¡Descarga PROGRAMACION LINEAL 1 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
En los siglos XVII y XVIII matemáticos como Newton, Leibniz, Bernouilli y sobre todo Lagrange, que tanto habían contribuido al desarrollo del cálculo infinitesimal, se ocuparon de obtener máximos y mínimos condicionados de determinadas funciones.
Posteriormente, el matemático francés Jean Batiste-Joseph Fourier fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los métodos de lo que actualmente llamamos Programación Lineal.
Si exceptuamos al matemático Gaspar Monge, quien en 1776 se interesó por problemas de este género, debemos remontarnos al año 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los métodos de la actual Programación Lineal. En este año, el matemático ruso Leonidas Vitalyevich Kantorovitch publica una extensa monografía titulada “ Métodos matemáticos de organización y planificación de la producción ”, en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teoría matemática precisa y bien definida llamada, hoy en día, Programación Lineal.
En 1941, se formula por primera vez el problema del transporte, estudiado independientemente por Kopmans y por Kantorovitch, razón por la cual se le suele conocer con el nombre de Kopmans-Kantorovitch.
Tres años más tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de “ régimen alimenticio opcional ”. En estos años posteriores a la II Guerra Mundial, en E.E.U.U. se asumió que la eficaz coordinación de todas las energías y recursos de la nación era un problema de tal complejidad, que su resolución y simplificación pasaban necesariamente por los modelos de optimización que resuelve la Programación Lineal.
En 1947, G. B. Dantzig formula, en términos matemáticos, el enunciado estándar al que cabe reducir todo problema de Programación Lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formarían el grupo que dio en denominarse Scoop , siendo una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo el puente aéreo de Berlín. Posteriormente, se constituyen en E.E.U.U. distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la Programación Lineal.
Respecto al método del Simplex, señalar que su estudio comenzó en 1951 y fue desarrollado por Dantzig. Este algoritmo es básico en la resolución de los problemas de Programación Lineal, fundamentales en economía general, economía de empresas y planificación, aunque en principio sus aplicaciones fueron militares.
De forma general, los problemas de optimización lineal tienen la siguiente estructura:
- Existe un cierto objetivo a alcanzar, un beneficio máximo, un coste mínimo o mínimo período de tiempo del sistema que se estudia.
- Generalmente, hay un gran número de variables que deben manejarse simultáneamente y de diferentes tipos.
- Existen muchas interacciones entre las variables.
- A veces, existen objetivos contradictorios con el objetivo principal del problema.
Dicho de otro modo, un problema de Programación Lineal se caracteriza, como su propio nombre indica, por funciones lineales de las variables que involucra; el objetivo es lineal en las variables, y las restricciones son también ecuaciones o inecuaciones lineales en las variables de decisión.
Los campos de aplicación de la Programación Lineal son muy numerosos. Entre otros, se pueden citar:
la riqueza o posibilidades que ofrece su teoría, y la facilidad computacional que se tiene para los problemas lineales en contraposición con los no lineales. Al mismo tiempo, nos permite organizar la información cuantitativa en un modelo de expresión matemática accesible para expertos en otras profesiones.
Otra razón de la popularidad de la formulación lineal, tanto para el objetivo como para las restricciones, es que es a menudo la menos difícil de definir, lo cual lleva en múltiples ocasiones a linealizar objetivos no lineales, con la consiguiente aproximación de su óptimo.
Por simplicidad en los cálculos y claridad en la exposición, el estudio no se concretará en una aplicación particular. Los ejemplos que utilizaremos para describir la técnica puramente formal son de pequeñas dimensiones y económicamente irreales.
El problema general de Programación Lineal consiste en la búsqueda del óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal de n variables x (^) j , j = 1, ..., n , ligadas por
relaciones lineales (ecuaciones o inecuaciones) llamadas restricciones.
Entre las restricciones se distinguen:
- Las del tipo x (^) j ≥ 0 , imponiendo a una parte o al conjunto de las variables ser no negativas. Usualmente, son llamadas restricciones de no negatividad.
- El resto de las restricciones, del tipo que sean, a las que a veces de les denomina restricciones verdaderas.
Exceptuando el caso de los problemas lineales en números enteros, las variables pueden tomar cualquier conjunto de valores reales que satisfagan las restricciones. Precisamente, se tratará de encontrar, de entre estos posibles valores, aquel que de un mejor valor a la función lineal antes mencionada.
