UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1
PREGRADO
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CAMPUS VIRTUAL
Período Académico 2023 –2
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PROGRAMACIÓN LINEAL DE OPERACIONES, Diapositivas de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas
Este tema es la introducción del curso de investigación de operaciones
Tipo: Diapositivas
2022/2023
1 / 25
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UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1
PREGRADO
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CAMPUS VIRTUAL
Período Académico 2023 – 2
UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
MSc. Jorge Luis Chiroque Calderón
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CAMPUS VIRTUAL
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 1
PREGRADO
Período Académico 2023 – 2
Unidad I:
Introducción a la Programación Lineal
Tema 1:
Introducción a la Programación Lineal (PL)
Programación Lineal (PL)
¿Qué es la Programación Lineal?
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL) Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Programación Lineal (PL)
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL) Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Investigación de Operaciones (IO)
La investigación de operaciones (IO) es una herramienta para
tomar decisiones. Un elemento principal de la IO es el modelado
matemático. Aunque la solución del modelo matemático
establece una base para tomar una decisión, se deben tener en
cuenta factores intangibles o no cuantificables, por ejemplo el
comportamiento humano, para poder llegar a una decisión final.
Programación Lineal (PL)
La programación lineal es el campo de la programación
matemática dedicado a optimizar (maximizar o minimizar) una
función objetivo (función lineal), de tal forma que las variables
de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones
(limitaciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o
inecuaciones lineales). El método tradicional usado para resolver
problemas de programación lineal es el Método Simplex. Ejemplo
Resolver el siguiente modelo de PL:
Modelo PL (Modelo Matemático)
Maximizar z = 500 x 1
- 300 x 2
Sujeto a
15 x 1
- 5 x 2
10 x 1 + 6 x 2 ≤ 240
8 x 1
- 12 x 2
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 500 300 12000
R1 15 5 300 <=^300
R2 10 6 240 <=^240
R3 8 12 300 <=^450
=0 >=
Resultados
x1 x2 z
Solución 15 15 12000
Modelo de programación lineal con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Región Factible
La Región Factible para un PL, es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las limitaciones y las restricciones de signo de la PL.
Solución Óptima
Para un problema de maximización, una Solución Óptima para un PL, es un punto con el valor de la función objetivo más grande en la
región factible. De igual modo, para un problema de minimización, una solución óptima es un punto con el valor de la función
objetivo más pequeño en la región factible.
Modelo PL (Modelo Matemático)
Maximizar/Minimizar 𝑧 = 𝑐 1
1
2
2
Sujeto a
𝑚
1
𝑚
2
𝑚
Tipo de Optimización Función Objetivo
Restricciones
Condiciones de No
Negatividad
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo de programación lineal con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Ejemplo N° 01 (Empresa de Pinturas ABC S.A.)
ABC S.A. produce pinturas para interiores y exteriores con dos materias primas, M 1 y M 2. La tabla siguiente proporciona los datos
básicos del problema.
La demanda diaria de pintura para interiores no puede
ser mayor que 1 tonelada más que la de pintura para
exteriores y la demanda máxima diaria de pintura
para interiores es de 2 toneladas. ABC S.A. desea
determinar la cantidad óptima de pintura para
exteriores e interiores que maximice la utilidad diaria
total.
Modelo de ABC S.A. completo
Maximizar z = 5 x 1 + 4 x 2
Sujeto a
6 x 1 + 4 x 2 ≤ 24
x 1
- 2 x 1
≤ 6
- x 1
+ x 2
≤ 1
x 2 ≤ 2
𝑥 1 ≥ 0 , 𝑥 2 ≥ 0
Cualquier valor de 𝑥 1 y 𝑥 2 que
satisfaga todas las restricciones del
modelo es una solución factible.
Solución
Variables de decisión:
x 1
: Toneladas de pintura para
exteriores producidas diariamente.
x 2 : Toneladas de pintura para
interiores producidas diariamente.
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo de ABC S.A.
Datos
x1 x
Exterior Interior Totales Restricciones
F. Objetivo 5 4 21
Fila Material 1 6 4 24 <=^24
Fila Material 2 1 2 6 <=^6
Demanda 1 -^1 1 - 1.5^ <=^1
Demanda 2 0 1 1.5^ <=^2
=0 >=
Resultados
x1 x2 z
Solución 3 1.5^21
Respuesta (Interpretación de los resultados):
ABS S.A. obtendrá una máxima utilidad de $ 21 000 si produce diariamente 3
toneladas de pintura para exteriores y 1. 5 toneladas para interiores.
Solución gráfica de Problemas de PL con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos:
- Determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo (Espacio de soluciones factibles,
Región Factible).
- Determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles (soluciones factibles) del espacio de soluciones.
