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Proposiciones: Una proposición es una afirmación o declaración que puede ser verdadera o falsa. En lógica proposicional, las proposiciones se representan mediante letras o símbolos, como p, q, r, etc. Por ejemplo, "El cielo es azul" o "5 es mayor que 3" son proposiciones. Operadores lógicos: Los operadores lógicos se utilizan para combinar proposiciones y formar nuevas proposiciones. Los operadores lógicos más comunes son: Negación (¬): Niega el valor de una proposición. Por ejemplo, si p es verdadero, ¬p es falso. Conjunción (∧): Representa la operación "y". La proposición p ∧ q es verdadera solo cuando tanto p como q son verdaderos. Disyunción (∨): Representa la operación "o". La proposición p ∨ q es verdadera si al menos una de las proposiciones p o q es verdadera. Implicación (→): Representa la implicación lógica. La proposición p → q es falsa solo cuando p es verdadera y q es falsa; en todos los demás casos, es verdadera. Doble implicación (↔): Representa la equivalencia lóg
Tipo: Apuntes
2020/2021
1 / 44
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ÁREA DE CIENCIAS
Fundamentos de
Matemática
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LÓGICA PROPOSICIONAL
Objetivo
✓ Comprender los conceptos fundamentales de la
lógica proposicional.
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El Ministerio de Economía y Finanzas (MEF) confirma que el Perú negocia la compra de vacunas con diez laboratorios. El retorno seguro a clases es un eje estratégico para la continuidad educativa y el logro de aprendizajes. ÁREA DE CIENCIAS
PROPOSICIÓN
Es todo enunciado que afirma o niega algo, y cuyo valor de verdad se califica como verdadero o
falso. No basta con que el enunciado sea aseverativo, sino además que el significado o la
interpretación de dicha expresión sea susceptible de ser calificado con el valor de verdadero o
falso y que dicha calificación esté libre de ambigüedad.
Ejemplos:
❑ El cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
❑ La Universidad de Lima fue fundada en 1962.
❑ María Delgado graduada en la Universidad de Lima ofreció una entrevista para G de Gestión.
❑ Mario Vargas Llosa fue galardonado con el Premio Nobel de Literatura en 2010.
❑ Lima fue la capital del Virreinato del Perú.
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A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
a) El Presidente del Perú no es Pedro Castillo. b) ¿Qué es la lógica? c) Debemos honrar a nuestros héroes. d) Sea en hora buena. e) ¡Por Júpiter! ¡Casi me saco la lotería! f) Quizá llueva mañana. g) Juliana es buena. h) 2 3 = 6 (Sondeo) ¿Cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones? Marque la alternativa correcta. Respuesta: B ÁREA DE CIENCIAS
- Extracto de un artículo publicado en el portal de la Universidad de Lima. Mencione al menos 4 proposiciones de dicho extracto. El nuevo Edificio I 1 de la Universidad de Lima es una de las últimas obras construidas por Cosapi y forma parte del Plan Maestro de nuestra Casa de Estudios. La construcción, ejecutada en un área de más de 11 mil metros cuadrados, consta de modernas aulas, oficinas y laboratorios. En la publicación del portal Rumbo Económico, se destaca la aplicación de la metodología Virtual Design & Construction (VDC), con lo cual Cosapi redujo el plazo de la obra, de 14 , 5 meses a 10 , 5 meses.
DESTACAN CONSTRUCCIÓN
DEL MODERNO EDIFICIO I
EN EL CAMPUS ULIMA
ÁREA DE CIENCIAS
Solución
- El nuevo Edificio I1 de la Universidad de Lima es una de las últimas obras construidas por Cosapi.
- El nuevo Edificio I1 de la Universidad de Lima forma parte del Plan Maestro de nuestra Casa de Estudios.
- La construcción del nuevo Edificio I1 fue ejecutada en un área de más de 11 mil metros cuadrados. ÁREA DE CIENCIAS
- El nuevo Edificio I1 de la Universidad de Lima consta de modernas aulas. El nuevo Edificio I 1 de la Universidad de Lima es una de las últimas obras construidas por Cosapi y forma parte del Plan Maestro de nuestra Casa de Estudios. La construcción, ejecutada en un área de más de 11 mil metros cuadrados, consta de modernas aulas, oficinas y laboratorios. En la publicación del portal Rumbo Económico, se destaca la aplicación de la metodología Virtual Design & Construction (VDC), con lo cual Cosapi redujo el plazo de la obra, de 14 , 5 meses a 10 , 5 meses.
CLASES DE PROPOSICIONES
1. Proposición simple
Es una proposición que no presenta conectivos lógicos. Las proposiciones simples se
simbolizan con una letra minúscula del alfabeto español llamada variable proposicional. Las
letras del alfabeto español más utilizadas son 𝑝,𝑞,𝑟,…,𝑧.
