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EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN MUÉSTRALES
1 Suponga que una máquina produce tornillos, cuyos diámetros se distribuyen
normalmente, con media igual a 0.5 pulgadas y desviación estándar de 0.
pulgadas. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro medio esté comprendido
entre 0.49 y 0.51 pulgadas, para una muestra de 4 tornillos?
R/
Datos:
μ =0,5 σ =0.01 n = 4
x
1
=0,49 x
2
P ( 0,49< x < 0,51)= P (− 1 < Z < 1 )
Z =
x − μ
σ
x
⇒σ
´ x
σ
n
Para 0,
Z
1
=− 2 Z
1
Para 0,
Z
2
Z
2
P (− 2 < Z < 2 )= P ( Z < 2 )− P ( Z <− 2 ) P (− 2 < Z < 2 )=0,9772−0,
P (− 2 < Z < 2 )=0,
2 Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la proporción de
ellas que tienen más de 40 años; sabiendo que la proporción en la población
es de 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la muestra sea
menor que 0.5, si se trata de una población muy grande?
R/
Datos:
n = 49 ´ p =0.5 P =0,4 q = 1 − P = 1 −0,4=0,
Z =
p − P
σ
´ x
⇒ σ
´ x
√
Pq
n
√
Z =
Z =1,
P ( ´ p < 0,5)= P ( Z <1,43) =0,
3 Se sabe por experiencia que el 65% de los estudiantes universitarios de cierta
ciudad, prefieren cierta marca de crema dental. Cuál es la probabilidad de que
en una muestra de 100 universitarios de dicha ciudad encontremos que como
máximo el 68% son usuarios de este tipo de crema.
R/
Datos:
P = 65 =0,65 n = 100 q = 1 − P = 1 −0,65=0,35 P ( ´ p < 0,68)
Z =
p − P
σ
´ x
⇒ σ
´ x
√
Pq
n
√
Z =
Z =0,
P ( ´ p < 0,68)= P ( Z <0,63 )=0,
4 Para elegir presidente de un sindicato, un candidato obtuvo el 40% de los
votos. Determinar la probabilidad de que entre 200 de los electores elegidos
aleatoriamente entre un total 800 afiliados, se hubiera obtenido la mayoría de
los votos para dicho candidato. Asumamos que la mayoría es un porcentaje
superior al 51%.
R/
Datos:
P =0,40 ´ p =0,51 n = 200
2 n
Entonces
Z =
√
Z =
√
Z =
√
Z =
Z =2.81 → A ( 0.4975) P =0.5−0.4975=0.0025 P =0.
n
1
n
2
p
1
p
2
σ =( p
1
p
2
√
p
1
1 − p
1
n
1
p
2
1 − p
2
n
2
σ =
√
σ =
√
√
σ =
7 En una población normal con media igual a 72.0 y desviación estándar igual a
3.0, hallar la probabilidad que en una muestra de 90, la media sea menor
R/
Datos:
μ =72,2 σ =3,0 n = 90 P (
x <71,70)
Z =
x − μ
σ
´ x
⇒σ
´ x
σ
n
Z =
Z =−0,
P ( ´ x <71,70) = P ( Z <−0,96) P ( Z <−0,96)=0,
8 En cierta región los salarios diarios de los mineros del carbón están
normalmente distribuidos, con una media de $ 1.650.00 US y una desviación
estándar de $ 150.00 US. La población de mineros es superior a 1500. Cuál es
la probabilidad de que en una muestra representativa de 25 de esos mineros,
el salario medio sea inferior a $1.575.00 US.
R/
Datos:
μ = 1650 σ = 150 n = 25 P (
x < 1575 )
Z =
x − μ
σ
´ x
⇒σ
´ x
σ
n
Z =
P ( ´ x < 1575 ) = P ( Z <−2,5 ) P ( Z <−2,5)=0.
