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La Matemática, señores, enseña al hombre a ser sencillo y modesto; es la base
de todas las ciencias y todas las artes.
Aldebazan, rey de Irak, descansando cierta vez en la galería de su palacio, soñó que encontraba siete jóvenes que caminaban por una ruta. En cierto momento, vencidas por la fatiga y por la sed, las jóvenes se detuvieron bajo el sol calcinante del desierto. Apareció entonces, una hermosa princesa que se aproximó a las peregrinas, trayéndoles un gran cántaro de agua pura y fresca. La bondadosa princesa sació la sed que devoraba a las jóvenes, y éstas pudieron reanudar su interrumpida jornada. Al despertar, impresionado con ese curioso sueño, decidió Aldebazan entrevistarse con un astrólogo famoso, llamado Sanib. Dijo Sanib : “ ¡ Señor ¡ Las siete jóvenes que caminaban por la ruta, eran las artes divinas y las ciencias humanas : la Pintura, la Música, la Escultura, la Arquitectura, la Retórica, la Dialéctica y la Filosofía. La princesa que las socorrió representa la grande y prodigiosa Matemática. Sin el auxilio de la Matemática las artes no pueden progresar, y todas las otras ciencias perecen”. Impresionado el rey por lo que oía, determinó que se organizasen en todas las ciudades, oasis y aldeas de su país, centros de estudios matemáticos. Elocuentes y hábiles maestros iban por orden del soberano recorriendo el país enseñando Aritmética. En las paredes de las mezquitas y en las puertas de los palacios, los versos de los poetas famosos fueron sustituidos por fórmulas algebraicas y por cálculos numéricos. Al cabo de pocos meses aconteció que el país atravesaba por una era de prosperidad. Paralelamente al progreso de la ciencia, crecían los recursos materiales del país, las escuelas estaban repletas; el comercio se acrecentaba, en forma prodigiosa; multiplicábanse las obras de arte; levantábanse monumentos, y las ciudades estaban colmadas de turistas y curiosos. El país tenía abierta las puertas del progreso y a la riqueza, si no hubiese sido por la muerte repentina de Aldabezan. La muerte del soberano abrió dos tumbas: Una de ellas acogió el cuerpo del glorioso monarca, y la otra la cultura científica del pueblo. Subió al trono un príncipe vanidoso, indolente y de limitadas dotes intelectuales. Le preocupaban más las diversiones que los problemas administrativos del Estado. Pocos meses después, todos los servicios públicos estaban desorganizados; las escuelas cerradas, y los artistas y maestros, forzados a huir bajo la amenaza de los malvados y malhechores. El tesoro público fue dilapidado en múltiples festines y desenfrenados banquetes. El país de Irak, llevado a la ruina por el desorden fue atacado por enemigos ambiciosos y vencido. La historia de Aldebazan, señores, nos demuestra que el progreso de un pueblo se halla ligado al desenvolvimiento de los estudios matemáticos. Cabe recordar aquí la frase célebre de Napoleón: “ El progreso de un pueblo depende exclusivamente del desenvolvimiento de la cultura matemática”.
MALBA TAHAN
El hombre que calculaba
II NN DD II CC EE
PROGRAMACIÓN LINEAL
Prólogo. i El arte de plantear ecuaciones. Ii
NOTA: Después de la bibliografía del capítulo de Programación Lineal
(página 14 8 ) encontrarás el capítulo NOCIONES BÁSICAS DE PERT-
- Introducción. La vida de Diofanto. Iii - Ejercicio 1.
- Despliegue y solución en la hoja de cálculo EXCEL. - Ejercicio 2.
- Despliegue y solución en la hoja de cálculo EXCEL. - Ejercicio 3. - Ejercicio 4. - Ejercicio 5. - Ejercicio 6. - Ejercicio 7. - Ejercicio 8. - Ejercicio 9. - Ejercicio 10. - Ejercicio 11. - Ejercicio 12. - Ejercicio 13. - Ejercicio 14. - Ejercicio 15. - Ejercicio 16. - Ejercicio 17. - Ejercicio 18. - Ejercicio 19. - Ejercicio 20. - Ejercicio 21. - Ejercicio 22. - Ejercicio 23. - Ejercicio 24. - Consideraciones iniciales. MÉTODO DE TRANSPORTE - Tabla de transporte. - Despliegue y solución en la hoja de cálculo EXCEL. - Caso especial: OFERTA > DEMANDA. - Caso especial: OFERTA < DEMANDA. - MODELO DE ASIGNACIÓN - OTRAS APLICACIONES DE LA P.L - BIBLIOGRAFIA.