Las restricciones son normalmente inecuaciones o ecuaciones. Se puede suponer, siempre que sea necesario, que algunas inecuaciones se han multiplicado por – 1, para que todas las desigualdades tengan el mismo sentido, y que algunas variables se han sustituido por sus opuestas para que las únicas condiciones suplementarias impuestas a estas variables sean restricciones de no negatividad.
2.1. EJEMPLO
Supongamos que un ganadero está especializado en la explotación de ganado vacuno y que en el mercado puede comprar cuatro tipos de pienso, A, B, C y D. La composición de los piensos por tonelada es la siguiente:
Cada una de las restricciones lineales [2] y [3] se formula como una inecuación del tipo “mayor o igual”, ya que representa la cantidad total de elemento nutritivo M y N, respectivamente, que contiene la ración formada por x 1 toneladas de pienso A, x (^) 2 de B, x 3 de C y x (^) 4 de D, y que debe ser al menos 5500 unidades para M y al menos 8700 unidades para N, es decir, mayor o igual que 5500 y 8700 unidades respectivamente.
Por último, es obvio que la cantidad (toneladas) que incluye la ración de los piensos A, B, C y D debe ser no negativa, es decir, mayor o igual que cero, con lo que quedan justificadas las restricciones de no negatividad [4].
2. 1. MODELIZACIÓN DEL PROBLEMA
La traducción algebraica que podemos hacer para la formulación del objetivo, tratará de optimizar (minimizar o maximizar) la función lineal:
=
n j
f x xn cjxj 1
siendo constantes los coeficientes c (^) j.
Del mismo modo, para la formulación del sistema de restricciones:
i
n j
∑ aij^ xj ≥ b
= 1
, i = 1, ..., p
i
n j ij^ j
∑ a^ x = b
= 1
, i = p + 1, ..., m x (^) j ≥ 0 , j = 1, ..., q x (^) j cualquiera j = q + 1, ..., n
Un significado apropiado para cada una de las cantidades que intervienen sería el siguiente:
x (^) j : nivel de actividad j -ésima. Por tanto, n denotará el número de actividades. c (^) j : margen de beneficio o coste que supone producir una unidad de la actividad j -ésima. a ij : cantidad del i -ésimo recurso requerido para producir una unidad de la j -ésima avtividad. Por tanto, m denotará el número de recursos. b i : cantidad disponible del i -ésimo recurso o su requerimiento.
Toda la teoría que vamos a desarrollar se establece bajo la condición fundamental de no negatividad de las variables, condición que se impone a priori en casi todos los problemas económicos, y que puede adoptarse siempre en cualquier problema.
Consideremos tres formulaciones equivalentes del problema, todas ellas equivalentes a su vez a la forma general, y todas con variables no negativas:
- Forma canónica: útil para el desarrollo de la teoría de la dualidad.
max z = cc xc s.a.: Ac xc ≥ bc xc ≥ 0
- Forma estándar: para desarrollar los métodos de cálculo.
max z = cd xd s.a.: Ad xd = bd xd ≥ 0
- Forma mixta: comprende a las dos anteriores.
max z = ct xt s.a.: ati xt ≥ bi , i = 1, ..., p ati xt = b i , i = p + 1, ..., m xt ≥ 0
Operación I : maximizar f ( X ) equivale a minimizar – f ( X ). De este modo, siempre el problema se puede transformar en uno de maximización.
Operación II: una variable de cualquier signo x (^) j , siempre se puede sustituir
por dos no negativas de la forma que sigue:
x j = x + j^ − x^ − j , con x + j = max ( 0 , x j ) ≥ 0 , x − j = max ( 0 , − x j ) ≥ 0.
Obsérvese que así, el número de variables aumenta en una por cada una a la que le apliquemos esta transformación. Si no se desea aumentar el número de variables podemos utilizar otro método: supongamos que x 1 no está
restringida en signo, entonces podemos eliminarla utilizando alguna de las restricciones en la que el coeficiente de x 1 sea distinto de cero. Por ejemplo, si ai (^) 1 x 1 + …+ ainxn = bi es tal que ai (^) 1 ≠ 0 , entonces:
( i i i in n )
i
b a x a x a x = − 2 2 −…− 1 1
y sustituimos esta expresión en todas las restricciones restantes, así como en la función objetivo. El problema quedará expresado en términos de una variable y una restricción menos que el problema original. Obviamente, una vez obtenido el óptimo para este nuevo problema con n – 1 variables y m – 1 restricciones, se encuentra el óptimo para el problema original fácilmente.
