¡Descarga Programación lineal - Apuntes - Management Parte2 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Los resultados en Programación Lineal Entera serán:
Nota. Aunque en este caso los resultados fueron favorables,
No se recomiendan las aproximaciones porque generalmente
no representan la solución más favorable.
PROGRAMACION LINEAL - 45 -
EJERCICIO 8. Página 31. TAHA. 6ta edición.
Respuesta: José Luis Albornoz S. Wyoming Electric Coop. Es propietaria de una planta generadora de energía con turbinas de vapor, debido a que Wyoming es rica en depósitos de carbón. Sin embargo, esto crea el problema de satisfacer los estándares de emisión. Las regulaciones de la Agencia de Protección Ambiental limitan la descarga de dióxido de azufre a 2000 partes por millón y la descarga de humo de las chimeneas de la planta a 20 libras por hora. La cooperativa recibe dos grados de carbones pulverizados, C1 y C2, para ser utilizados en la planta. Por lo común, los dos grados se mezclan antes de quemarlos. Por simplicidad, supondremos que el contaminante de azufre de la mezcla (en partes por millón) es un promedio ponderado de la proporción de cada grado en la mezcla. Los siguientes datos se basan en el consumo de una tonelada por hora de cada uno de los dos grados de carbón:
------------------------------------------------------------------- Grado Descarga Descarga Vapor de de azufre de humo generado Carbón (partes x millón) (libras x hora) (libras x hora)
C1 1.800 2,10 12. C2 2.100 0,90 9.
Determine la producción óptima para mezclar los dos grados de carbón:
Respuesta:
El problema enfoca directamente la proporción de dos tipos de carbón que debo mezclar para obtener la máxima generación de vapor. Las variables serán:
C1 = Cantidad de carbón C1 (en toneladas) que debe contener la mezcla.
C2 = Cantidad de carbón C2 (en toneladas) que debe contener la mezcla.
El Modelo de programación lineal (MPL) quedará expresado como:
MAXIMIZAR Z = 12.000 C1 + 9.000 C
Sujeta a las siguientes restricciones:
1 )La descarga de dióxido de azufre está limitada (< =) a 2.000 partes por millón, pero se supone que el contaminante de la MEZCLA es un promedio ponderado de la proporción de cada grado de carbón en la MEZCLA.
ING. José Luís Albornoz Salazar - 46 -
En base a lo anteriormente indicado la restricción tendrá que enfocar en el miembro derecho de la desigualdad la cantidad de contaminante de azufre relacionado con la mezcla (mezcla = C1 + C2), entonces esta primera restricción quedará indicada:
1.800 C1 + 2.100 C2 < = 2.000 (C1 + C2) que es igual a
- 200 C1 + 100 C2 < = 0 (1)
- La descarga de humo de las chimeneas de la planta está limitada a 20 libras por hora (no se habla de mezcla) :
2,10 C1 + 0,90 C2 < = 20 (2)
- Condición de no negatividad: C1 , C2 > = 0 ( 3)
Solución Gráfica:
Z = 100.
C
10 Punto óptimo (1) (2)
8
6
4
2
2 4 6 8 10 C
El punto óptimo (donde Z alcanza el máximo valor) es la intersección de las rectas (1) y (2) representado por el par ordenado (5,1282 ; 10,256) , donde:
C1 = 5,1282 y C2 = 10,
Lo que significa que para maximizar el vapor generado se deben mezclar 5,13 toneladas de carbón grado C1 y 10,26 toneladas de carbón grado C2.
PROGRAMACION LINEAL - 47 -
La máxima generación de vapor se calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo (Z):
Z = 12.000 (5.1282) +9.000 (10.256)
Zmáx = 153.846 Libras de vapor
EJERCICIO 9. Página 32. TAHA. 6ta edición.
Respuesta: José Luis Albornoz S. BGC fabrica camisas para caballeros y blusas para damas al almacén WD. El proceso de producción incluye corte, costura y empacado. BGC emplea a 25 trabajadores en el departamento de corte, a 35 en el departamento de costura y a 5 en el departamento de empacado. La fábrica trabaja un turno de 8 horas, sólo 5 días a la semana. La siguiente tabla proporciona los requerimientos de tiempo y la utilidad por unidad para las dos prendas.
