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RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
LEY DE SENOS
En todo triángulo ABC se verifica que: “Sus lados
son directamente proporcionales a los senos de
sus respectivos ángulos opuestos y la constante
de proporcionalidad es igual al diámetro de la
circunferencia que circunscribe a dicho triángulo”
2
a b c R SenA SenB SenC
A
B C
R
a
b c
LEY DE COSENOS
En todo triángulo ABC se verifica que: “El
cuadrado de uno de los lados es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dos, menos el
doble del producto de éstos multiplicado por el
coseno del ángulo opuesto al primer lado”
2 2 2 a b c 2 bcCosA
2 2 2 b a c 2 acCosB
2 2 2 c a b 2 abCosC
A
B
C
a
b
c
LEY DE PROYECCIONES
En todo triángulo ABC se verifica que: “Uno de
los lados es igual a la suma de las proyecciones
de los otros dos respecto al primer lado”
a bCosC cCosB
b aCosC cCosA
c aCosB bCosA
cCosB H bCosC
a
B
A
C
LEY DE LAS TANGENTES
En todo triángulo ABC se verifica que: “La
diferencia de dos lados es a su suma, como la
tangente de la semidiferencia de sus respectivos
ángulos opuestos es a la tangente de la
semisuma de los mismos”
2
2
A B Tg a b
a b A^ B Tg
(^)
a
b
A
B C
FÓRMULAS DE LOS SEMIÁNGULOS INTERNOS DEL TRIÁNGULO
A^ p^ b^ p^ c Sen bc
B^ p^ a^ p^ c Sen ac
C^ p^ a^ p^ b Sen ab
A^ p^ p^ a Cos bc
B^ p^ p^ b Cos ac
C^ p^ p^ c Cos ab
A^ p^ b^ p^ c Tg p p a
B^ p^ a^ p^ c Tg p p b
C^ p^ a^ p^ b Tg p p c
CÁLCULO DE LAS LONGITUDES DE
LAS LÍNEAS NOTABLES EN UN
TRIÁNGULO
ALTURAS
Sean ha , hb , hc las alturas relativas de los lados
a b c , , y S el área del triángulo ABC.
1° En función de los lados
ha
A
B C
a
b
c
2 2 ^ ^ ^
a
S^ p^ p^ a^ p^ b^ p^ c h a a
2 2 ^ ^ ^
b
S^ p^ p^ a^ p^ b^ p^ c h b b
2 2 ^ ^ ^
c
S^ p^ p^ a^ p^ b^ p^ c h c c
2° En función del circunradio R y dos
ángulos:
ha 2 RSenBSenC
hb 2 RSenASenC
hc 2 RSenASenB
MEDIANAS
Sean ma , mb , mc las medianas relativas de los
lados a b c , ,
1° En función des sus lados y el ángulo
comprendido
2 2 2 4 ma b c 2 bcCosA
A
B C M
b c ma
2 2 2 4 mb a c 2 acCosB
2 2 2 4 mc a b 2 abCosC
2° Relación entre las medianas y los lados
de un triángulo
a b c
m m m a b c
BISECTRICES INTERIORES
Sean va , vb , vc las bisectrices interiores de los
ángulos A B C , ,
1° En función de dos de sus lados y el ángulo comprendido
a
bc A Cos b c
A
B C D
b c a
b
ac B Cos a c
c
ab C Cos a b
BISECTRICES EXTERIORES
Sean va ', vb ', vc ' las bisectrices exteriores de
los ángulos A B C , ,
1° En función de dos de sus lados y el
ángulo comprendido
' v a
A
B
C b
c
a
bc A v Sen b c
b
ac B v Sen a c
c
ab C v Sen a b
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR
2
bc S SenA
2) S p p a p b p c
Donde: 2
a b c p
A
B C
b
a
c S
A. TRANSFORMACIONES DE SUMA O
DIFERENCIA A
PRODUCTO.
