma Polinomial Expansión en Fracciones Parciales

En el ejemplo recién desarrollado la función de transferencia es una función propia, es decir, el

grado del polinomio NUM es superior al grado del polinomio DEN.

Forma de fracciones parciales a forma polinomial.

Programa MATLAB

R=[7 -8 2]; %polinomio NUM P=[-3 -2 0]; %polinomio DEN K= [NUM,DEN]=residue(R,P,K)

Ejemplo 9 : Usando la expresión anterior realice las conversiones de polinomial a fracciones

parciales y viceversa.

Solución: Forma polinomial a forma de fracciones parciales

Programa MATLAB

NUM=[2 5 3 6]; %polinomio NUM DEN=[1 6 11 6]; %polinomio DEN

H=tf(NUM,DEN) % otra forma de ver la función de transferencia [r,p,k]=residue(NUM,DEN) %encuentra los residuos, polos y la constante k %de la forma de fracciones parciales de la función de %transferencia H=NUM/DEN

entrega el siguiente resultado

Transfer function: 2 s^3 + 5 s^2 + 3 s + 6

---

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

r =

p = -3. -2. -1. k = 2

Interpretación del resultado

Se realizó la siguiente transformación:

Forma Polinomial Expansión en Fracciones Parciales

Forma de fracciones parciales a forma polinomial

Programa MATLAB

R=[-6 -4 3]; %polinomio NUM P=[-3 -2 -1]; %polinomio DEN K=2; [NUM,DEN]=residue(R,P,K) H=tf(NUM,DEN) %función de transferencia H

el cual entrega el siguiente resultado