------------------------------------------------------------------------------------- Minutos por unidad x trabajador
Prenda Corte Costura Empacado Utilidad
Camisas 20 70 12 $ 2, Blusas 60 60 4 $ 3, ---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Determine el programa de producción semanal óptimo para BGC:
Respuesta:
ING. José Luís Albornoz Salazar - 48 -
EJERCICIO 10. Página 32. TAHA. 6ª edición.
Respuesta: José Luis Albornoz S. Una línea de ensamble que consta de tres estaciones consecutivas produce dos modelos de radio HF1 y HF2. La siguiente tabla proporciona los tiempos de ensamblaje para las tres estaciones de trabajo.
Minutos por unidad Estación de trabajo HF1 HF 1 6 4 2 5 5 3 4 6
El mantenimiento diario de las estaciones 1, 2 y 3 consume 10%, 14% y 12%, respectivamente, del máximo de 480 minutos disponibles para cada estación, cada día.
La compañía desea determinar la mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (o no utilizados) en las tres estaciones de trabajo.
Respuesta:
Este problema requiere de un análisis muy detallado para visualizar el camino de resolución.
PROGRAMACION LINEAL - 51 -
a) Se nos pide minimizar los tiempos inactivos o no utilizados, pero el enunciado del problema refiere solamente tiempos de ensamblaje.
b) Tomando en cuenta que la relación de las variables es con el tiempo de ensamblaje (según la tabla) es lógico concluir que MINIMIZAR “tiempos inactivos” es lo mismo que MAXIMIZAR “tiempos activos” o de ensamblaje.
Bajo las dos premisas anteriores puedo enfocar el problema de la siguiente manera:
Las variables de decisión estarán expresadas como:
X1 = Cantidad de radios modelo HF1 a fabricar diariamente.
X2 = Cantidad de radios modelo HF2 a fabricar diariamente.
La función objetivo, en base a lo apuntado en el aparte b, estará relacionada con lo que queremos optimizar y en este caso serán los tiempos de ensamblaje de cada modelo de radio:
Radio HF1 = 6 + 5 + 4 = 15 minutos. Radio HF2 = 4 + 5 + 6 = 15 minutos.
El Modelo de Programación Lineal (MPL) quedará expresado como:
MAXIMIZAR Z = 15 X1 + 15 X
Sujeta a las siguientes restricciones:
Se habla del mantenimiento diario en cada una de las estaciones, relacionado con el máximo de 480 minutos disponibles para cada estación, cada día. Entonces el tiempo máximo para ensamblaje será la diferencia de estos 480 minutos y el tiempo destinado al mantenimiento de cada estación:
- Estación 1: (100% - 10%) 480 = .90 x 480 = 432
6 X1 + 4 X2 < = 432,00 (1)
- Estación 2 : (100% - 14%) 480 = .86 x 480 = 412,
5 X1 + 5 X2 < = 412,80 (2)
ING. José Luís Albornoz Salazar - 52 -
- Estación 3 : (100% - 12%) 480 = .88 x 480 = 422,
4 X1 + 6 X2 < = 422,40 (3)
- Condición de no negatividad: X1 , X2 > = 0 (4)
Solución Gráfica:
X
(1) 100
80 (2)
(3) Z = 1.500 (valor arbitrario) 60 Punto A (36.48 ; 46.06)
40 Punto B (50.88 ; 31.68)
20
20 40 60 80 100 X
En este caso particular al estudiar la inclinación de la recta Z noto que es paralela a la recta de la restricción (2). Inclusive si le asigno a Z el valor = 1.238,40 notaremos que es la misma recta de la restricción (2).
5 X1 + 5 X2 = 412,80 = (15 X1 + 15 X2 = 1238,4)(1/3)
Cuando se presenten casos como este existen infinidades de puntos que podemos considerar óptimos y están representados o contenidos en el segmento de recta paralela a Z (arbitrario), que cumpla con todas las restricciones. En este caso en particular será el segmento de recta “AB” de la restricción (2).
Para cualquier punto de este segmento AB el valor de Z será el máximo.
- Si analizamos el punto “A” (36.48 , 46.06):
PROGRAMACION LINEAL - 53 -
Z = 15 (36.48) + 15 (46.06) = 1.238,
- Si analizamos el punto “B” (50.88 , 31.68):
Z = 15 (50.88) + 15 (31.68) = 1.238,
-Si analizamos otro punto entre A y B (42.56 , 40):
Z = 15 (42.56) + 15 (40) = 1.238,
En conclusión, la mezcla se puede realizar de infinitas maneras, siempre y cuando esté representada por un punto sobre la recta (2) ubicado ent re “A” y “B”, ambos inclusive.