Para determinar cuál es el capital inicial del comerciante no queda
más que resolver la última ecuación. ( X = 1.120,oo libras ).
La solución de una ecuación es, con frecuencia, tarea fácil; en
cambio, plantear la ecuación a base de los datos de un problema suele
ser más difícil.
LA VIDA DE DIOFANTO
La vida ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto ,
notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de
él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro,
inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos
esta inscripción:
En la lengua vernácula: En el idioma del álgebra:
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡OH, milagro!, cuán larga fue su vida.
X
Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia.
X 6 Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla
X 12
Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril.
X 7 Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito.
5
Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan solo la mitad de la de su padre
X 2
Y en profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo.
X = X + X + X + 5 + X + 4 6 12 7 2
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la
muerte.
PROGRAMACION LINEAL ( iii )
Al resolver la ecuación y hallar el valor de la incógnita, X = 84 ,
conocemos los siguientes datos biográficos de Diofanto: se casó a los
21 años, fue padre a los 38, perdió a su hijo a los 80 y murió a los 84.
NOTA INICIAL : Como notará más adelante, todos los ejercicios serán “atacados” o visualizados bajo la misma metodología de resolución, a saber:
1.- Identificación del problema, 2.- Identificación de las incógnitas o variables de solución, 3.- Construcción del modelo matemático, 4.- Uso de la herramienta adecuada para resolverlo y 5.- Comprobación de los resultados.
Recomendamos el uso constante de esta metodología y si es posible la lectura del texto COMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS del eminente matemático POYLA G. ING. José Luís Albornoz Salazar ( iv )
I N T R O D U C C I Ó N
La programación lineal trata el problema de colocar recursos
limitados en una actividad en la mejor forma posible, esto es, en la
forma óptima.
En el caso de una empresa, sus recursos (hombres, máquinas,
capital, materiales, etc.) son limitados, por tanto, ésta debe encontrar la
mejor asignación de esos recursos con el fín de maximizar sus
ganancias; si hablamos de empresas del estado estas deberán utilizar
los recursos disponibles minimizando los costos.
La programación lineal puede definirse como una técnica
matemática que determina la mejor asignación de los recursos
limitados optimizando un objetivo (maximizando o minimizando).
El término lineal se refiere a que todas las ecuaciones matemáticas,
que representan tanto a las restricciones en los recursos como el
objetivo a optimizar, deben ser lineales.
PLANTEAMIENTO DEL
PROBLEMA
Desde el punto de vista matemático, el enunciado completo de un
problema de programación lineal considera:
1.- Un conjunto de inecuaciones lineales simultáneas que representan
las condiciones o restricciones del problema.
2.- Una función objetivo lineal que justamente expresa o representa lo
que va a ser optimizado.
El problema podría consistir en maximizar una función lineal
condicionada por desigualdades lineales, cuando se trata de utilidades
o productos; o bien, en minimizar una función lineal condicionada por
desigualdades lineales, cuando se trata de costos.
PROGRAMACION LINEAL - 1 -
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación nos encontraremos con una serie de ejercicios que
persiguen orientar a los estudiantes en la manera de enfocar algunos
problemas relacionados con la programación lineal. Se ataca primero,
como es lógico, la construcción del MODELO MATEMÁTICO y
posteriormente se procede a buscar la solución gráfica para aquellos
ejercicios con dos incógnitas o variables de decisión.
Cuando se presenten tres o más incógnitas o variables de decisión
se hace necesario el uso del computador.
Los paquetes de Hojas de Cálculo, como EXCEL, son una
herramienta conocida para analizar y resolver problemas de
Programación Lineal. Es sencillo introducir en una hoja de cálculo las
características principales de un modelo de programación lineal,
incluyendo todos sus parámetros, además, el EXCEL SOLVER puede
aplicar el método símplex para encontrar una solución óptima para el
modelo.
Existen varios Lenguajes de Modelado Matemático diseñados
para formular y resolver una amplia variedad de problemas de
optimización, que incluyen problemas de programación lineal,
programación lineal entera y programación no lineal. Podemos citar :
TORA, MPL, LINGO, GAMS, entre otros.
- TORA es suministrado junto con el texto “Investigación de Operaciones” de Taha.