Operación III: si para algún i se tiene bi ≤ 0 , entonces se multiplica esa
restricción por – 1, obteniendo:
i
n j i ij j
n j
∑ aij^ xj =^ b ⇔−∑ a x =− b
= 1 = 1
donde ahora − bi ≥ 0.
Operación IV: toda ecuación puede sustituirse por dos inecuaciones:
=
= = i n j ij j
i
n j ij j i
n j ij j a x b
ax b ax b 1
1 1
Operación V: toda inecuación puede sustituirse por una ecuación, agregando al primer término una variable, llamada de compensación o de holgura , yi ≥ 0.
i i
n j i ij j
n j
∑ aij^ xj ≥^ b ⇔∑ a x − y = b
= 1 = 1 i i
n j i ij j
n j
∑ aij^ xj ≤^ b ⇔∑ a x + y = b
= 1 = 1
Esta variable está afectada de un coeficiente nulo en la función objetivo a optimizar. El problema quedaría:
min Z = CX + 0 Y s.a.: AX − IY = B X ≥ 0 , Y ≥ 0
donde: 0 = ( 0 ,…, 0 ),
y m
y Y #
1 ,
I
Si hacemos el cambio de notación: y (^) s = xn + s , 1 ≤ s ≤ m , entonces:
C *^ = ( C , 0 ),
Y
X
X *^ , A *^ = ( A ,− I ) ⇒ max Z *^ = C * X *
A * X *= B
X *^ ≥ 0
Punto n -dimensional en el espacio IRn : es la n -tupla X = ( x 1 , …, xn ), y está
caracterizado por ser un conjunto ordenado de n valores o coordenadas llamadas también componentes de X.
A continuación, procedemos a formular otras definiciones de interés.
Definición:
Un conjunto C de IRn^ es convexo si para dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une también está contenido en el conjunto. Esto es, ∀ v (^) 1 , v 2 ∈ C ⇒α v 1 +β v 2 ∈ C , con α, β≥ 0 y α +β= 1.
En dos dimensiones podemos ver algunos ejemplos:
CONVEXOS
NO CONVEXOS
Definición:
Una combinación lineal convexa es una combinación de la forma ∑
=
α
n i i xi 1
, con
1 1
∑α^ =
=
n i
i ,^ α^ i ≥^0 ,^ ∀ i =^1 ,…, n.^ En^ particular,^ si^ n^ =^ 2,^ queda^ λ x^1^ +(^1 −λ)^ x 2 ,
0 ≤ λ≤ 1. También se le llama segmento lineal n -dimensional.
Definición:
En un espacio n -dimensional, el subconjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen a (^) 1 x 1 + …+ an xn = b se llama hiperplano. Un hiperplano tiene dimensión
n – 1 en un espacio n -dimensional. Al conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen a (^) 1 x 1 + …+ an xn ≤ b se le llama semiespacio cerrado.
Definición:
Un conjunto convexo se llama poliedro si es la intersección de un número finito de semiespacios cerrados.
Definición:
Un punto extremo de la región de factibilidad F es un punto que no puede ser expresado como combinación lineal convexa de otros puntos del conjunto, pero cualquier otro punto del conjunto puede expresarse como combinación lineal convexa de puntos extremos. Si el número de extremos es finito, a C se le llama poliedro convexo.
3.2. PROPOSICIONES BÁSICAS
Dado el problema de Programación Lineal expresado en forma estándar, se tienen los siguientes resultados.
max Z = CX s.a.: AX = B X ≥ 0
Teorema:
El conjunto de soluciones factibles en un problema de Programación Lineal, F , caso de no ser vacío, es un poliedro convexo que no contiene rectas.
Sea λ = max { f ( Xi^ ), i = 1 ,…, n }⇒ ( ) ≤∑αλ=λ
=
k i
f X i 1
(^0). Por tanto, X (^0) no es
un punto máximo de la función objetivo y el máximo se ha de alcanzar en los extremos.
b) Sean X^1 , X^2 dos extremos donde se alcanza el máximo de la función
objetivo, es decir, f ( X^1 ) = f ( X^2 ) =λ, y sean α ≥ 0 , β ≥ 0 con α +β= 1.
Por ser f lineal, se tiene:
f (α X^1 +β X^2 ) =α f ( X^1 ) +β f ( X^2 ) =αλ+βλ=(α +β)λ =λ
lo cual demuestra la segunda parte.
Teorema:
Si existen k vectores Pi linealmente independientes y existen x 1 (^) ,… , xk reales tales
que xP B
k i i^ i
= 1
con todos los xi ≥ 0 y k < n , entonces X = ( x 1 ,… , xk , 0 ,…, 0 )es un
vértice de F.