La mezcla óptima de productos que minimizará los tiempos inactivos (maximizará los tiempos activos) en las tres estaciones de trabajo se calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo (Z):
Zmáx = 1.238,40 minutos activos de ensamblaje diario
La hoja de resultados será:
La hoja de resultados en Programación Lineal Entera será:
ING. José Luís Albornoz Salazar - 54 -
El punto óptimo (donde Z alcanza el mínimo valor) es la intersección de las rectas (1) y (5) representado por el par ordenado (10 , 10) , donde:
X1 = 10 y X2 = 10
Lo que significa que para minimizar el estrés John debe trabajar 10 horas semanales en cada una de las dos tiendas..
La mínima cantidad de estrés generada se calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo (Z):
Z = 8 x10 + 6x
Zmín = 140 unidades de estrés
La hoja de resultados será:
PROGRAMACION LINEAL - 57 -
EJERCICIO 12.
Respuesta: José Luis Albornoz S. Al realizar una inspección en una fábrica de calzados, obtuvimos la siguiente información:
1) Se fabrican zapatos para damas, caballeros y niños y son vendidos al siguiente PVP por par:
- Zapatos para caballero a Bs 60.000,oo
- Zapatos para dama a Bs 120.000,oo
- Zapatos para niño a Bs 30.000,oo
2) El costo de fabricación de cada par de calzado es:
- Zapatos para caballero Bs 30.000,oo
- Zapatos para dama Bs 80.000,oo
- Zapatos para niño Bs 15.000,oo
3) Para fabricar un par de zapatos para caballero se utilizan: 0, metros de cuero tratado; 0,10 metros de suela, un par de tacones para caballero y 5 horas-hombre de trabajo.
4) Para fabricar un par de zapatos para dama se utilizan: 0, metros de cuero tratado; 0,10 metros de suela, un par de tacones para dama y 8 horas-hombre de trabajo.
5) En el depósito se inventarió el siguiente material:
- 120,oo metros de cuero tratado.
- 70,oo metros de suela.
- 250 pares de tacones para caballero.
- 260 pares de tacones para dama.
- 65 suelas para zapatos de niño.
- 300 pares de trenza.
- 400 cajas para calzados.
- 800 bolsas para calzados. 6 ) La empresa vende menos zapatos de niño que de caballero.
7) Se venden menos zapatos de niño que de dama.
8) La empresa vende semanalmente más de 100 pares de zapatos.
9) Las ventas de zapatos para caballero no superan el 75% de los de dama.
ING. José Luís Albornoz Salazar - 58 -
10) La empresa dispone de 2.400 horas-hombre a la semana.
11) El Gerente de la compañía quiere saber cuantos zapatos para dama y caballero debe fabricar semanalmente para tres escenarios distintos, a saber:
a) Maximizar la utilidad. b) Maximizar los ingresos por PVP. c) Minimizar los costos de fabricación.
Respuesta:
El problema enfoca directamente el número de calzados para caballero y para dama que se deben fabricar. Aunque aparezcan datos de calzados para niños no se toman en cuenta.
Las variables de decisión serán las siguientes:
Xc = Cantidad de pares de calzados para caballero a fabricar semanalmente. Xd = Cantidad de pares de calzados para dama a fabricar semanalmente..
Como el gerente pide una información relacionada a PVP, utilidad y costos; es recomendable expresar las tres funciones objetivos:
- Tomando en cuenta el PVP:
ZPVP = 60.000 Xc + 120.000 Xd
- Tomando en cuenta el costo:
Zcosto = 30.000 Xc + 80.000 Xd
- Tomando en cuenta la utilidad:
ZUTI = ZPVP - Zcosto
ZUTI = 30.000 Xc + 40.000 Xd
Las restricciones son las mismas para cualquier objetivo que se plantee :
PROGRAMACION LINEAL - 59 -
Es recomendable hacer el cuadro o tabla de requerimientos (donde se tomarán en cuenta únicamente lo que se necesita o utiliza para fabricar zapatos para caballero y zapatos para dama):
Xc Xd Disponibilidad CUERO TRATADO 0,20 0,15 120 SUELA 0,10 0,10 70 TACONES CAB. 1 250 TACONES DAM. 1 260 HORAS-HOMBRE 5 8 2.
