Proyecto practico -- 1, Transcripciones de Programación Lineal

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Facultad de Ingeniería Programación Lineal

Proyecto Práctico 1

(Respuestas) Profesor: Alumno: José Quintero José Yepes C.I. 25.561. Caracas, mayo de 2021

Respuesta 1:

Programación Lineal Multiobjetivo

Es también llamada Programación de Metas. La idea principal consiste en convertir las diversas funciones objetivos originales en una sola meta o función objetivo. La Programación de metas es una técnica de resolución de problemas multiobjetivos, que permite escoger las variables que ofrecen una mejor solución al problema planteado, teniendo la gran ventaja que permite trabajar con metas medidas en distintas unidades e incluso contrapuestas. La filosofía de los problemas de programación de metas es muy similar a los de Programación Lineal, sólo que ahora además de las restricciones estructurales, se pueden tener varios objetivos simultáneos, los cuales se desean alcanzar. Como la existencia de un objetivo que puede ser alcanzado o no. La estructura de cada meta seguiría este modelo: fi(x) + ni – pi = ti En la expresión anterior fi(x) representa la expresión matemática de la meta, a la que se le añaden dos variables de desviación (ni y pi). La primera, ni, representa un valor faltante para llegar a la meta. La segunda variable de desviación pi, representa un valor excedente por sobre la meta. Mientras que ti representa el valor de la meta.

Variables de desviación no deseadas

En ocasiones, para el cumplimiento de la meta nos conviene más que cierta variable alcance su valor más pequeño, que es cero. Esa variable es una variable de desviación no deseada. Las situaciones que se pueden dar son las siguientes:  Cuando la meta es fi(x) >= ti la variable no deseada (y que se buscará minimizar) será la variable n (la que indica un faltante).

 De la meta 3: 55x3 <= 0.2 (550x1 + 35x2 + 55x3 + 0.075x4) Haciendo las operaciones correspondientes, y simplificando, la meta anterior quedaría: 110x1 + 7x2 – 44x3 + 0.015x4 >= 0  De la meta 4: x4 <= 2 La planificación por metas (incluyendo las variables de desviación) sería: 550x1 + 35x2 + 55x3 + 0.075x4 + n1 – p1 = 16 55x1 – 31.5x2 + 5.5x3 + 0.0075x4 +n2 – p2 = 0 110x1 + 7x2 – 44x3 + 0.015x4 +n3 – p3 = 0 x4 + n4 – p4 = 2 Las variables de desviación no deseadas serían: n1, n2, n3, p4. La función de logro sería: Min g(n1, n2 , n3, p4)

Programación Lineal Estocástica

La Programación Estocástica reúne aquellos modelos de optimización en donde uno o más parámetros del problema son modelados a través de variables aleatorias, pero se conoce una distribución de probabilidad asociada a los mismos. Habitualmente la toma de decisiones es en función del tiempo. Así, sea T= {1, 2, ..., T} el conjunto de periodos de tiempo que constituyen el horizonte de planificación. Los periodos de tiempo se agruparán en distintas etapas de decisión dependiendo de la estructura de información disponible en el problema. Y sea S= {1, 2, ..., S} el conjunto de etapas de decisión en las que se reparten los distintos periodos de tiempo, donde S 6 T. Los problemas estocásticos se pueden clasificar en cuanto al número de etapas en: bietapa, (aquellos que tienen dos etapas) y multietapa (aquellos que cuentan con tres o más etapas).

Elementos del modelo estocástico

Sea la siguiente notación utilizada en el esquema de representación mediante un árbol de escenario (ver la Figura 2.1)

1. Notación:

 cg: Vector de coeficientes en la función objetivo para las variables x g

en el grupo de escenarios g, para g ∈ G. Este conjunto reemplaza el vector ct(g) en el modelo determinista.

 bg: Término independiente (rhs, right – hand side) en el grupo de

escenarios g, para g ∈ G. Este conjunto reemplaza el vector bt(g) en el modelo determinista.

 wg: Denota el factor de ponderación que representa la probabilidad

que se asocia con el grupo de escenario g, para g ∈ G. El modelo se expresaría como: donde: xω^ ∈ Rn: es el vector de variables de decisión por cada escenario ω. cω^ ∈ Rn: es el vector de costos por cada escenario ω. Aωm×n: es la matriz de restricciones por cada escenario ω. bω^ ∈ Rm: es el vector de términos independientes por cada escenario ω.

Ejemplo de aplicación: Problema de la empresa de gas

1. Formulación y definición del problema.

Una empresa proveedora de gas, tiene que realizar sus compras anuales teniendo en cuenta la gestión presente y futura. Cuando la compañía compra gas suministra parte a sus consumidores y el resto lo almacena. Cuando vende gas lo toma de sus compras o de sus depósitos. Las decisiones ´optimas dependerán del precio del gas ahora y en el futuro, del costo de almacenamiento, del tamaño del depósito y de la demanda en cada periodo. La demanda anual y el precio del gas para varios escenarios futuros se presentan en la Tabla 2.3. El precio de almacenamiento de una unidad de gas es de $1/año. Se quieren tomar las decisiones óptimas para los dos primeros años sabiendo que el año actual está siendo normal y el año próximo puede ser normal, frio o muy frio con las probabilidades que aparecen en la Tabla 2.3.

