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PAU: PROGRAMACIÓN LINEAL
Una confitería es famosa por su dos especialidades de tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. la tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos y tiene un precio d
1.
e venta de 8 €. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 10 €. En el almacén les quedaban 10 kilos de azúcar y 120 huevos. a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?
Solución:
a) Sean x "número de tartas tipo Imperial" e y "número de tartas tipo Lima"
Se hace la tabla para establecer las restricciones:
Azúcar Huevos Imperial 0,5 x^ 8x Lima y^ 8 y 10 120
x 0 , y 0 x 0 , y 0 0,5 x y 10 x 2y 20 8x 8 y 120 x y 15
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La función objetivo, que representa los ingresos por ventas, y que considerando las restricciones anteriores hay que maximizar: z f(x, y) 8x 10 y
Se representan el conjunto de restricciones y la recta 4x 5y 0, que da la dirección de las rectas z f(x,y) 8x 10 y
x y 15 b) x 10 y 5 x 2y 20
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z f(x,y) 8x 10 y (0,10): f(0,10) 10. 10 100 (10,5): f(10,5) 8. 10 10.5 130 (15,0): f(10,5) 8. 15 120
El mayor ingreso se obtiene con 10 tartas Imperiales y 5 tartas de Lima.
Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con 500 €. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 0,5 € el kg y las de tipo B a 0,8 € el kg. Sabemos que solo dispone en su furgon
2.
eta de espacio para transportar 700 kg de naranjas como máximo y que piensa vender el kilo de naranajas de tipo A a 0,58 € y el de tipo B a 0,9 €. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener beneficio máximo?
Solución:
Sean x "kg de naranjas de tipo A" e y "kg de naranjas de tipo B"
Las restricciones del problema son:
x 0 , y 0 x 0 , y 0 x y 700 x y 700 0,5x 0,8 y 500 5x 8 y 5000
^ ^ ^
La función que da el beneficio, sujeta a las restricciones anteriores, es: z f(x, y) (0,58 0,5)x (0,9 0,8)y 0,08x 0,1y
Se representa la recta 0,08x 0,1y 0 8x 10 y 0 4 x 5y 0
El máximo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:
Solución:
a) Sean x "número kg de maíz" e y "número kg de pienso"
Las restricciones son:
x 0 , y 0 2,5 x y 3 x 2y 4
La función coste para minimizar: z f(x,y) 0,3x 0,52y
El conjunto de restricciones y la recta 0,3x 0,52y 0 15x 26 y 0 da la dirección de las rectas z 0,3x 0,52y
El mínimo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:
2,5 x y (^3 1 ) x y x 2y 4 2 4
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En consecuencia, para que el coste sea mínimo se deben de utilizar (^1) kg de maíz y 7 kg de pienso compuesto 2 4
b) Sí se añade la restricción y 1 a las anteriores, la región sería:
Las restricciones son: x 0 , 0 y 1 x 1,5y 750 1,5x y 750
^ ^ ^
El mínimo coste se obtiene en el punto de intersección de las rectas:
y 1 x 2 y 1 x 2y 4
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^
Por tanto, se deberían utilizar 2 kg de maíz y 1 kg de pienso compuesto.
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Un ganadero debe suministrar un mínimo diario de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B en el pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso P y P , cuyos contenidos vitamínic
5.
os por kg son los que aparecen en la tabla:
A B P 1 2 6 P 2 4 3
Si el kilogramo de pienso P 1 vale 0,4 € y el del P 2 vale 0,6 €, ¿cómo deben mezclarse los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?
Solución:
a) Sean x "kg de pienso P " 1 e y "kg de pienso P " 2
Las restricciones son:
x 0 , y 0 x 0 , y 0 2x 4 y 4 x 2y 2 6x 3y 6 2x y 2
^ ^ ^
La función de coste para minimizar: z f(x,y) 0,4 x 0,6 y
El conjunto de restricciones y la recta 0,4 x 0,6y 0 2x 3y 0 da la dirección de las rectas z 0,4 x 0,6y
El mínimo se obtiene en el punto de intersección de las rectas:
2x y (^2 2 ) x y x 2y (^2 3 )
^
^
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1 2
En consecuencia, para que el coste sea mínimo se deben mezclar (^2) kg de pienso P y 2 kg de pienso P 3 3
Una persona tiene 15.000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene un interés anual del 9%, y el tipo B, del 5%. Decide invertir, como máximo, 9.000 € en A, y como mínimo, 3.
7.
0 € en B. Además, quiere invertir en A tanto o más que en B. a) Dibuja la región factible. b) ¿Cómo debe invertir los 15.000 € para que el beneficio sea máximo? c) ¿Cuál es ese beneficio anual máximo?
Solución:
a) Denotando por: x "euros invertidos en acciones tipo A" e y "euros invertidos en acciones tipo B"
0 x 9.000 , y 3. Las restricciones establecidas son: x y x y 15.