- Materia prima y mano de obra:
0,20 Xc + 0,15 Xd < = 120 (1)
0,10 Xc + 0,10 Xd <= 70 (2)
Xc < = 250 (3)
Xd < = 260 (4)
5 Xc + 8 Xd < = 2.400 (5)
La empresa vende semanalmente más de 100 pares de zapatos:
Xc + Xd > = 100 (6)
Las ventas de zapatos para caballero no superan el 75% de los de dama:
Xc < = 0,75 Xd (7)
- Condición de no negatividad:
Xc , Xd > = 0 ( 8)
Solución Gráfica:
ING. José Luís Albornoz Salazar - 60 -
Caso b) MAXIMIZAR LOS INGRESOS POR PVP:
Xd
(3) 1000 (7)
800 (1)
600
400 Punto óptimo
(4) 200 Zpvp = 36.000.000 (arbitrario)
(5) (2)
(6) 200 400 600 800 1000 Xc
El punto óptimo (donde ZPVP alcanza el máximo valor) es la intersección de las rectas (4) y (5) representado por el par ordenado ( 64 , 260 ) , donde:
Xc = 64 y Xd = 260 Lo que significa que para maximizar los ingresos brutos por PVP se deben producir semanalmente 64 pares de zapatos para caballero y 260 pares de zapatos para dama.. El máximo ingreso bruto por PVP se calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo (ZPVP): ZPVP = 60.000 (64) + 120.000 (260) Zmáx(PVP) = Bs 35.040.000,oo
PROGRAMACION LINEAL - 63 -
Caso c) MINIMIZAR LOS COSTOS DE FABRICACIÓN:
Xd
(3) 1000 (7)
800 (1)
600
400
(4) 200
(5) (2)
(6) 200 400 800 1000 Xc Punto óptimo Zcosto = 12.000.000 (arbitrario)
El punto óptimo (donde Zcosto alcanza el mínimo valor) es la intersección de las rectas (6) y (7) representado por el par ordenado ( 42.86 , 57.14 ) , donde:
Xc = 42.86 y Xd = 57.
Lo que significa que para minimizar los costos de producción y seguir cumpliendo con todas las restricciones del mercado se deben producir semanalmente 42,86 pares de zapatos para caballero y 57,14 pares de zapatos para dama (ver nota al final de este ejercicio)..
El mínimo egreso por costos de producción se calcula sustituyendo estos valores en la función objetivo (Zcosto):
Zcosto = 30.000 (42,86) + 80.000 (57,14)
Zmín(COSTO) = Bs 5.857.000,oo
ING. José Luís Albornoz Salazar - 64 -
Nota: En muchos problemas prácticos, como en este caso, las variables de decisión
tienen un sentido real si su valor es entero. Si es así, se trata de un problema de
PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA. No se recomiendan las aproximaciones porque
generalmente no representan la solución más favorable.
Los resultados en Programación Lineal Entera serán:
PROGRAMACION LINEAL - 65 -
EJERCICIO 13.Pág. 91. H Lieberman. 7ª edic.
Respuesta: José Luis Albornoz S. La empresa W.W tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $60 por cada ventana con marco de madera y de $30 por cada una con marco de aluminio. Doug hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera usa 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados.
La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total.
Respuesta:
Identificamos las variables de decisión:
M = Ventanas con marco de madera a fabricar diariamente.
A = Ventanas con marco de aluminio a fabricar diariamente.
El objetivo de la compañía es MAXIMIZAR la ganancia total, por lo que la “función objetivo” estará expresada como:
Z = 60 M + 30 A
Sujeta a las siguientes restricciones:
- Doug hace 6 marcos de madera por día: M < = 6 (1)
- Linda hace 4 marcos de aluminio al día:
A < = 4 (2)
- Bob forma y corta 48 pies de vidrio por día; cada ventana con marco de madera usa 6 pies de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies: 6 M + 8 A < = 48 (3)
- Condición de no negatividad: M , A > = 0 (4)
ING. José Luís Albornoz Salazar - 66 -
comprar todos los televisores producidos si el número no excede al máximo indicado por el estudio de mercado
Respuesta:
Identificamos las variables de decisión:
X1 = Cantidad de televisores de 27 pulgadas a fabricar en un mes.
X2 = Cantidad de televisores de 20 pulgadas a fabricar en un mes.