- LINGO es suministrado junto con el texto “Investigación de Operaciones” de Hillier -Lieberman.
- La versión para estudiantes de LINDO/LINGO está disponible para bajarse de Internet en el sitio www.Lindo.com.
- Todos estos paquetes poseen un tutorial que facilita su iniciación y uso.
Pero aún cuando contemos con tan prestigiosas herramientas
tecnológicas jamás podremos sustituir la participación de la inteligencia
humana para “construir” el modelo matemático.
ING. José Luís Albornoz Salazar - 2 -
A1 = Latas de bebida A1 que debe tener la tienda en existencia diariamente.
A2 = Latas de bebida Bk que debe tener la tienda en existencia diariamente.
El objetivo es incrementar al máximo la utilidad por la venta de los dos tipos de bebidas. Se menciona que la utilidad es de 5 centavos por lata de A y 7 centavos por lata de Bk.
La ecuación que representa la utilidad total por concepto de ventas de latas de estas bebidas será:
Z = 5 A1 + 7 A
Ahora analizamos el enunciado del ejercicio buscando las condiciones o restricciones que limitan las ventas de dichas bebidas:
Nota : Es bueno recomendar que las restricciones se expresen de manera tal
que las incógnitas queden del lado izquierdo de la desigualdad o ecuación y los términos independientes (números) del lado derecho. Esta recomendación nos facilitará el uso de las hojas de cálculo u otros métodos de resolución (método simplex, programas computarizados, etc.).
- En promedio la tienda no vende más de 500 latas de ambas bebidas al día:
A1 + A2 < = 500 (1)
- Los clientes tienden a comprar más latas de la marca Bk :
A2 > = A (atendiendo la nota anterior)
- A1 + A2 > = 0 (2)
-Las ventas de Bk superan a las ventas de A1 en una razón de 2:1 por lo menos (Ver y analizar el ordinal 6 de la página 3 ) :
A2 > = 2 A (atendiendo la nota anterior)
- 2 A1 + A2 > = 0 (3)
- Se venden como mínimo 100 latas de A1 al día:
A1 > = 100 (4)
PROGRAMACION LINEAL - 5 -
El Modelo de Programación Lineal (MPL) quedará expresado como: MAXIMIZAR : Z = 5 A1 + 7 A
Sujeto a: A1 + A2 < = 500 (1)
- A1 + A2 > = 0 (2) - 2 A1 + A2 > = 0 (3) A1 > = 100 (4) Y a la condición de no negatividad que implica que todas las variables de decisión sean positivas (valores mayores o iguales a cero) A1 , A2 > = 0 (5) Solución Gráfica:
El problema tiene solamente dos variables de decisión, A1 y A2, y por lo tanto sólo dos dimensiones, así que podemos usar un procedimiento gráfico para resolverlo.
Dicho proceso consiste en dibujar un gráfico en dos dimensiones, utilizando a A1 y A2 como los ejes. El primer paso consiste en identificar los valores de A1 y A2 permitidos por las restricciones, esto es, la región o área factible de solución determinada por las restricciones.
Recuerde que las restricciones de no negatividad ( A1 > = 0 ; A2 > = 0) limitarán la región factible a estar en el cuadrante positivo (conocido como primer cuadrante).
- Estudiando la primera restricción A1 + A2 < = 500 (1 )
A 2 El área sombreada representa el espacio de solución factible de A1 + A2 < = 500 500
A1 + A2 = 500
A 1
500
ING. José Luís Albornoz Salazar - 6 -
El procedimiento más recomendado consiste en trazar la recta (“generada por la restricción”) y sombrear el lado factible y a medida que vayamos graficando nuevas rectas “borramos” el área sombreada anteriormente que no cumpla con esta nueva restricción.
En el gráfico anterior notamos que el punto (100,200) cumple con la restricción (100 + 200 < 500) por lo que todos los que están en el primer cuadrante y del lado izquierdo de la recta también.
- Estudiando la restricción 2: - A1 + A2 > = 0 (2) A 2 El área sombreada representa el espacio de solución factible de A1 + A2 < = 500 500 y - A1 + A2 > = 0
- A1 + A2 = 0
A1 + A2 = 500
A 1
500
El punto (100,200) cumple con la restricción dos (-100 +200 > 0) y ya vimos que cumple con la restricción 1. Sin embargo el punto (200,100) cumple
con la restricción 1 (200+100 < 500) pero NO cumple con la restricción
2 (-200+100 no es mayor que 0) por lo tanto no estará dentro del espacio de solución.