2. Construcción del modelo matemático Variables de decisión x1 = Cantidad de gas a comprar y vender el primer año. x2 = Cantidad de gas a comprar y almacenar el primer año. x3 = Cantidad de gas a almacenar y vender el primer año. y11 = Cantidad de gas a comprar y vender el segundo año en tiempo normal. y12 = Cantidad de gas a comprar y almacenar el segundo año en tiempo normal.

Programación Lineal Binivel

La programación binivel sirve para modelar problemas que consideren una jerarquización entre su toma de decisiones. Usualmente, las decisiones están particionadas en dos niveles, el superior y el inferior. En el nivel superior hay un líder quien debe optimizar su propio problema teniendo en cuenta que una parte de las decisiones del problema están determinadas implícitamente por la solución óptima de otro problema. Este otro problema es el del nivel inferior asociado al seguidor. Dentro de este marco de toma de decisiones, el seguidor reacciona de forma racional ante la decisión del líder, esto es, optimiza su propia función objetivo considerando sus restricciones parametrizadas en la decisión del líder. Un problema de optimización binivel es un problema de optimización matemática en el cual alguna de sus restricciones consiste en resolver a su vez otro problema de optimización matemática.

Ejemplo de aplicación

Consideremos 2 empresas del mercado textil que producen el mismo tipo de tela. Cada empresa tiene que decidir cuántos metros produce de dicha tela. Evidentemente dicho número no puede ser negativo y además supondremos que por cuestiones logísticas ninguna de ellas puede producir más de 5 metros de tela. Por otra parte, sabemos que el precio de producir 1 metro de tela es el mismo para las dos empresas: 5 unidades monetarias. Además, el precio al que se va a vender el metro de tela en el mercado viene dado por 10−(x1 +x2), siendo x1 los metros de tela que produce la empresa 1 y x2 los metros que produce la empresa

Los beneficios de cada una de las empresas vienen dados por la diferencia entre lo que ingresan al vender el producto y lo que le ha costado la producción del mismo. Así, denotamos por f1(x1, x2) = [10 − (x1 + x2)]x1 − 5x1 los beneficios de

la empresa 1 y por f2(x1, x2) = [10 − (x1 + x2)]x2 − 5x2 los beneficios de la empresa 2. Como se puede observar, el beneficio de la empresa 1 depende de cuántas unidades produzca la empresa 2 y viceversa. Del mismo modo, el número óptimo de metros de tela que debe producir cada empresa depende de los metros que produzca la otra. Supongamos ahora que la empresa 1 decide primero cuántos metros de tela producir y posteriormente la empresa 2 toma su decisión, sabiendo lo que ha decidido la empresa 1. Siguiendo lo dicho anteriormente, la empresa 1 es la líder y la empresa 2 la seguidora. Por tanto, la empresa 1 tiene que decidir cuántos metros de tela producir teniendo en cuenta lo que va a hacer la empresa 2 después de que ella decida. Esta situación se puede modelar como un problema de optimización matemática binivel, tal y como se muestra a continuación: maximizar f1(x1, x2) = [10 − (x1 + x2)]x1 − 5x sujeto a x2 ∈ arg max f2(x1, x2) = [10 − (x1 + x2)]x2 − 5x x2∈[0,5] , x1,x2 ≥ 0. En este caso, el problema resultante es relativamente fácil de resolver recurriendo a derivadas de primer y segundo orden. El primer paso es resolver el subproblema de la empresa 2, para lo que basta con calcular la derivada de f2(x1, x2) con respecto a x2. Así, se tiene que Como además , se tiene que lo óptimo para la empresa 2 es producir metros de tela, siendo x1 la cantidad de tela que ha producido la empresa 1. Es decir, gracias a esto, la empresa 1 puede predecir la estrategia de

Respuesta 2: Algunos datos: Total capacidad de la planta (unidades) Total Ganancia (u.m) Planta 1 750 420 Planta 2 900 360 Planta 3 450 300

Definición de Variables de decisión:

Xij: Cantidad de unidades que produce la planta i (i=1,2,3) por cada tamaño j (j=1,2,3), en donde: j=1: Tamaño grande j=2: Tamaño mediano j=3: Tamaño pequeño

Formulación de la función objetivo

Maximizar la ganancia de las plantas

Max z = 420(X 11 + X 21 +X 31 ) + 360(X 12 + X 22 +X 32 ) + 300(X 13 + X 23 +X 33 )

Formulación de Restricciones

s.a.