El objetivo de la compañía es vender la mayor cantidad de televisores al distribuidor interesado. El modelo PL quedará expresado como:
MAXIMIZAR: Z = 120 X1 + 80 X
Sujeta a las siguientes restricciones:
- La investigación de mercado indica ventas de a lo más 40 televisores de 27 pulg. Y 10 de 20 pulg. cada mes. X1 < = 40 (1) X2 < = 10 (2)
- El número máximo de horas-hombre disponibles es 500 por mes. Un TV de 27 pulg. requiere 20 horas-hombre y uno de 20 requiere 10.
20 X1 + 10 X2 < = 500 (3)
Solución Gráfica:
X
(1)
(3) 40 Z = 2.400 (valor arbitrario)
30 Z máx = 3.
20 Punto óptimo
10 (2)
10 20 30 40 X
PROGRAMACION LINEAL - 69 -
El punto óptimo es la intersección de las rectas (2) y (3) representado por el par ordenado (20,10) ; donde :
X1= 20 y X2 = 10.
Esto quiere decir que se deben fabricar mensualmente 20 televisores de 27 pulgadas y 10 televisores de 20 pulgadas para obtener la máxima utilidad que en este caso será de:
Z = 120 X1 + 80 X
Z = 120 (20) + 80 (10) = 3.
Zmáx = $ 3.200,oo
La hoja de resultados será:
EJERCICIO 15.Pág. 91. H Lieberman. 7ª edic.
Respuesta: José Luis Albornoz S. La compañía WL produce dos dispositivos para lámparas (productos 1 y 2) que requieren partes de metal y componentes eléctricos. La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para maximizar la ganancia. Por cada unidad del producto 1 se requieren 1 unidad de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. Por cada unidad del producto 2 se necesitan 3 unidades de partes de metal y 2 unidades de componentes eléctricos. La compañía tiene 200 unidades de partes
de metal y 300 de componentes eléctricos. Cada unidad del producto 1 da una ganancia de $ 1,oo y cada unidad del producto 2, hasta 60 unidades, da una ganancia de $ 2,oo. Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración.
Formule el modelo de PL, resuélvalo por el método gráfico y determine la ganancia total que resulta.
Respuesta:
Cuando nos encontremos con un problema donde se enfoque la materia prima utilizada para la elaboración de varios productos, es recomendable hacer una “tabla de requerimientos” para facilitar su resolución:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Producto 1 Producto 2 Disponibilidad Partes de metal 1 3 200 Comp.. Eléctrico 2 2 300 Ganancia $ 1 $ 2
Identificamos las variables de decisión:
X1 = Cantidad de unidades del producto 1 a fabricar.
X2 = Cantidad de unidades del producto 2 a fabricar.
El objetivo está claramente identificado en el enunciado del problema : “ La administración desea determinar cuántas unidades de cada producto fabricar para MAXIMIZAR la ganancia”.
El modelo de PL quedará expresado como:
MAXIMIZAR : Z = $1 X1 + $2 X
Sujeta a las siguientes restricciones :
Tomando en cuenta la tabla de requerimientos (materia prima requerida y disponibilidad) :
PROGRAMACION LINEAL - 71 -
- Partes de metal: X1 + 3 X2 < = 200 (1)
- Componentes eléctricos: 2 X1 + 2 X2 < = 300 (2)
- Cualquier exceso de 60 unidades del producto 2 no tiene ganancia, por lo que fabricar más de 60 está fuera de consideración : X2 < = 60 (3)
- Condición de no negatividad: X1 , X2 > = 0 (4)
Solución Gráfica:
X
(2)
120 Z = 200 (valor arbitrario)
90
Punto óptimo
60 (3) (1)
30
30 60 90 120 X
El punto óptimo es la intersección de las rectas (1) y (2) representado por el par ordenado (125, 25); donde :
X1 = 125 y X2 = 25
Esto significa que se deben fabricar 125 unidades del producto 1 y 25 unidades del producto 2 para obtener la máxima ganancia total que en este caso será:
Z = X1 + 2 X2 ; Z = 125 + 2 (25) = 175
Zmáx = $ 175,oo
ING. José Luís Albornoz Salazar - 72 –
Al utilizar cualquiera de los programas para computadoras de Programación lineal se obtienen los siguientes resultados.
Zmáx = $ 2.904,
Para: ( 26.19, 54.76, 20 )
X1 = 26,19 ; X2 = 54,76 ; X3 = 20
Sin embargo, es bueno resaltar que aunque hablamos de tres incógnitas, se puede utilizar el método gráfico por conocer el valor de una de ellas. El departamento de ventas indica que las ventas potenciales del producto 3 son de 20 unidades.