El estudiante debe recordar que para formar parte del espacio de solución o área factible los puntos deben cumplir con todas las restricciones que se vayan estudiando.
El último aspecto señalado permite garantizar que la solución encontrada cumpla con todas las restricciones o limitaciones que impone el Modelo Matemático.
Nótese también que a medida que se van analizando las restricciones el espacio factible (área sombreada) se hace menor. JAMAS crecerá.
PROGRAMACION LINEAL - 7 -
- Estudiando la restricción 3: - 2A1 + A2 > = 0 (3) A 2 El área sombreada representa el espacio de solución factible
- 2 A1 + A2 = 0 de - 2 A1 + A2 > = 0 A1 + A2 < = 500 500 - A1 + A2 > = 0
- A1 + A2 = 0
A1 + A2 = 500
A 1
500
- Estudiando la restricción 4: A1 > =100 (4)
A 2 A1 = 100 El área sombreada representa el espacio
- 2 A1 + A2 = 0 TOTAL de solución
500
A1 + A2 = 500
A 1
500
Definida como ha sido el área total de factibilidad, el último paso consiste en escoger el punto de dicha región que maximiza el valor de la función objetivo.
En un “punto de esquina” de esta área sombreada se encuentra el “ punto óptimo de solución ”, es decir el punto que contiene el valor de A1 y A2 que cumpliendo con todas las restricciones me permitirá obtener el máximo valor de Z. (Zmáx.)
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Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo matemático.
Introduzca “ceros” en las celdas donde desea se reflejen los resultados de A1 y A2 (en este caso B12 y C12).
PROGRAMACION LINEAL - 11 -
Introduzca las fórmulas en las celdas G5, G6, G7 y G8 ; ellas reflejarán
los valores que adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto el problema.
- Celda G5 _=B5B12+C5C_**
- Celda G6 _=B6B12+C6C_**
- Celda G7 _=B7B12+C7C_**
- Celda G8 _=B8B12+C8C_**
(En la hoja de cálculo se reflejarán “ceros” inicialmente)
Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda G12.
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En ella se reflejará el valor de Zmáximo una vez aplicado “Solver”. Inicialmente reflejará cero.
Una vez que se introduce el modelo en la hoja de cálculo, es sencillo analizar soluciones potenciales. Cuando se dan valores a las variables de decisión (celdas B12 y C12), la columna “G” muestra de inmediato los valores de cada condición de restricción (celdas G5 hasta G8) y la celda G muestra la ganancia total.
Haga una prueba con este ejercicio y coloque 10 en las celdas B12 y C respectivamente. Si ha llenado bien su hoja de cálculo en la pantalla de su PC aparecerán los valores que mostramos a continuación:
PROGRAMACION LINEAL - 13 -
Para calcular el valor de Z máximo, se utiliza una herramienta que incluye Excel llamada “ SOLVER”.
Para correr el Solver se elige ¨SOLVER” en el menú “Herramientas”.
En caso de que su computador no muestre en el menú “Herramientas” el comando “Solver”, busque en dicho menú el comando “Complementos” e instale “Solver”.
Una vez instalado haga clic en “Solver” y se mostrará un cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”.
Antes de que “Solver” pueda resolver el problema, necesita conocer con exactitud, donde se localizan los componentes del modelo en la hoja de cálculo. Es posible escribir las direcciones de las celdas o hacer clic en ellas.
En el espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado, donde se solicita la celda objetivo coloque $G$12.
En los círculos blancos donde se solicita el “valor de la celda objetivo” indique “Máximo ”. El modelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la palabra máximo).
En el espacio central izquierdo, donde se solicita “cambiando las celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas B12 y C12, coloque $B$12:$C$12.
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Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y “Asumir no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos).
Con un clic en “Aceptar” se regresa al cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”.
Ahora todo está listo para hacer clic en “Resolver” y después de unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas B12 y C12, y en la celda objetivo (G12) aparecerá el valor máximo de la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en “Aceptar”.
PROGRAMACION LINEAL - 17 -
Y aparecerá la hoja de resultados:
Los resultados de este ejercicio se “leen” de la siguiente manera: A 1 = 100 A 2 = 400
Para maximizar la utilidad la tienda debe tener en existencia 100
latas de la marca A1 y 400 latas de la marca Bk.