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Solución gráfica de Problemas de PL con dos variables: Solución de un modelo de maximización
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
x
y
x 1
x 2
0 1 2 3 5 6
1
2
3
4
5
6
B
D
Región
Factible
Restricciones:
6 𝑥 1 + 4 𝑥 2 ≤ 24 … [1]
𝑥 1 + 2 𝑥 2 ≤ 6 … [2]
−𝑥 1 + 𝑥 2 ≤ 1 … [3]
𝑥 2 ≤ 2 … [4]
𝑥 1 ≥ 0 … [5]
𝑥 2 ≥ 0 … [6]
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
4 [6]
C
E
A
F
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo de ABC S.A. completo
Maximizar 𝑧 = 5 𝑥 1 + 4 𝑥 2
Sujeto a
6 𝑥 1 + 4 𝑥 2 ≤ 24
𝑥 1 + 2 𝑥 2 ≤ 6
−𝑥 1 + 𝑥 2 ≤ 1
𝑥 2 ≤ 2
𝑥 1 ≥ 0 , 𝑥 2 ≥ 0
Modelo de programación lineal con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Ejemplos
Ejemplo N° 01 :
La compañía de seguros Primo está en proceso de introducir dos nuevas líneas de productos: seguro de riesgo especial e hipotecas. La
ganancia esperada es de $ 5 por el seguro de riesgo especial y de $ 2 por unidad de hipoteca. La administración desea establecer las
cuotas de venta de las nuevas líneas para maximizar la ganancia total esperada. Los requerimientos de trabajo son los siguientes:
Formule un modelo de programación lineal.
Solución
Modelo PL (Modelo Matemático)
Maximizar z = 5 x 1
- 2 x 2
Sujeto a
3 x 1
- 2 x 2
x 2
2 x 1
Definición de las variables:
x 1
= Número de ventas de seguro de riesgo especial.
x 2
= Número de ventas de seguro de hipotecas.
Respuesta:
La solución del modelo de PL recomienda vender 600 seguros de riesgo especial y
300 seguros de hipotecas para maximizar la ganancia total equivalente a $ 3600
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 5 2 3600
R1 3 2 2400 <=^2400
R2 0 1 300 <=^800
R3 2 0 1200 <=^1200
ENTERO ENTERO
Resultados
x1 x2 z
Solución 600 300 3600
Modelo de programación lineal con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Ejemplos
Ejemplo N° 02 :
La siguiente tabla resume los hechos importantes sobre dos productos, A y B y los recursos Q, R y S que se requieren para
producirlos.
Formule un modelo de programación lineal para este problema.
Solución
Modelo PL (Modelo Matemático)
Maximizar z = 3 x 1
- 2 x 2
Sujeto a
2 x 1
- x 2
x 1 + 2 x 2 ≤ 2
3 x 1
- 3 x 2
Definición de las variables:
x 1
= Número de productos A.
x 2
= Número de productos B.
Respuesta:
La solución del modelo de PL recomienda producir y vender solo un
producto A para maximizar la ganancia total equivalente a $ 3.
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 3 2 3
R1 2 1 2 <=^2
R2 1 2 1 <=^2
R3 3 3 3 <=^4
ENTERO ENTERO
Resultados
x1 x2 z
Solución 1 0 3
Modelo de programación lineal con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Ejercicios Propuestos
Ejercicio Propuesto N° 02 :
Los siguientes modelos matemáticos, ¿Son modelos de PL?, ¿Cuáles son las soluciones?
Solución
Modelo Matemático
Maximizar z = 15 x 1
- 20 x 2
Sujeto a
x 1
- 2 x 2
2 x 1
- 3 x 2
x 1 + x 2 ≥ 6
Solución
Modelo Matemático
Minimizar z = 15 x 1
- 20 x 2
Sujeto a
x 1
- 2 x 2
2 x 1
- 3 x 2
x 1 + x 2 ≥ 6
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 15 20 120
R1 1 2 12 >= 10
R2 2 - 3 - 18 <= 6
R3 1 1 6 >= 6
=0 >=
Resultados
x1 x2 z
Solución 0 6 120
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 15 20 110
R1 1 2 10 >= 10
R2 2 - 3 - 8 <= 6
R3 1 1 6 >= 6
=0 >=
Resultados
x1 x2 z
Solución 2 4 110
Modelo de programación lineal con dos variables
Unidad I: Introducción a la Programación Lineal. (4)
Ejercicios Propuestos
Ejercicio Propuesto N° 03 :
Resolver los siguientes modelos de PL:
Solución
Modelo PL (Modelo Matemático)
Maximizar z = 3 x 1
- 2 x 2
Sujeto a
x 1
- 2 x 2
2 x 1
- 3 x 2
2 x 1 + x 2 ≥ 8
Solución
Modelo PL (Modelo Matemático)
Minimizar z = 3 x 1
- 2 x 2
Sujeto a
x 1
- 2 x 2
2 x 1
- 3 x 2
2 x 1 + x 2 ≥ 8
Tema 1 : Introducción a la Programación Lineal (PL)
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 3 2 18
R1 1 2 6 <=^12
R2 2 3 12 =^12
R3 2 1 12 >=^8
=0 >=
Resultados
x1 x2 z
Solución 6 0 18
Modelo Matemático
Datos
x1 x
Totales Restricciones
F. Objetivo 3 2 13
R1 1 2 7 <=^12
R2 2 3 12 =^12
R3 2 1 8 >=^8
=0 >=
Resultados
x1 x2 z
Solución 3 2 13