EJERCICIO 17.Respuesta: José Luis Albornoz S.
Un agricultor posee 20 cerdos que consumen 90 kilogramos de comida especial todos los días. El alimento se prepara como una mezcla de maíz y harina de soya con las siguientes composiciones:
Kgs por Kg de alimento Alimento calcio proteína fibra costo Maíz 0,01 0,09 0,02 200 Harina de soya 0,02 0,60 0,06 300
Los requisitos diarios de alimento de los cerdos son: 1.- Cuando menos 1 % de calcio. 2.- Por lo menos 30 % de proteínas. 3.- Máximo 5 % de fibra.
Determine la mezcla con el mínimo de costo diario.
PROGRAMACION LINEAL - 75 –
Respuesta:
Identificamos las variables de decisión :
Xm = Kilogramos de maíz que debe tener la
mezcla de 90 Kg.
Xs = Kilogramos de harina de soya que debe
tener la mezcla de 90 Kg.
El modelo PL se expresará como:
MINIMIZAR Z = 200 Xm + 300 Xs
Sujeto a las siguientes restricciones:
20 Se consumen 90 kg de comida especial todos los días.
Xm + Xs = 90 (1)
Esta restricción de igualdad condiciona a que el punto óptimo se encuentre contenido en ella (similar a lo ya explicado en el ejercicio 6).
Al estudiar los requisitos diarios debo tener en cuenta que se relacionan porcentajes con la cantidad total de la mezcla ( 90 kg de comida ).
- Calcio (cuando menos 1%) :
0,01 Xm + 0,02 Xs >= 1% de 90
0.01 Xm + 0,02 Xs >= 0,9 (2)
- Proteínas (por lo menos 30%) :
0.09 Xm + 0,60 Xs >= 30% de 90
0,09 Xm + 0,60 Xs >= 27 (3)
0,02 Xm + 0,06 Xs <= 5% de 90
0,02 Xm + 0,06 Xs <= 4,5 (4)
ING. José Luís Albornoz Salazar - 76 –
Solución Gráfica:
Xs
100 (1)
80
60
(4)
20 (3)
Punto óptimo 20
(2)
20 40 60 80 Xm
El punto óptimo es la intersección de las rectas (1) y (3) representado por el par ordenado (53, 37) ; donde :
Xm = 53,oo y Xs = 37,oo
Esto significa que se deben mezclar 53 kilogramos de maíz con 37 kilogramos de harina de soya para preparar los 90 kilogramos de alimento para cerdos, de manera que se cumpla con los requisitos diarios de alimentos.
Para determinar el costo mínimo de la mezcla, basta meter los valores de las variables en la función objetivo, que en este caso será:
Z = 200 (53) + 300 (37)
Z= Bs 21.700,oo (Z mínima)
La solución en Programación Lineal Entera será:
PROGRAMACION LINEAL - 77 –
EJERCICIO 18.Pág. 92. H Lieberman. 7ª edic.
Respuesta: José Luis Albornoz S. Hoy es su día de suerte. Acaba de ganar un premio de $10.000. Dedicará $4.000 a impuestos y diversiones, pero ha decidido invertir los otros $6.000. Al oír las nuevas, dos amigos le han ofrecido una oportunidad de convertirse en socio en dos empresas distintas, cada una planeada por uno de ellos. En ambos casos, la inversión incluye dedicar parte de su tiempo el siguiente verano y dinero en efectivo. Para ser un socio completo en el caso del primer amigo debe invertir $5.000 y 400 horas, y su ganancia estimada (sin tomar en cuenta el valor del dinero en el tiempo) sería $4.500. Las cifras correspondientes para el segundo caso son $4.000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4.500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirán participar con cualquier fracción de participación que quiera. Si elige una participación parcial, todas las cifras dadas para la sociedad completa (inversión de dinero y tiempo, y la ganancia) se pueden multiplicar por esta fracción.
Como de todas formas usted busca un trabajo de verano interesante (máximo 600 horas), ha decidido participar en una o ambas empresas en alguna combinación que maximice su ganancia total estimada. Usted debe resolver el problema de encontrar la mejor combinación.