1. X 11 + X 12 +X 13 <= 750 (Capacidad en planta 1)
2. X 21 + X 22 +X 23 <= 900 (Capacidad en planta 2)
3. X 31 + X 32 +X 33 <= 450 (Capacidad en planta 3)
4. 20 X 11 + 15X 12 + 12X 13 <= 13000 (Espacio de almacenamiento planta 1)
5. 20X 21 + 15X 22 + 12X 23 <= 12000 (Espacio de almacenamiento planta 2)
6. 20X 31 + 15X 32 + 12X 33 <= 6000 (Espacio de almacenamiento planta 3)
7. X 11 + X 21 +X 31 <= 900 (Cantidad de unidades máxima a vender de tamaño grande)
8. X 12 + X 22 +X 32 <= 1200 (Cantidad de unidades máxima a vender de tamaño mediano)
9. X 13 + X 23 +X 33 <= 750 (Cantidad de unidades máxima a vender de tamaño pequeño)
10. Xij >= 0 (i = j= 1,2,3)

Resultados Obtenidos:

Función Objetivo: 732000 unidades monetarias de ganancia Valor de las variables X 11 = 350 unidades X 12 = 400 unidades X 13 = 0 unidades X 21 = 0 unidades X 22 = 400 unidades X 23 = 500 unidades

X 1 : Cantidad de habitaciones tipo ROYAL X 2 : Cantidad de habitaciones tipo HIGH X 3 : Cantidad de habitaciones tipo TURIST

Formulación de la función objetivo

Maximizar las ganancias en el hotel Max z = 0.15 X 1 + 0.10 X 2 + 0.06 X 3

Formulación de Restricciones

s.a.

1. 3 X 1 + 2X 2 + X 3 <= 8000 (Unidades monetarias disponibles para construir)
2. X 2 <= 3 X 3 (Por cada hab. Tipo High debe haber al menos 3 tipo Turist)
3. X 1 <= 2X 2 (Por cada hab. Tipo Royal debe haber tipo High)
4. X 1 + X 2 + X 3 <= 1800 (Total de habitaciones a construir)
5. X 1 <= 200 (Máximo de habitación a construir tipo Royal)
6. X 2 <= 550 (Máximo de habitación a construir tipo High)
7. X 3 <= 1300 (Máximo de habitación a construir tipo Turist)
8. Xi >=0 (i = 1,2,3)

Resultados Obtenidos:

Función Objetivo: 148 unidades monetarias de ganancia para el hotel Valor de las variables X 1 = 200 X 2 = 550 X 3 = 1050 A lo que se traduce en la siguiente tabla: Cantidad de hab. Por cada tipo

Tipo de Habitación Cantidad de Habitaciones ROYAL 200 HIGH 500 TURIST 1050 Respuesta 4:

Definición de las variables de decisión y su naturaleza

Ai: Cantidad en u.m a invertir en la inversión Alfa al inicio del año i. i=1,2, Bi: Cantidad en u.m a invertir en la inversión Beta al inicio del año i. i= Gi: Cantidad en u.m a invertir en la inversión Gamma al inicio del año i. i= Di: Cantidad en u.m a invertir en la inversión Delta al inicio del año i. i= Ri: Cantidad en u.m no invertido al inicio del año i. i=1,

Definición de las restricciones

 Inversión al inicio del año 1: A 1 + B 1 + R 1 = 40  Inversión al inicio del año 2: A 2 + G 2 + R 2 = 1.25 A 1 + R 1  Inversión al inicio del año 3: A 3 + D 3 = 1.25 A 2 + 1.5 B 1 + R 2  U.m máxima a invertir en Beta: B 1 <= 25  U.m máxima a invertir en Gamma: G 2 <= 20  U.m máxima a invertir en Delta: D 3 <= 10

Definición de la variable objetivo

Objetivo: Maximizar la cantidad total ganada al final del tercer año (o al inicio del año 4)

 X 3 + X 5 + X 6 >= 2 (Restricción impuesta por computación)  X 1 >= X 4 (Curso 1 es requisito para el Curso 4)  X 6 >= X 5 (Curso 6 es requisito para el Curso 5)  X 6 >= X 3 (Curso 6 es requisito para el Curso 3)  X 4 >= X 7 (Curso 4 es requisito para el Curso 7)

Resolviendo el modelo, se tiene:

Función objetivo: 4. Lo que quiere decir, que la cantidad mínima de cursos necesarios requeridos es de 4. Los cursos que debe completar son: Curso 2, Curso 3, Curso 5 y Curso 6

Referencias Bibliográficas Article title: Programación de metas y objetivos Website title: Es.slideshare.net URL: https://es.slideshare.net/juanlugomarin/programacion-de-metas-y-objetivos- Article title: Programación por metas: explicación y ejemplo - Website title: Naps Tecnología y educación URL: https://naps.com.mx/blog/programacion-por-metas-explicacion-y-ejemplo/ Author GEO Tutoriales Article title: Qué es la Programación Estocástica Website title: Gestión de Operaciones URL: https://www.gestiondeoperaciones.net/programacion_lineal/que-es-la-programacion- estocastica/ Website title: Eio.usc.es URL: http://eio.usc.es/pub/mte/descargas/ProyectosFinMaster/Proyecto_1454.pdf Programación estocástica ejercicios resueltos Website title: Ri.ues.edu.sv URL: http://ri.ues.edu.sv/id/eprint/9805/1/19200968.pdf Programación lineal binivel Website title: Eprints.uanl.mx URL: http://eprints.uanl.mx/9387/1/1080214885.pdf Website title: Eio.usc.es