B. TRANSFORMACIONES DE PRODUCTO A
SUMA O
DIFERENCIA (Sólo interesa su orden)
2 Senx Cosy. Sen x y Sen x y
2 Cosx Cosy. Cos x y Cos x y
2 Senx Seny. Cos x y Cos x y
C. PROPIEDADES AUXILIARES
Si A + B + C = 180º, se cumple:
1.
4 2 2 2
A B C SenA Sen B Sen C Cos Cos Cos
2.
1 2 2 2
4
C Sen
B Sen
A CosA CosB CosC Sen
3.
Sen 2 A Sen 2 B Sen 2 C 4 SenA SenB SenC
4.
Cos 2 A Cos 2 B Cos 2 C 4 CosACosBCosC 1
D. OTRAS PROPIEDADES
2
1
2 1
2 1 ... 2 1
5
2 1
3
2 1
n
n Cos n
Cos n
Cos n
Cos
2
1
2 1
2 ... 2 1
6
2 1
4
2 1
2
n
n Cos n
Cos n
Cos n
Cos
E. PROPIEDADES
Para la sumatoria de senos y cosenos cuyos
ángulos están en progresión aritmética se
cumple que lo siguiente:
(^)
2 2 1 2 2
nr Sen P U Sen Sen r Sen r Sen n r Sen r Sen
(^) (^)
Donde: P , U n 1 r
2 2 1 2 2
nr Sen P U Cos Cos r Cos r Cos n r Cos r Sen
^ (^) (^)
Donde: P primer ángulo
U último ángulo
n numero de términos
r razón de la progresión aritmética
2 2
2
x y Cos
x y Senx Seny Sen
2 2
2
x y Sen
x y Senx Seny Cos
2 2
2
x y Cos
x y Cosx Cosy Cos
2 2
2
x y Sen
x y Cosx Cosy Sen
II) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
INVERSAS
Función
Inversa
Dominio Rango
y ArcSenx
1 x 1 2 2
y
y ArcCosx
1 x 1 0 ^ y ^
y ArcTgx
x 2 2
y
y ArcCtgx
x ^0 ^ y ^
y ArcSecxx 1 x 1 2
0 ;
y y
y ArcCscxx 1 x 1 ; 0 2 2
y y
FUNCIÓN ARCO SENO
/ 2
/ 2
(^101)
x
y
y ArcSenx
ArcSenx x
FUNCIÓN ARCO COSENO
y
x (^101)
/ 2
y ArcCosx
0 ArcCosx x 1,1
FUNCIÓN ARCO TANGENTE
/ 2
/ 2
0
y
x y ArcTgx
, 2 2
ArcTgx x
FUNCIÓN ARCO COTANGENTE
/ 2
0
y
x
y ArcCtgx
0 ArcCtgx x ,
Teorema 5
1
x y ArcTgx ArcTgy ArcTg n xy
(^)
Si xy 1 n 0
Si xy 1 x 0 n 1
Si xy 1 x 0 n 1
A) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPUESTOS
I. F.T. DE LA SUMA Y RESTA DE DOS
ÁNGULOS:
Sen Sen . C os C os . Sen
C os C os . C os Sen . Sen
Tg Tg Tg Tg Tg
Ctg. Ctg 1 Ctg Ctg Ctg
II. IDENTIDADES AUXILIARES:
2 2 Sen x ( y Sen x ). ( y ) Sen x Sen y
2 2 C os( x y C ). os( x y ) C os x Sen y
os. os
Sen x y Tgx Tgy C x C y
os. os
Sen x y Tgx Tgy C x C y
Sen x y Ctgx Ctgy Senx Seny
Sen y x Ctgx Ctgy Senx Seny
Tg x ( y ) Tgx Tgy Tgx Tgy Tg x.. ( y )
Tg x ( y ) Tgx Tgy Tgx Tgy Tg x.. ( y )
III. PROPIEDADES: Si 2
(^) x y z ^ ,
entonces:
a) Tgx Tgy. Tgy Tgz. Tgx Tgz. 1
b)
Ctgx Ctgy Ctgz Ctgx Ctgy Ctgz..
c)
2 2 2 Sen x Sen y Sen z 1 2 Senx Seny Senz..
d)
2 2 2 C os x C os y C os z 2 2 Senx Seny Senz..
