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10. Juhn and Sons Wholesale Fruit Distributors contrató a un empleado cuyo trabajo consiste en cargar la fruta en los camiones que salen de la compañía. Los camiones llegan a la plataforma de carga a una tasa promedio de 24 al día, o 3 cada hora, de acuerdo con una distribución de Poisson. El empleado los carga a una tasa promedio de 4 por hora, aproximadamente de acuerdo con una distribución exponencial en los tiempos de servicio. Determine las características de operación de este problema de plataforma de carga. ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres camiones en espera o en proceso de carga? Analice los resultados de los cálculos de su modelo de colas. λ = 3 caminones hora μ = 4 camiones hora Se registra los datos al software QM for Windows: Determine las características de operación de este problema de plataforma de carga: 1) Probabilidad de que no haya autos en ventanilla: P 0 = 1 − λ μ
2) El número de camiones que están detrás del cliente que está recibiendo: Lq = λ 2 μ ( μ − λ )
2 4 ( 4 − 3 )
= 2_._ 25 camiones 3) Promedio de camiones en el sistema: L = λ μ − λ
= 3 camiones 4) Promedio de camiones que están en espera de recibir el servicio: W (^) q = λ μ ( μ − λ )
= 0_._ 75 horas = 45 min 5) Tiempo promedio que está un camión en el sistema: w =
μ − λ
= 1 hora = 60 min 6) Tiempo porcentual que el empleado permanece ocupado: ρ = λ μ
¿Cuál es la probabilidad de que haya más de tres camiones en espera o en proceso de carga? Pn > k =
λ
k + 1 Pn > 3 =
3 + 1
La probabilidad de que haya tres camiones en espera o en proceso de carga en de 31.64%.
11. Juhn considera que agregar un segundo cargador de fruta mejorará sustancialmente la eficiencia de la empresa. Estima que con una cuadrilla de dos personas en la plataforma de carga, aun actuando como un sistema de un único servidor, duplicaría la tasa de carga a de 4 a 8 camiones por hora. Analice el efecto en la cola con dicho cambio y compare los resultados con los que se encontraron en el problema 10. Cargadores = 2 λ = 3 caminones hora μ = 8 camiones hora Se registra los datos al software QM for Windows: Determine las características de operación de este problema de plataforma de carga: 1) Probabilidad de que no haya autos en ventanilla: P 0 = 1 − λ μ
2) El número de camiones que están detrás del cliente que está recibiendo: Lq = λ 2 μ ( μ − λ )
2 8 ( 8 − 3 )
=0.23 camiones 3) Promedio de camiones en el sistema: L = λ μ − λ
=0.6 camiones 4) Promedio de camiones que están en espera de recibir el servicio: W (^) q = λ μ ( μ − λ )
=0.08 horas =4.5 min 5) Tiempo promedio que está un camión en el sistema: w =
μ − λ
=0.2 hora s = 12 min 6) Tiempo porcentual que el empleado permanece ocupado: ρ = λ μ
Comparación de resultado con el problema 10: Resultado del problema 10 Resultado del problema 11 Comparación 25 % 62.5 % Aumenta el tiempo en que las personas están desocupadas. 2.25 camiones 0.23 camiones Reduce la cantidad de unidades en la línea de espera. 3 camiones 0.6 camiones Reduce la cantidad de unidades en la línea. 0.75 horas = 45 min 0.08 horas =4.5 min Reduce el tiempo en la línea de espera. 1 hora = 60 min 0.2 horas = 12 min Se reduce el tiempo en la línea. 0.75= 75 % 0.375=37.5 % El tiempo que usan los cargadores es menor.