Respuesta:
ING. José Luís Albornoz Salazar - 78 –
Z = 4.500 (0,67) + 4.5000 (0,67)
Zmáx= $ 6.000,oo
EJERCICIO 19.Pág. 95. H Lieberman. 7ª edic.
Respuesta: José Luis Albornoz S. Larry Edison es el director del centro de cómputo de BC. Él debe programar las horas de trabajo del personal del centro. Abre de las 8 am a la media noche. Larry estudió el uso del centro en las diferentes horas del día y determinó los siguientes números de asesores en computación necesarios:
------------------------------------------------------------------------------------- HORARIO Mínimo de Asesores requeridos 8 am – 12 am 4 12 am – 4 pm 8 4 pm - 8 pm 10 8 pm – 12 pm 6
Puede contratar dos tipos de asesores: de tiempo completo y de tiempo parcial. Los primeros trabajan 8 horas consecutivas en cualquiera de los siguientes turnos: matutino (8am-4pm), vespertino (12am-8pm) y nocturno (4pm-12pm). Estos asesores ganan $14 por hora.
PROGRAMACION LINEAL - 81 -
Los asesores de tiempo parcial pueden trabajar en los cuatro turnos enumerados en la tabla anterior y ganan $12 por hora.
Un requisito adicional es que durante todos los períodos debe haber al menos dos asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial.
Larry desea determinar cuántos asesores de tiempo completo y cuántos de tiempo parcial debe haber en cada turno para cumplir con los requisitos a un costo mínimo.
Respuesta:
Identificamos las variables de decisión como:
Ci = Asesores a tiempo completo a contratar en cada turno.
Pj = Asesores a tiempo parcial a contratar en cada turno.
Como en el enunciado observamos que se habla de turnos diferentes de trabajo; uno para los asesores a tiempo completo y otro para asesores a tiempo parcial, es recomendable elaborar las tablas que indiquen la distribución de cada uno de ellos para facilitar el enfoque de resolución del problema:
Turnos para asesores Ci Horario Identificación 8 am - 4 pm C 12 am - 8 pm C 4 pm - 12 pm C
Turnos para asesores Pi Horario Identificación 8 am - 12 am P 12 am - 4 pm P 4 pm - 8 pm P 8 pm – 12 pm P
Como existe un requisito adicional para que durante todos los períodos deba haber, al menos, dos asesores de tiempo completo por cada uno de tiempo parcial, es bueno visualizar qué tipos de asesores comparten cada turno.
ING. José Luís Albornoz Salazar - 82 -
Turno de 8 am a 12 am: C1 + P
Turno de 12 am a 4 pm: C1 + C2 + P
Turno de 4 pm a 8 pm: C2 + C3 + P
Turno de 8 pm a 12 pm: C3 + P
Los asesores a tiempo completo ganan $14 por hora y trabajan turnos de 8 horas (cada uno gana 14x8 = $112 por turno)
Los asesores a tiempo parcial ganan $12 por hora y trabajan turnos de 4 horas (cada uno gana 12x4 = $48 por turno).
Aclarados todos estos aspectos podemos expresar el Modelo de Programación Lineal ENTERA como:
MINIMIZAR
Z = 112 (C1+C2+C3) + 48 (P1+P2+P3+P4)
Sujeta a las siguientes restricciones:
Ci y Pj solo podrán tomar valores enteros por tratarse
de personas ( Modelo de Programación Lineal Entera).
- Mínimo de asesores por turno ( Tomando en cuenta el horario indicado en el enunciado del problema) :
C1 + P1 > = 4 (1) C1 + C2 + P2 > = 8 (2) C2 + C3 + P3 > = 10 (3) C3 + P4 > = 6 (4)
- Requisito adicional (Ci > = 2Pj) C1 > = 2 P1 (5) C1 + C2 > = 2 P2 (6) C2 + C3 > = 2 P3 (7) C3 > = 2 P4 (8)
- Condición de no negatividad: Ci , Pi > = 0 (9)
PROGRAMACION LINEAL - 83 -
Solución no gráfica:
Al utilizar cualquier programa de MPL (entera) para computadoras obtendremos la siguiente solución:
C1 = 3 C2 = 3 C3 = 4
P1 = 1 P2 = 2 P3 = 3 P4 = 2
Zmín = 112 (3+3+4) + 48 (1+2+3+2)
Zmín = $ 1.504,oo
La hoja de resultados en Programación Lineal Entera será:
ING. José Luís Albornoz Salazar - 84 -