La utilidad máxima que obtendrá al vender las cantidades
indicadas anteriormente será de 3300 centavos de dólar.
Zmáx = 3.300,oo
ING. José Luís Albornoz Salazar - 18 -
EJERCICIO 2. Página 25. TAHA. 6ta edición. Respuesta: José Luis Albornoz S. BFC emplea a cuatro carpinteros durante 10 días para ensamblar mesas y sillas. Se requieren 2 horas para ensamblar una mesa y 30 minutos para ensamblar una silla. Por lo común, los clientes compran entre cuatro y seis sillas con cada mesa. Las utilidades son de $ 135 por mesa y $ 50 por silla. La compañía opera un turno de 8 horas al día.
Determine gráficamente la mezcla de producción óptima de los 10 días.
Respuesta:
Las variables de decisión estarán representadas como:
M = Mesas a ensamblar durante 10 días.
S = Sillas a ensamblar durante 10 días.
Se entiende que buscar la mezcla óptima de producción es aquella que genere mayores beneficios. Por lo que el Modelo de PL tendrá que enfocar MAXIMIZAR la función objetivo (Z).
La función objetivo relacionará entonces la utilidad de cada variable de decisión:
Z = $135 M + $50 S
Sujeta a las siguientes restricciones:
Antes de abordar las restricciones es bueno señalar las unidades de tiempo en que vamos a trabajar. Se recomienda trabajar en horas y hacer las siguientes observaciones:
- 30 minutos = 0,5 horas.
- La compañía opera 8 horas al día y empleará 10 días para ensamblar mesas y sillas. El tiempo total de trabajo será de 80 horas (8 x 10):
- Tiempo de ensamblaje:
PROGRAMACION LINEAL - 19 -
Se requieren 2 horas para ensamblar una mesa y 30 minutos para ensamblar una silla y el tiempo total disponible es de 80 horas:
2 M + 0,5 S < = 80 (1)
- Los clientes compran entre 4 y 6 sillas con cada mesa ( 4 M < = S = < 6 M ): 4 M < = S (colocando las incógnitas del lado izquierdo)
4 M - S < = 0 (2)
S < = 6 M (colocando las incógnitas del lado izquierdo)
- 6 M + S < = 0 (3)
- Condición de no negatividad que implica que todas las variables de decisión sean positivas (valores mayores o iguales a cero)
M ; S > = 0 (4)
Solución Gráfica:
- Estudiando la restricción 1: 2 M + 0,5 S < = 80 (1)
S
160
120 2M + 0,5 S = 80
80
40
M
10 20 30 40 50
ING. José Luís Albornoz Salazar - 20 -
Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo matemático.
Introduzca “ceros” en las celdas donde desea se reflejen lo s resultados de
M y S (en este caso B12 y C12).
Introduzca las fórmulas en las celdas G5, G6, y G7 ; ellas reflejarán los
valores que adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto el problema.
- Celda G5 _=B5B12+C5C_**
- Celda G6 _=B6B12+C6C_**
- Celda G7 _=B7B12+C7C_**
PROGRAMACION LINEAL - 23 -
Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda G12.
Haga clic en “Solver” y se mostrará un cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”. En el espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado, donde se solicita la celda objetivo coloque $G$12. En los círculos blancos donde se solicita el “valor de la celda objetivo” indique “Máximo ”. El m odelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la palabra máximo). En el espacio central izquierdo, donde se solicita “cambiando las celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas B12 y C12, coloque $B$12:$C$12.
ING. José Luís Albornoz Salazar - 24 -
En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda, “Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic en “Agregar”.
Todas las restricciones son del tipo < =. En este caso se le ordena al programa que los valores de las celdas G5, G6 y G7 deben ser menores o iguales a los de las celdas E5, E6 y E7 respectivamente.
- Coloque: $G$5:$G$7 <= $E$5:$E$
También puede hacerlo una a una como en el ejercicio anterior.
Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, se elige el botón “Opciones” y aparecerá el cuadro de diálogo “Opciones de Solver”.
Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y “Asumir no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos).
Con un clic en “Aceptar” se regresa al cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”.
PROGRAMACION LINEAL - 25 -
Ahora todo está listo para hacer clic en “Resolver” y después de unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas B12 y C12, y en la celda objetivo (G12) aparecerá el valor máximo de la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en “Aceptar”.