^ ^ ^
La función objetivo que hay que maximizar es: z f(x, y) 0,09 x 0,05y
b) Se analiza donde se hace máxima la función objetivo en los vértices de la región factible.
f(3000, 3000) 0,09. 3000 0,05. 3000 420 f(9000, 3000) 0,09. 9000 0,05. 3000 960 z f(x, y) 0,09 x 0,05y f(9000, 6000) 0,09. 9000 0,05. 6000 1110 f(7500, 7500) 0,09. 7500 0,05. 7500 1050
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Para que el beneficio sea máximo de deben de invertir 9000 euros en acciones de tipo A y 6000 euros en acciones de tipo B.
c) El beneficio máximo anual es de 1110 euros
Un taller de confección hace chaquetas y pantalones para niños. Para hacer una chaqueta, se necesitan 1 m de tela y 2 botones; y para hacer unos pantalones, hacen falta 2 m de tela, 1 botón y 1 cre
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mallera. El taller dispone de 500 m de tela, 400 botones y 225 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una chaqueta es de 20 €, y por la de unos pantolones, 30 €. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcula el número de chaquetas y de pantalones que se tienen que hacer para obtener un beneficio máximo.
Solución:
Sea x "número de chaquetas" e y "número de pantalones"
Se hace la tabla para establecer las restricciones:
Chaqueta Pantalones Disponible Tela x 2y 500 Botones 2x y 400 Cremalleras y 225 Beneficio 20x 30y
x 0 , 0 y 225 Las restricciones son: x 2y 500 2x y 400
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La función objetivo que hay que maximizar es: z f(x, y) 20x 30 y
Se representa el conjunto de restricciones y la recta 20x 30 y 0, que da la dirección de las rectas 20x 30y k
x 2y 500 x 100 2x y 400 y 200
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^ ^
- El máximo se encuentra en uno de los vértices de la región factible (zona azul):
f(0, 50) 4. 50 200 z f(x, y) 5x 4 y f(30, 20) 5. 30 4. 20 230 f(40, 0) 5. 40 200
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El artesano tiene que fabricar 30 collares y 20 pulseras para obtener el beneficio máximo de 230 euros.
Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 Kilocalorías por cada 100 g de ingrediente, mientras
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que el B contiene 15 g de grasas y 100 Kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 euros por cada 100 g. del ingrediente A y de 1 euros por cada 100 g del ingrediente B. El menú a diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y al menos 110 Kilocalorías por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada ingrediente a emplear en el menú de manera que su coste sea lo más reducido posible.
- Indíquese la expresión de las restricciones y la funcion objetivo.
- Represéntese gráficamente la región delimitada por las restricciones.
- Calcúlese el porcentaje óptimo de cada ingrediente a incluir en el menú.
Solución:
- Sea x "cantidad de A" e y "cantidad de B"
Para establecer las restricciones se hace la siguiente tabla:
Grasas Kilocalorías Coste A 35 150 1, B 15 100 2 30 110
x 0 , y 0 x 0 , y 0 Las restricciones son: 35x 15y 30 7x 3y 6 150x 100 y 110 15x 10 y 11
^ ^ ^
La función objetivo que hay que minimizar es: z f(x, y) 1,5 x y
- Se representa el conjunto de restricciones y la recta 1,5 x y 0, que da la dirección de las rectas 1,5 x y k
Los vértices son: (0,2) , (0, 11/10) , (11/15, 0) y (6/7, 0)
- El valor mínimo es cualquier punto de la recta 15x 10 y 11
15x 10 y 11 Para obtener el porcentaje se resuelve el sistema: x y 1
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x 0,2 (20%) e y 0,8 (80%)
La proporción buscada sería el 20% de A y el 80% de B
2
2
Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una supercie de 480 m. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m por kg
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y un precio de 1 euro por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar mas de 75 kg y el presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dicho coste mínimo.
Solución:
Sea x "número de kilos de pintura comprados al proveedor A" e y "número de kilos de pintura comprados al proveedor B"
Para establecer las restricciones se hace la siguiente tabla:
Proveedor Rendimiento Precio A 6 1 B 8 1,
0 x 75 , 0 y 75 0 x 75 , 0 y 75 Las restricciones son: 6x 8 y 480 3x 4 y 240 x 1,2y 120 5x 6 y 600
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
F(3,0) 3.3 9
F(x,y) 3x y F(6, 3) 3.6 3 21 máximo F(0, 15) 15
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Una fábrica de piensos para animales produce diariamente como mucho seis toneladas de pienso del tipo A y como máximo cuatro toneladas de pienso del tipo B. Además, la producción diaria de pienso
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del tipo B no puede superar el doble de la del tipo A y, por último, el doble de la fabricación de pienso del tipo A sumada con la del tipo B debe ser como poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso del tipo A es de 1000 euros y el de una tonelada del tipo B de 2000 euros, ¿cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
Solución:
Sea x "cantidad de pienso de A" e y "cantidad de pienso de B"
0 x 6 , 0 y 4 0 x 6 , 0 y 4 Las restricciones son: y 2x 2x y 0 2x y 4 2x y 4
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La función objetivo para minimizar es: z f(x, y) 1000 x 2000 y
Los vértices son: (2, 0) , (6, 0) , (6, 4) , (2, 4) , (1, 2)
f(2, 0) 1000. 2 2000 f(2, 4) 1000. 2 2000. 4 10000 f(6, 0) 1000. 6 6000 f(1, 2) 1000 2000. 2 5000 f(6, 4) 1000. 6 2000. 4 14000
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El coste mínimo es de 2000 euros y se alcanza produciendo 2 toneladas de pienso A y ninguna tonelada de pienso B.
