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Este documento contiene la resolución de dos problemas de ecuaciones lineales 3x3 mediante el método de sustitución y Gauss-Jordan. Se explican los pasos detallados para despejar las variables y obtener la solución final. Además, se incluyen ejercicios de maximización y minimización.
Tipo: Esquemas y mapas conceptuales
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Lic. Ingeniero Civil y Administración
2 ejercicios de 2 ecuaciones, resolución libre.
Ejercicio 1. Sustitución
El método de sustitución consiste en aislar en una ecuación una de las dos incógnitas
para sustituirla en la otra ecuación.
Este método es aconsejable cuando una de las incógnitas tiene coeficiente 1.
En este caso se va despejar la x de la primera ecuación. Como su coeficiente es 1, sólo se
tendrá que pasar el 4 restando al otro lado:
Como se tiene que la incógnita x es igual 2y-4, se escribe 2y-4 en lugar de la x en la segunda
ecuación (sustituyendo la x):
Al despejar la incógnita x teníamos
Como se sabe y=3, se sustituye en la ecuación:
Por tanto, la otra incógnita es x=2.
La solución del sistema es
Ejercicio 2. Eliminación o reducción
El método de reducción consiste en sumar (o restar) las ecuaciones del sistema para eliminar
una de las incógnitas. Este método es aconsejable cuando una misma incógnita tiene en
ambas ecuaciones el mismo coeficiente (restamos las ecuaciones) o los coeficientes son
iguales pero con signo opuesto (sumamos las ecuaciones).
Hay que asegurarse de que al sumar o restar las ecuaciones, alguna de las incógnitas
desaparece:
Sumamos las ecuaciones para eliminar la y:
2 ejercicios de 2 ecuaciones, explicando paralelismo e igualdad.
El método de igualación consiste en despejar una incógnita en las dos ecuaciones para igualarlas.
Este método es aconsejable cuando una misma incógnita es fácil de aislar en ambas ecuaciones.
Escogemos despejar la incógnita x:
Como x=x, se puede igualar las expresiones obtenidas:
Resolver la ecuación de primer grado obtenida:
Sustituir el valor de la incógnita y en alguna de las expresiones calculadas anteriormente.
La solución del sistema es:
Determinar la ecuación lineal de la recta que pasa por un el punto A(-2,5) y es paralela a la
recta cuya ecuación es: - 2X+Y-3=
A B Por lo tanto
m=-A/B
m=-(-2) /
m=
Si se sabe por geometría analítica que m1=m2 y ambas rectas van paralelamente:
Entonces la segunda recta tiene como pendiente m2= 2
Usando el punto A (-2,5) y el valor de m=2 podemos sustituirlo en dicha fórmula para así
obtener la ecuación:
Y-Y1=m(X-X1)
Con este despeje sustituyo en la otra ecuación; para deshacernos del denominador, será
necesario multiplicar toda la ecuación por 5
Como ya tenemos que z=1, utilizo el último despeje que usé para encontrar y.
Ahora tomo el primer despeje que usé, el de la variable que me falta, en este caso x.
La solución del sistema es:
Para aplicar el método de sustitución, debo elegir una ecuación y una variable para despejar.
Me conviene que el despeje sea sencillo, elijo la primera ecuación, que es la que tiene el
coeficiente más pequeño en la variable.
Aquí hay que aplicar nuevamente el método de sustitución, elegir una ecuación y una variable
1 ejercicios de 3 ecuaciones, empleando el Método de Gauss-Jordan
Se convierte en una matriz 3x
Como operación elemental podemos cambiar la F1con la F2 y quedaría de esta forma ya que
al final tiene que quedar como una matriz identidad.
F
F
F
Resolviendo primero, multiplicamos la F1 por - 5 y luego la sumamos con la F3, y los
resultados se reemplazarán en la F3.
El resultado se cambia a la F
F
F2 {
F
Ahora multiplicamos 2 en la F1 y lo sumamos con la F2.
Teniendo esta nueva fila , la sustituiremos en F
F
F
F
Ahora multiplicamos 19 en la F2, pero trabajaremos el 19 con el - 5 de la F2, de esta forma
quedaría así la operación
De esta manera queda asi:
F
F
F
Ahora podemos dividir la F3 entre 16 para que igual quede de esta forma
Lo sustituimos en la F
F
F
F 0 0 1 4
Ahora multiplicamos 2 por la F3 y lo sumamos con la F1, para luego ser sustituida en la F1.
1 ejercicios de maximización
Ejercicio 7.
Maximizar
F= x + 12y
Sujeto a:
10x + y <= 10
x + 10y<= 10
2x + 3y <= 6
Restricciones:
x>=0: y>=
10x + y + S1=
x + 10y + S2= 10
2x + 3y + S3 = 6
F-x - 12y = 0
Escogemos la columna pivote a través de la FO (mayor negativo) y la columna pivote divide a los
resultados (se escoge el menor positivo)
El coeficiente pivote (y) divide a cada uno de los resultados (D)
F X Y S1 S2 S3 D
0 10 1 1 0 0 10
0 1 10 0 1 0 10
0 2 3 0 0 1 6
1 -1 -12 0 0 0 0
ENTRA
F X Y S1 S2 S3 D
0 10 1 1 0 0 10 1/10 = 10
0 1 10 0 1 0 10 10/10 = 1 SALE
0 2 3 0 0 1 6 6/3 = 2
1 - 1 - 12 0 0 0 0 CERO
La fila pivote será dividida todo entre 10
F X Y S1 S2 S3 D
0 10 1 1 0 0 10
0 1/10 1 0 1/10 0 1
0 2 3 0 0 1 6
1 - 1 - 12 0 0 0 0
Determinamos S1. S3 Y F
FA-CP*FP= FN
S
FA 0 10 1 1 0 0 10
CP 1 1 1 1 1 1 1
FP 0 1/10 1 0 1/10 0 9
F/N 0 99/100 0 1 - 1/10 0 9
S
FA 0 2 3 0 0 1 6
CP 3 3 3 3 3 3 3
FP 0 1/10 1 0 1/10 1 3
F/N 0 17/10 0 0 - 3/10 1 3
F
FA 1 - 1 - 12 0 0 0 0
CP - 12 - 12 - 12 - 12 - 12 - 12 - 12
FP 0 1/ 1 0
1/ 0
1
FN 1
1/ 0 0
6/ 0 12
F X
Y S S
S D
0 99/10 0 1
0 9
0 1/
1 0 1/
0 1
0 17/
0 0
1 3
1 1/
0 0 6/
0 12
Para maximizar es necesario que la FO haya número negativos como en este caso ya no hay, concluye el
problema
1 ejercicios de minimización
Ejercicio 9
G= 3y1 + 2y
Sujeto a:
5y1 + y2>= 10
2y1 + 2y2>= 12
1 + 4y2>= 12
Restricciones:
y1>= 0
y2>= 0
realizamos el dual maximizar
restricciones:
resolvemos
5X1 +2X2 + X3 + S1= 3
X1 +2X2 + 4X3 + S2= 2
F- 10X1 - 12X2 - 12X3= 0
APLICAMOS SIMPLEX