Y aparecerá la hoja de resultados:
Los resultados de este ejercicio se “leen” de la siguiente manera:
M = 16 S = 96
Para maximizar la utilidad BFC debe ensamblar 16 mesas y 96
sillas durante los 10 días.
La utilidad máxima que obtendrá al vender las cantidades
indicadas anteriormente será de 6.690,oo dólares.
Zmáx = $ 6.690,oo
ING. José Luís Albornoz Salazar - 26 -
Lo que significa que para maximizar su satisfacción Jack dedicará 4 horas al juego y 6 horas diarias al estudio..
La máxima satisfacción se calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo (Z).
Z = 2 Xj + Xe ; Z = 2 (4) + 6
Zmáx = 14 “unidades de satisfacción”
DESPLIEGUE Y SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO
EN LA HOJA DE CÁLCULO EXCEL:
El procedimiento es similar al utilizado en el Ejercicio 1.
Coloque en la FILA 3 los valores que acompañan las incógnitas o variables de decisión en la función objetivo Z.
Introduzca las restricciones que aparecen en el modelo matemático.
Introduzca “ceros” en las celdas donde desea se reflejen los resultados de
Xj y Xe (en este caso B12 y C12).
Introduzca las fórmulas en las celdas G5, G6, y G7 ; ellas reflejarán los
valores que adquieren las condiciones de restricción una vez resuelto el problema.
- Celda G5 _=B5B12+C5C_**
- Celda G6 _=B6B12+C6C_**
- Celda G7 _=B7B12+C7C_**
Introduzca la fórmula de la función objetivo en la celda G12.
PROGRAMACION LINEAL - 29 -
Haga clic en “Solver” y se mostrará un cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”.
En el espacio superior izquierdo del cuadro de diálogo mostrado, donde se solicita la celda objetivo coloque $G$12.
En los círculos blancos donde se solicita el “valor de la celda objetivo” indique “Máximo ”. El modelo matemático pide maximizar Z.(haga clic sobre la palabra máximo).
En el espacio central izquierdo, donde se solicita “cambiando las celdas” indique las celdas donde se propuso anteriormente que se mostraran los resultados de cada incógnita. En este caso son las celdas B12 y C12, coloque $B$12:$C$12.
ING. José Luís Albornoz Salazar - 30 -
En el espacio en blanco, en la parte inferior izquierda, “Sujetas a las siguientes Restricciones” indique las restricciones o condiciones del problema, para lo cual haga clic en “Agregar”.
Antes de pedir a ¨Solver” que resuelva el modelo, se elige el botón “Opciones” y aparecerá el cuadro de diálogo “Opciones de Solver”.
Este cuadro permite especificar las opciones para resolver el modelo. Lo más importante son las opciones “Adoptar Modelo Lineal” y “Asumir no negativos” (asegúrese de hacer clic sobre ellos).
Con un clic en “Aceptar” se regresa al cuadro de diálogo “Parámetros de Solver”.
Ahora todo está listo para hacer clic en “Resolver” y después de unos segundos Solver indicará los resultados en las celdas B12 y C12, y en la celda objetivo (G12) aparecerá el valor máximo de la función objetivo (Zmáx). En el cuadro final “Resultados de Solver”, haga clic en “Aceptar”.
Y aparecerá la hoja de resultados:
PROGRAMACION LINEAL - 31 -
Los resultados de este ejercicio se “leen” de la siguiente manera: Xj = 4 Xe = 6
Para maximizar su satisfacción, Jack dedicará 4 horas al juego
y 6 horas diarias al estudio.
La máxima satisfacción que alcanzará Jack será de:
Zmáx = 14 “unidades de satisfacción”
EJERCICIO 4. Página 26. TAHA. 6ta edición. Respuesta: José Luis Albornoz S. El banco de Elkin está asignando un máximo de $ 200.000,oo para préstamos personales y de automóviles durante el próximo mes. El banco cobra 14% por préstamos personales y 12% por préstamos para automóviles. Ambos tipo de préstamos se liquidan al final de un período de un año. La experiencia muestra que alrededor del 3% de los préstamos personales y el 2% de los préstamos para automóviles nunca se liquidan. Por lo común, el banco asigna cuando menos el doble de los préstamos personales a los préstamos para automóviles.
Determine la asignación óptima de fondo para los dos tipos de préstamos.
Respuesta:
ING. José Luís Albornoz Salazar - 32 -