Costo de la espera:
CW =( λW ) cw =( 3
unidades
hora )(
horas
unidad )(
hora )
hora Costo del servicio: CS = cs m =( 6 ) ( 2 )= 12
hora Costo total: CT = CW + CS = 12 + 6 = 18
hora ¿Cuáles serían los ahorros en los costos por hora para la empresa asociados con la contratación de un segundo cargador, en vez de que solo haya uno? 36 − 18 = 18
hora El ahorro por el contrato de un segundo trabajador es^18
hora
13. La empresa Juhn and Sons Wholesale Fruit Distributors (del problema 10) considera la construcción de una segunda plataforma para acelerar el proceso de carga de la fruta en sus camiones. Se supone que esta medida será incluso más eficaz que simplemente contratar a otro cargador para ayudar en la primera plataforma (como en el problema 11). Suponga que los trabajadores de cada plataforma podrán cargar 4 camiones por hora cada uno, y que los camiones continuarán llegando a una tasa de 3 por hora. Encuentre las nuevas condiciones operativas de la línea de espera. ¿Es este en realidad un método más rápido que los otros dos que se han considerado? λ = 3 caminones hora μ = 4 camiones hora Se registra los datos al software QM for Windows: 1) Probabilidad de que no haya autos en ventanilla: P 0 =
[ ∑ n = 0
n = m − 1 1 n!
λ
n
]
m! (^
λ
m mμ mμ − λ P 0 =
[∑ n = 0
n = 1 1 n!
n
]
2! (^
2 ( 2 )( 4 ) ( 2 )( 4 )− 3 P 0 =
[
0! (^
0
1! (^
1
]
2! (^
2 )^ (^4 )
P 0 =
[
0! (^
0
1! (^
1
]
P 0 =
[ 1 +0.75] +0.
P 0 =0.4545=45.45 %
2) Promedio de camiones en el sistema: L =
λ
m ( m − 1 )! ( mμ − λ )
2 P^0 +^
λ μ L =
2 ( 2 − 1 )! (( 2 )( 4 )− 3 )
2 (0.4545)+^
L =0.
3) El número de camiones que están detrás del cliente que está recibiendo: Lq = L − λ μ Lq =0.8727−
4) Tiempo promedio que está un camión en el sistema: W =
L
λ
=0.2909 horas 5) Promedio de camiones que están en espera de recibir el servicio: Wq = W −
μ
6) Tiempo porcentual que el empleado permanece ocupado: ρ = λ mμ
Analizamos los resultados Resultado del problema 10 Resultado del problema 11 Resultado del problema 13 25 % 62.5 % 0.4545 = 0.45% 2.25 camiones 0.23 camiones 0.1227 = 0.12 camiones 3 camiones 0.6 camiones 0.8727 = 0.8 camiones 0.75 horas = 45 min 0.08 horas =4.5 min 0.0409 = 2.45 min 1 hora = 60 min 0.2 horas = 12 min 0.2909 = 17.45 min 0.75= 75 % 0.375=37.5 % 0.375 = 0. Se recomienda el modelo con dos cargadores, porque toma un menor tiempo de trabajo de 12 min, por lo cual no debería construir otra plataforma porque cada camión demoraría 17 min en el sistema.
P 0 =0.
Si se utilizan 2 empleados: Wq =
λ
m ( m − 1 )! ( mμ − λ )
2 P^0
Wq =
2 ( 2 − 1 )! (( 2 )( 20 )− 30 )
Wq =
Wq =0.06430 horas
- Se registra los datos para 3 empleados en el software QM for Windows: Probabilidad de cero para m = 3: P 0 =
[ ∑ n = 0
n = m − 1 1 n!
λ
n
]
m! (^
λ
m mμ mμ − λ P 0 =
[
∑ n = 0 n = 2 1
n! (^
n
]
3! (^
P 0 =
[
0! (^
0
1! (^
1
2
]
P 0 =
[ 1 +1.5+1.125] +1.
P 0 =0.
Si se utilizan 3 empleados: Wq = μ
λ
m ( m − 1 )! ( mμ − λ )
2 P^0
W (^) q =
3 ( 3 − 1 )! (( 3 )( 20 )− 30 )
Wq =0.00789 horas
- Se registra los datos para 4 empleados en el software QM for Windows: Probabilidad de cero para m = 4: P 0 =
[ ∑ n = 0
n = m − 1 1 n!
λ
n
]
m! (^
λ
m mμ mμ − λ P 0 =
[∑ n = 0
n = 3 1
n! (^
n
]
4! (^
P 0 =
[
0! (^
0
1! (^
1
2
3! (^
3
]
P 0 =
[ 1 +1.5+1.125+0.5625] +0.
P 0 =0.
Si se utilizan 4 empleados: Wq =
λ
m ( m − 1 )! ( mμ − λ )
2 P^0
Wq =
4 ( 4 − 1 )! (( 4 )( 20 )− 30 )
Wq =0.00149 horas