EJERCICIOS PROPUESTOS DE INTERVALOS DE CONFIANZA
1 Se sabe por experiencia que la desviación estándar de la duración de cierto
tipo de fusibles producidos por una compañía es de 24,8 horas. Se toma
aleatoriamente una muestra de 100 unidades de dicho tipo de fusible y se
encuentra que la misma presenta una media de 1685,2 horas. Determine el
intervalo de confianza de confianza para estimar la media de la duración con
un nivel de confianza de 99%.
R/
Datos:
σ =24.8 n = 100 ´ x =1685.
Conf = 99 =0.
α
0.99+0.005=0.9950 → 2.575 en latabla
Z
α
2
σ
´ x
σ
n
´ x − Z
α
2
∗ σ
´ x
≤ μ ≤ ´ x + Z
α
2
∗ σ
´ x
1685.2−( 2.575∗2.48) ≤ μ ≤ 1685.2+( 2.575∗2.48)
1678.8 ≤ μ ≤ 1691.
Z
α
2
σ =24.
n =?
E = Z
α
2
∗ σ
´ x
E =
Z
α
2
∗ σ
√ n
n =
Z
α
2
∗ σ
E
n =
(
Z
α
2
∗ σ
E
)
2
n =
(
)
2
(
)
2
n =1019,
Entonces si queremos tener un máximo error en la estimación de 2 horas
el tamaño para la mustra deberá ser de 1019.
5 Una industria de muebles compro un lote de piezas de madera de 1 metro de
longitud según el vendedor. La industria con el fin de comprobar la exactitud de
dicha medida tomo una muestra aleatoria de dicho lote y encontró las
siguientes medidas: 0.99, 1.04, 0.98, 0.97, 1.05, 1.02, 1.01, 1.00, 0.99, 0.95,
1.03, 1.02. Calcule el intervalo de confianza del verdadero promedio de
longitud del lote con un nivel de confianza del 90%.
R/
Datos:
n = 12 ´ x =1.0041 S =0.
S
´ x
S
n
Conf = 90 =0.
α
gl = n − 1 = 12 − 1 = 11 t
(
gl :
α
)
= t ( 11 :0.05) =1.
´ x − t
α
2
∗ S
x ´
≤ μ ≤ ´ x + t
α
2
∗ S
´ x
1.0041−( 1.796∗0.0083) ≤ μ ≤ 1.0041+( 1.796∗0.0083)
0.9891 ≤ μ ≤ 1.
Se estima con un 90% de confianza que el verdadero promedio de
longitud del lote de piezas de madera oscila entre 0.9891y 1.
6 Una muestra aleatoria de 5400 obreros de una ciudad arrojo que 188 de ellos
eran hombres que vivían en unión libre. Calcular el intervalo de confianza del
90% para la verdadera proporción de este tipo de unión entre la totalidad de
obreros de la ciudad.
R/
Datos:
n = 5400 x = 188 Hombres viven en ∪ libre
Conf = 90 =0.
α
0.900+0.050=0.950 → 1.645 en latabla
Z
α
2
´ p =
x
n
σ
´ p
pq
n
σ
´ p
´ p − Z
α
2
∗ σ
´ p
≤ P ≤ ´ p + Z
α
2
∗ σ
´ p
−(1.645∗0.0025) ≤ P ≤
0.030 ≤ P ≤ 0.038 3 ≤ P ≤ 3.
Se estima con un 90% de confianza que la proporción de hombres que
trabajan en esa empresa y viven en unión libre escila entre 3% y 3.8%.
7 En una empresa dedicada al engorde de pollo para la venta se toma una
muestra de 400 con una edad de 3 meses y el 60% de ellos presentan un peso
de más de 3 libras. Un año después la empresa decide introducir unos cambios
en la alimentación y en algunas técnicas recomendadas por una casa
veterinaria y más tarde cuando los cambios de suponía que habían hecho
efecto, tomo una muestra aleatoria de 600 pollos con una edad de 3 meses y
encontró que el 40% de ellos pesaban más de 3 libras. Se pide calcular un
intervalo de confianza del 95% para la verdadera diferencia de proporciones
antes y después del nuevo tratamiento.
