Programacion Método simplex, Exámenes de Programación Lineal

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MÉTODO SIMPLEX - MINIMIZACIÓN

FERNAN DAVID DE HOYOS

PROGRAMACIÓN LINEAL

Richard Javier Gomez Rosso

Ingeniería de Sistemas

Universidad de Córdoba

1. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 dólares en cada mina ¿Cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo? 1. Plantear problema Variables 𝑥 1 = 𝑚𝑖𝑛𝑎 𝐴 𝑥 2

Función objetivo 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 2000𝑥 1 + 2000𝑥 2 Restricciones 𝑥 1

2

1

2

2. Elaborar tabla simplex 𝑥 1

2

3

4

2000 2000 0 0 0 M M M Cj V. básicas x1 x2 S3 S5 S7 A4 A6 A

V.

Solució n M=A4 1 2 -1 0 0 1 0 0 80 M=A6 3 2 0 -1 0 0 1 0 160 M=A8 5 2 0 0 -1 0 0 1 200 Zj 9M 6M -M -M -M M M M 440M Cj-Zj

-9M+

-6M+

00 M M M 0 0 0

V. básicas x1 x2 s3 s5 s7 V. Solución 2000=x2 0 1 -3/4 1/4 0 20 0=s7 0 0 1 -2 1 40 2000=x1 1 0 1/2 -1/2 0 40 Zj 2000 2000 -500 -500 0 120000 Cj-Zj 0 0 500 500 0 Como podemos ver en 𝐶𝑗 − 𝑍𝑗 todos los valores son ≥ 0 y por lo tanto se acaban las

iteraciones. Valores de solución 𝑥 , ,.

1

2

2. 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje dispone de 10 autobuses de 40 pasajeros y 8 de 30 pasajeros, pero solo de 15 conductores ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de $500000 y de los buses grandes es de $600000. ¿Cuántos autobuses de cada uno le convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? 1. Plantear problema Variables 𝑥 1

Función objetivo 𝑍(𝑚𝑖𝑛) = 600000𝑥 1

2 Restricciones 𝑥 1

2

1

2

2. Elaborar tabla simplex 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑠 3 = 15 𝑥 1

4

𝑚𝑖𝑛

1

2

3

4

5

6

7 600000 500000 0 0 0 0 M Cj V. básicas x1 x2 S3 S4 S5 S6 A

V.

Solución

0=S3 1 1 1 0 0 0 0 15

0=S4 1 0 0 1 0 0 0 10

0=S5 0 1 0 0 1 0 0 8

M=A7 40 30 0 0 0 -1 1 500

Zj 40M 30M 0 0 0 -M M 500M Cj-Zj

-40M+

-30M+

0000 0 0 0 M 0

El elemento pivote es 1, Sale la variable 𝑠 y entra , Hacemos 0 arriba y abajo del pivote 4

1 𝑅 1 − 𝑅 2 , 𝑅 4 − 40𝑅 2. 600000 500000 0 0 0 0 M Cj V. básicas x1 x2 S3 S4 S5 S6 A

V.

Solución 0=S3 0 1 1 -1 0 0 0 5 600000= x1 1 0 0 1 0 0 0 10 0=S5 0 1 0 0 1 0 0 8 M=A7 0 30 0 -40 0 -1 1 100 Zj 600000 30M 0 -40M+ 0000 0 -M^ M 100M+ 0000 Cj-Zj 0 -30M+ 000 0

40M-

000 0 M 0

El elemento pivote es 30. Sale y desaparece la variable 𝐴 7 y entra 𝑥 2. Hacemos el elemento pivote 1 dividiendo 𝑅 entre 30. Hacemos 0 arriba y abajo del pivote , 4

1

4 𝑅. 3

4 600000 500000 0 0 0 0 Cj V. básicas x1 x2 S3 S4 S5 S

V.