Demostración:
Supongamos, por reducción al absurdo, que X no es vértice de F. Entonces,
existen X^1 = ( x 11 , …, x^1 n ), X^2 = ( x 12 , …, xn^2 ) vértices distintos de F , y α, β
números reales ( α ≥ 0 , β ≥ 0 con α +β= 1 ) tales que X = α X^1 +β X^2 , esto es:
( x 1 , … , xk , 0 ,…, 0 ) =α( x^11 ,…, x^1 n ) +β( x 12 ,…, xn^2 )
Podemos considerar que α ≠ 0 y β ≠ 0 , ya que: Si α = 0, entonces β = 1, y se tendría que X = X^2 , llegando a contradicción. Si β = 0, entonces α = 1, y se tendría que X = X^1 , llegando a contradicción. Por tanto: x^1 k (^) + 1 = … = x^1 n = xk^2 + 1 =…= x^2 n = 0 , y como X^1 , X^2 ∈ F , se tiene:
2 2 (^1112 )^1 (^12 )^0
11 2
1 1 1 1 1 ⇒ − + + − =
k k k k k
k k x x P x x P AX B Px Px B
AX B Px Px B … …
y como Pi son linealmente independientes, se deduce que:
x^1 (^) i^ = xi^2 , i = 1 ,… , k ⇒ X^1 = X^2 , lo que de nuevo es una contradicción.
Así, por cualquiera de los caminos llegamos a contradicción con la hipótesis de partida, por lo tanto se concluye que X es un vértice de F.
Teorema. (recíproco del anterior)
Si el punto X = ( x 1 , … , xk , 0 ,…, 0 ) es un vértice del conjunto de restricciones,
entonces los vectores Pi asociados mediante xP B
n i
∑ i i =
= 1
a los xi son linealmente
independientes.
Demostración:
Sea X = ( x 1 ,… , xk , 0 ,…, 0 ) vértice de F con xi > 0 para 1 ≤ i ≤ k , entonces
sus vectores asociados mediante xP B
n i i^ i
= 1
son P 1 , … , Pk , y supongamos que son linealmente dependientes. Entonces, existen escalares β 1 ,…,β k tales que β 1 P 1 +… +β k Pk = 0 con alguno de esos escalares distinto de cero. Sea α > 0 0 1
=
k i i^ i
P , luego se tiene:
−α β = −αβ =
+α β = +αβ =
= = =
= = = xP P x P B
xP P x P B k i i i i
k i i i
k i i i
k i i i i
k i i i
k i i i
1 1 1
1 1 1
Construimos dos vectores de la forma:
- Si F es no acotado, puede existir solución óptima no acotada.
Consecuencia:
Para encontrar las soluciones factibles básicas óptimas, bastará con investigar el valor que toma la función objetivo en los puntos extremos del poliedro convexo que constituye la región de factibilidad, representada por la intersección de las restricciones.
Además, si dos de estos extremos son óptimos, también lo será cualquier punto del segmento o combinación lineal convexa que los une, con lo que tendríamos un número infinito de soluciones óptimas. Se estaría en esta situación cuando la función objetivo fuera paralela a una restricción.
Siempre que el problema incluya únicamente dos o tres variables de decisión, podemos representar gráficamente las restricciones para dibujar en su intersección el poliedro convexo que conforma la región de factibilidad F.
Si el número de variables es dos, las restricciones, semiespacios cerrados, son semiplanos delimitados por la recta que corresponde a cada restricción. Si el número de variables es tres, los semiespacios en este caso están delimitados por planos.
4.1. REGLA DE LOS CINCO PASOS
Para hallar, gráficamente, la solución de un problema de Programación Lineal con dos variables, procederemos del siguiente modo:
Paso 1: representaremos todas las restricciones del problema para determinar la región de factibilidad F. Si ésta es vacía, el problema no tiene solución óptima, se dice que es inconsistente. En otro caso, ir al paso 2.
Paso 2: identificar los extremos o vértices de F.
Paso 3: dibujar una de las rectas que pertenece a la familia de rectas paralelas que representa la función objetivo, f ( X ) = k. Habitualmente, suele dibujarse f ( X ) = 0 por comodidad.
Paso 4: desplazamos paralelamente a sí misma la recta que representa la función objetivo para determinar la dirección de mejora, que será aumento o disminución según si el objetivo del problema es la maximización o minimización de dicha función.
