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52 Intelectum 1.°
unidad 4
PROMEDIOS
CONCEPTO
Se llama promedio a una cantidad representativa de un conjunto de datos que está comprendida entre el mayor y el menor de ellos.
PrOmEdiOs imPOrTaNTEs
Promedio aritmético o media aritmética ( MA)
Promedio geométrico o media geométrica (MG )
Promedio armónico o media armónica ( MH)
Se calcula de la siguiente manera:
MA = Cantidad de datos
Suma de datos
Ejemplo: Calcula la media aritmética de 2; 5; 9 y 12.
MA = 4
2 5 9 12 7
=
Su cálculo se realiza de la siguiente manera:
MG =
Cantidad de datos Producto de datos
d n
Ejemplo: Calcula la media geométrica de 4; 6 y 9. MG = 3 4 # 6 # 9 = 6
Se calcula de la siguiente manera:
MH =
Cantidad de datos Suma de las inversas de los datos
Ejemplo: Halla la media armónica de 4; 6 y 8.
MH = 4
1 6
1 8
1
3
24
13
3 13
72
= =
Propiedades de los promedios estudiados (MA, MG y MH) Para un conjunto de dos o más datos
- Si dichos datos son iguales, entonces la media aritmética, geométrica y armónica son iguales, es decir:
MA = MG = MH
- Si dichos datos son diferentes, entonces la media aritmética es mayor que la media geométrica y este a su vez es mayor que la media armónica; es decir:
MA > MG > MH
Solo para dos datos El producto de la media aritmética y la media armónica, es igual a la media geométrica elevada al cuadrado, es decir: MA # MH = MG 2
Ejemplo:
Efectuar
- Halla el menor promedio de 20 y 80.
- Si el promedio de 2; x; 7 y 10 es 15, halla x.
- Si la MA de dos números es 5 y la MH de los mismos es 3,2. Halla la MG.
- Si la MG de 2; m y 18 es 6, halla m.
- Calcula el mayor de dos números cuyo promedio aritmético sea 5 y su promedio geométrico sea 4.
- Si el promedio geométrico de 2a^ ; 2^3 ; 2 y 2^5 es 16, halla a.
- El promedio aritmético de a; b y c es 31, siendo b el promedio geométrico de 2 y 72. Halla a + c.
- Calcula el promedio armónico de 2; 3 y 6.
Para los números 9; 11 y 16, se tiene:
MA = 3
MG = 3 9 # 11 # 16 = 11,
MH =
Entonces: 11,34 < 11,66 < 12 Se verifica: MH < MG < MA
.. Menor Mayor promedio promedio
Atención
Para dos números A y B se tiene:
2 # A #B
Observación
Sean los datos: a 1 < a 2 < a 3 < ... < an Si P es el promedio de dichos números, entonces se cumple: a 1 < P < an
Problemas resueltos
A
ariTmÉTiCa - TEOrÍa UNidad 453
1 Halla dos números sabiendo que su media aritmética es 5 y su
media armónica es 5
Resolución: Sean los números A y B; del enunciado se tiene: MA(A; B) = 5 / MH(A; B) = 5
A B
A B
2 A B
A + B = 10 & 24
A B
A B
Luego: A + B = 10 A # B = 24
A = 6 / B = 4
` Los números son 6 y 4.
2 La media armónica de dos números es 160 y su media geométrica es 200, ¿cuál es su media aritmética?
Resolución: Se sabe que (MG) 2 = (MA) # (MH) para dos cantidades.
Reemplazando: (200) 2 = (MA)(160)
MA 160
∴MA = 250
3 La media geométrica de cuatro números naturales diferentes es
2 2. Calcula la media aritmética de dichos números naturales.
Resolución: Sean los números: a, b, c y d
Se tiene: 4 a # b # c # d = 2 2 a # b # c # d = 64 Descomponiendo en cuatro factores diferentes: a # b # c # d = 1 # 2 # 4 # 8 & a = 1; b = 2; c = 4; d = 8
Piden: (^) MA 3, 4
= +^ +^ +^ = 15 =
4 Si la suma de dos números enteros es 150 y su promedio armónico es 72, halla la diferencia de dichos números.
Resolución: Sean los números a y b.
Del enunciado se tiene: a + b = 150 ...(I)
72 72
MH
a b
2 a b (^) a b a^ b 2
= & #^ #^ &
a # b = 5400 ...(II)
De (I) y (II): a = 90 / b = 60
Piden: a - b = 90 - 60 = 30
5 El promedio aritmético de las edades de 4 hombres es 48. Si
ninguno de ellos es menor de 45 años, ¿cuál es la edad máxima que podría tener uno de ellos?
Resolución: Para que uno de ellos pueda tener la edad máxima, los otros deben tener la edad mínima, entonces 3 de ellos tendrían 45 años. Si x es la edad máxima de uno de ellos, se tiene: x 48 4
x = 48(4) - 135 ` x = 57 años
6 Juan tiene un promedio de 14 puntos en cuatro exámenes, Si la segunda y la tercera nota son 10 y 13 respectivamente, ¿cuál es la primera nota si esta excede a la última en 3,2?
Resolución: Sea x la primera nota; del enunciado se tiene: , 14
x x 4
_ i
2x + 23 - 3,2 = (14)(4) 2x + 19,8 = 56 2x = 36,2 & x = 18,
7 El promedio geométrico de 3 números es 6 y su promedio armónico es 108/19. Si uno de ellos es 9, halla la media aritmética de los otros dos.
Resolución: Sean a, b y c los números; del enunciado: MG = 3 abc= 6 ...(1)
MH = ab bc ac
3 abc 19
Como uno de ellos es 9; sea a = 9: b bc c
bc 9 9
Además de (1) tenemos: 9bc = 6 3 & bc = 24
Reemplazamos bc = 24 en (2): 9 b 24 9 c
_ i
90 = 9(c + b) & 10 = c + b
Nos piden hallar la media aritmética de c y b: ` MA c b; c^ b 5 2 2
_ i= +^ = 10 =
8 El promedio aritmético de 3 números es 3/2. La relación entre el
- er^ y 2.° número es de 1 a 2 y la relación entre el 2.° y 3. er^ número es de 1 a 3. El producto de dichos números es:
Resolución:
MA = a^ b^ c 3 2
Además: ; b
a c
b 2
= =^1
Entonces: a = t; b = 2t; c = 6t
Reemplazando en (1): a + b + c = 9t = 2
& t = 2
` a # b # c = 12t 3 = 12. 8
=^3