Solución 0=S3 0 0 1 1/3 0 1/30 5/ 600000=x 1 1 0 0 1 0 0 10 0=S5 0 0 0 4/3 1 1/30 14/ 500000=x 2 0 1 0 -4/3 0 -1/30 10/

Cj 32 22 20 0 0 0 M M M Variab les Basic as x1 x2 x3 S4 S6 S8 A5 A7 A Variab les de Soluci on M A 90 20 40 -1 0 0 1 0 0 200 200/ 0= M A 30 80 60 0 -1 0 0 1 0 180 180/ 0= M A 10 20 60 0 0 -1 0 0 1 150 150/ 0=2. Zj 130M 120M 160M -M -M -M M M M Cj-Zj -130M

-120M

-160M +20 M M M 0 0 0

El elemento pivote es 60.La relación mínima es 2.5 y su índice de fila es 3. Entonces,

la variable base saliente es A 3.

● Simplificamos el pivote a 1. 𝑅. Es decir que tenemos :

3

3

R3 5/2 1/6 1/3 1 0 0 -1/60 0 0

● Convertimos los valores que están arriba y abajo del pivote en 0, así:

𝑅 1 = 𝑅 1 − 40𝑅 3 y 𝑅 2 = 𝑅 2 − 60𝑅 3.

R2 30 20 60 0 0 -1 1 0 1

R1 100 250/3 20/3 0 -1 0 2/3 1 0

Cj 32 22 20 0 0 0 M M Variables Basicas x1 x2 x3 S4 S6 S8 A5 A Variable s de Solucio n M A

100 (100/1)/(250/3)= 6/5=1.

M A7^20 60 0 0 -1^1 0 1 30 30/20=1.

20 x3^ 250/3 20/3 0 -1 0 2/3 1 0 5/2 (5/2)/(1/6)=

Zj (310M/3)+ (10/3) (200M/3) +(20/3) 20 -M -M (5M/3)-(1/3) 0 0

Cj-Zj -(310M/3) +(86/3) -(200M/3) +(86/3) 0 M M -(5M/3)+(1/3) 0 0

La relación mínima es 1.2 y su índice de fila es 1. Entonces, la variable base

saliente es A 1. Entrando = X 1 , saliendo = A 1 , Elemento clave = 250/3.

● Simplificamos el pivote a 1. 𝑅. Es decir que tenemos :

1

1

R1 1 2/25 0 -3/250 0 1/125 0

● Convertimos los valores que están arriba y abajo del pivote en 0, así:

𝑅 y.

2

2

1

3

3

1

R2 0 292/5 0 6/25 -1 21/25 1

R3 0 8/25 1 1/500 0 -9/500 0

Cj 32 22 20 0 0 0 M Variable s Basicas x1 x2 x3 S4 S6 S8 A Variable s de Solucio n 31 x

(6/5)/(2/ 25)= M A

6/(292/ 5)=15/ 46=0. 027 20 x

(23/10)/( 8/25)= (115/16) =7.

Zj 32

(292M/5)

(224/25) 20 (6M/25) -(43/125) -M (21M/25)- (13/125) 0 Cj-Zj 0 (292M/5)

(224/25) 0 -(6M/25)+ (43/125) M -(21M/25)+ (13/125) 0

La relación mínima es 0.1027 y su índice de fila es 2. Entonces, la variable base

saliente es A 2. El elemento pivote es 292/5. Entrando= X 2 , saliendo= A 2 , Elemento

clave=292/5.

● Simplificamos el pivote a 1. 𝑅. Es decir que tenemos :

2

2

Variables Basicas x1 x2 x3 S4 S6 S 31 x1 1 -4.762 0 -143 95 0 0 S3 0 695.238 0 2.857 -11.905 1 20 x3 0 1.5714 1 71 -214 0

Zj 32 161.905 20 -0.3143 -0.1238^0

Cj-Zj 0 9.8095 0 0.3143^ 0.1238 0

Puesto que todos Cj - Zj ≥0 .Por lo tanto, se llega a la solución óptima con el valor de

las variables como: X 1 =1.1429, X 2 =0, X 3 =2.4286. Mínimo Z =85.1429.