R/
Datos:
n
1
= 400 p
1
= 60 =0.6 q
1
= 1 − p =0.4 n
2
= 600 p
2
q
2
= 1 − p =0.
IC = 95 =0.
S =
√
( n
A
− 1 )∗ S
A
2
+( n
B
− 1 )∗ S
B
2
( n
A
B
2
2
S =√ ¿
´ x
A
− x ´
B
− t
α
2
√
S
2
n
A
S
2
n
B
≤ p
A
− p
B
´ x
A
− x ´
B
α
2
√
S
2
n
A
S
2
n
B
(
√
2
2
)
≤ p
A
− p
B
(
√
2
2
)
0.8−( 2.120∗0.24 ) ≤ p
A
− p
B
0.8−0.5088 ≤ p
A
− p
B
≤ 0.8+0.5088 0.2912 ≤ p
A
− p
B
Se estima con un 95% de confianza que la diferencia de las medias de las
notas entre la universidad A y la universidad B oscilan entre 0.2912 y
9 Se quiere estimar el peso promedio de 500 peces listos para exportación. Si
para ello se va a tomar una muestra aleatoria, ¿Cuál deberá ser el tamaño de
esta, si se desea un máximo error en la estimación de 2 onzas con un nivel de
confianza del 90%? Se sabe que la desviación estándar poblacional es de 10.
R/
Datos:
10 Una muestra aleatoria de 8 pedidos que le hacen a una compañía, nos
muestra que los mismos demoraron en ser atendido así: 10, 12, 19, 14, 15, 18,
11, 17 y 13 días. Construir el intervalo de confianza del 99% para la desviación
estándar del tiempo que tarda la compañía en atender la orden.
EJERCICIOS PROPUESTOS SOBRE PRUEBAS DE HIPÓTESIS
1 Se somete a prueba a la totalidad de los integrantes del magisterio para
enseñanza básica primaria de un país y un experto en educación afirma que el
promedio de la calificación, sobre una base de 100. Fue de 76. Un
representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se
toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con
desviación estándar de 16. Probar la hipótesis con un nivel de significación de
R/
2 Una muestra aleatoria de 40 bandas para motores de ciertas sierras circulares
presentaron un promedio de duración de 1.08 años con una desviación
estándar de 0.5 años. Se sabe por experiencia que dichas bandas duran en
promedio 1.28 años. ¿Existe razón para considerar tal disminución, como una
pérdida de calidad? Nivel de significación 1%.
R/ http://www.buenastareas.com/ensayos/Prueba-De-Ipotesh/51999923.html
3 Un estudio de 29 de los pagos hechos por comisiones mensuales hechas a los
vendedores de una compañía arroja una media mensual de $50.800 y
desviación estándar de $600. Docimar la hipótesis de que el verdadero
promedio es de $50.000, frente a la hipótesis alternativa de que no es de
$50.000, con un nivel de significación del 5%.
4 Una compañía estima que tiene una participación en el mercado de un 80%
para su producto estrella. Mediante una muestra aleatoria de 400 posibles
consumidores se encuentra que el 75% de los mismos consumen el referido
producto. ¿Con un nivel de significación del 5% puede concluirse a través de
los resultados que dicha proporción es menor?
https://www.yumpu.com/es/document/view/1675350/variacion-normal-y-
exponencial/
5 Se quiere comprar una maquina troqueladora y se adquirirá si la proporción de
piezas defectuosas producidas por la maquina es 10% o menos. Se examina
una muestra aleatoria de 40 piezas y se encuentra que 7,5% resultaron
defectuosas. ¿Con un nivel de significación del 4%, puede concluirse que la
maquina satisface los requerimientos?
6 Una compañía de trasporte de carga intermunicipal, asegura que solo el 6% de
sus servicios de carga sufren reclamos. Una muestra aleatoria de 200 servicios
revela que el 8,5% de ellos sufren reclamos. Con un nivel de significación del
1% probar la hipótesis nula de que P=0,06, contra la alternativa de que P>0,06.