IV. PROPIEDADES: Si x y z ,
se cumple :
a) Tgx Tgy Tgz Tgx Tgy Tgz..
b)
Ctgx Ctgy. Ctgy Ctgz. Ctgx Ctgz. 1
c)
2 2 2 Sen x Sen y Sen z 2 Senx Seny Senz..
d)
2 2 2 C os x C os y C os z 1 2 C os. x C os y C. os z
B) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS MÚLTIPLES
I. F.T. DEL ÁNGULO DOBLE:
Sen 2 2 Sen . C os
2 2
2
2
os
os 2 1 2
2 os 1
C Sen
C Sen
C
2
Tg Sen Tg
2
2
Tg Cos Tg
2
Tg Tg Tg
2 1 2 2
Ctg Ctg Ctg
2 1 Tg
2 Tg
2 1 Tg
II. F.T. DEL ÁNGULO TRIPLE:
3 Sen 3 3 Sen 4 Sen
3 C os 3 4 C os 3 C os
3
2
Tg Tg Tg Tg
3
2
Ctg Ctg Ctg Ctg
IDENTIDADES AUXILIARES:
Sen 3 4 Sen . Sen (60 ). Sen (60 )
C os 3 4 C os . C os(60 ). C os(60 )
Tg 3 Tg . Tg (60 ). Tg (60 )
2 os 2 1
Sen C Sen
os 3 2 os 2 1 os
C
C
C
Ctg Tg 2 C sc 2
Ctg Tg 2 Ctg 2
4 4 3 os 4 os 4
C
Sen C
6 6 5 3 os 4 os 8
C
Sen C
III. F.T. DEL ÁNGULO MITAD:
1 os
C
Sen
1 os os 2 2
C
C
y
x 0
1
1
2
2
3
2
2
y Senx
T 2
5
2
3
Línea Trigonométrica COSENO de un
arco es la abscisa del punto extremo de
dicho arco.
Cos b
Cos g
b
j
T
S
x
y
O
1 Cos 1
y
x
y Cosx
0
2
3
2
2
2
1
1
5
2
(^3)
2
T 2
Línea Trigonométrica TANGENTE de un arco es la ordenada del punto de
intersección entre la tangente trazada por el origen de arcos (A) y la prolongación del radio que pasa por el
extremo del arco considerado.
a
P
q
Tg a
Tg q
Q
1, Tg a
1, Tg q
y
O x
Tg
2
2
3
2
2
x 0
y y Tgx
T
Línea Trigonométrica COTANGENTE de un arco, es la abscisa del punto de intersección entre la recta tangente
trazada por el origen de arcos complementarios y la prolongación del
radio que pasa por el extremo del arco considerado.
Ctg b ,
y
Ctg g Ctg^ b
b
g
T
S
Ctg g ,
O x
Ctg
2
3
2
^2
2
y
0
x
y Ctgx
T
Línea Trigonométrica SECANTE de un
arco , es la abscisa del punto de
intersección entre la recta tangente trazada por el extremo del arco y el eje
de abscisas
a
q
Sec a
Sec q
Sec a , 0
Sec q , 0
P
O
Q
y
x
Sec , 1 1,
0
2
3
2
2
2
y
x
y Secx
T 2
1
1
Línea Trigonométrica COSECANTE de
un arco, es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente trazada por el extremo de dicho arco y
el eje de ordenadas.
a
q
Csc a
Csc q
0, Csc a
0, Csc q
y
x O
Csc , 1 1,
0
2
2
3
2
2
x
y
1
1
T 2
y Cscx