Ejemplos:
a) El curso de Fundamentos de Matemática en la Universidad de Lima tiene 5 créditos.
b) La raíz cuadrada de 121 es un número racional.
c) Luciana practica atletismo.
d) 0 , 25 ;
3 12
1 16
− 2
es un conjunto unitario.
e) La moneda oficial en el Reino Unido es el euro.
f) El hexaedro regular tiene 6 aristas.
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CLASES DE PROPOSICIONES
2. Proposición compuesta
Es una proposición que lleva al menos un conectivo lógico, y según el conectivo lógico que
presente se clasifica en proposición conjuntiva, disyuntiva, condicional, bicondicional y
negativa. El valor de verdad de una proposición compuesta se determina a partir del valor de
verdad de las proposiciones simples que conforman dicha proposición y del conector que los
enlaza.
Ejemplos
a) Fabiana no asistió a su primera clase en la Universidad de Lima.
b) La Liga 1 del fútbol peruano está conformado por 20 equipos de primera división y en
dicha Liga participan 6 clubes capitalinos.
c) 3
2
3
d) Si Pedro viaja a Barcelona la última semana de octubre entonces asistirá al Camp Nou a
ver al FC Barcelona.
a) Lucero es alumna de humanidades si y sólo si estudia Fundamentos de Matemática.
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Las proposiciones conjuntivas llevan la conjunción copulativa ‘y’, o sus expresiones equivalentes como ‘e’, ‘pero’, ‘aunque’, ‘aun cuando’, ‘tanto... como...’, ‘sino’, ‘ni... ni‘, ‘sin embargo’, ‘además’, etc. Ejemplos: a) Renato es Ingeniero Industrial y soltero. b) El 2 es par, pero el 3 es impar. c) Silvia es inteligente, sin embargo, es floja. d) Tanto el padre como el hijo son comunicadores. e) Manuel e Ismael son universitarios. f) La materia ni se crea ni se destruye. g) Ingresaré a la universidad aun cuando no apruebe el examen de admisión. Los siguientes ejemplos no son proposiciones compuestas debido a que la ‘y’ de dichos ejemplos actúa como término relacional y no como el conectivo conjunción. a) Luis y Silvia son hermanos. b) María y Ducelia son vecinas. c) Sansón y Dalila son esposos. d) Fernando y Víctor son contemporáneos. e) Ana y Ricardo son parientes. Dichos ejemplos son proposiciones simples con dos sujetos vinculados entre sí. Luis y Silvia son hermanos. Equivale a: Luis es hermano de Silvia.
Observación
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VARIABLE PROPOSICIONAL
Es una letra minúscula del alfabeto español que representa a una proposición simple. Las
letras del alfabeto español más utilizadas son 𝑝,𝑞,𝑟,…𝑧.
Ejemplos:
𝑝: Las aplicaciones para teléfonos móviles son gratuitas.
𝑞: Universitario de Deportes es el equipo peruano con más campeonatos ganados en el fútbol
profesional peruano.
𝑟: El Centro Cultural de la Universidad de Lima se inauguró el 19 de agosto del 2016.
𝑠: El Ministerio de Transportes y Comunicaciones controla el tránsito de vehículos en las
carreteras principales.
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El historiador y docente de la Universidad de Lima Juan Luis Orrego participó como asesor en la
elaboración del guion de la serie El último bastión. Esta producción es transmitida actualmente por
Netflix, y retrata la vida de personas de distintos grupos sociales durante la época de la Independencia.
- Dado el siguiente párrafo: Identifique y simbolice las proposiciones simples. Solución
EJERCICIOS
𝑝: Juan Luis Orrego es un historiador. 𝑞: Juan Luis Orrego es docente de la Universidad de Lima.
𝑠: La serie El último bastión es transmitida actualmente por Netflix.
𝑟: Juan Luis Orrego participó como asesor en la elaboración del guion de la serie El último bastión.
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𝑡: La serie El último bastión retrata la vida de personas de distintos grupos sociales durante la época
de la Independencia.
Eduardo Capetillo Jr. no cumplió las leyes de tránsito dadas por el gobierno mexicano y fue detenido por la policía nacional.
- Dada la proposición compuesta a) Identifique y simbolice las proposiciones simples. b) Use correctamente los conectivos lógicos y simbolice la proposición compuesta. Solución a) Proposiciones simples 𝑝: Eduardo Capetillo Jr. cumplió las leyes de tránsito dadas por el gobierno mexicano. 𝑞: Eduardo Capetillo Jr. fue detenido por la policía nacional. b) ~𝑝 ∧ 𝑞 ÁREA DE CIENCIAS