Calculo Vectorial
Actividad # 6. Foro de Trabajo
Profesor: Pablo Barreda Pineda
Estudiante: Eugenio Juventino Villarreal Lozano
Matrícula: 870199050
Ciudad: Monterrey, N.L.
22 de Agosto del 2021
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Calculo Vectorial: Integrales de Línea, Superficie y Volumen, Ejercicios de Cálculo Avanzado
Documento que presenta el proceso de resolución de problemas de integrales medias de cálculo vectorial, incluyendo integrales de línea, superficie y volumen. El documento incluye ejemplos con formulas y resoluciones detalladas.
Tipo: Ejercicios
2020/2021
1 / 8
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Calculo Vectorial
Actividad # 6. Foro de Trabajo
Profesor: Pablo Barreda Pineda
Estudiante: Eugenio Juventino Villarreal Lozano
Matrícula: 870199050
Ciudad: Monterrey, N.L.
22 de Agosto del 2021
Introducción
En este trabajo veremos el proceso de resolución de problemas de una lista de ejercicios de
dificultad media de integrales, resolviéndolos y analizando cada uno con el fin de
comprender mejor los métodos necesarios para resolver los problemas planteados. Veremos
problemas de Integral de línea, integral de superficie, integral de volumen, integral doble e
integral triple.
Primero definiremos que es una integral para mayor comprensión de los ejercicios, una
integral es un concepto de cálculo para el análisis matemático y se define como una
generalización de la suma de infinitos sumandos extremadamente pequeños, teniendo como
resultado una suma continua. La integral tiene como característica el que una operación
inversa a la integral será siempre la derivada de la función.
Específicamente en el cálculo integral se miden para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos, y se busca estudiar los cambios de distintas variables, los métodos de
integración según corresponda, los volúmenes sólidos de revolución, así como también los
tipos de integrales ya sean definidas, indefinidas, impropias, entre otras más.
Integral de Superficie
La integral de superficie suele ser una extensión del concepto de integral doble, ya que al
igual que la integral de línea es una extensión del concepto ya existente de la integral de
Riemann clásica. Es una integral cuya función es evaluada sobre una superficie.
Integral de una función o campo escalar 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre una superficie S r(𝑢, 𝑣)
$
× 𝑟
%
Aquí se tiene un módulo de producto vectorial fundamental (×)
Integral de una función o campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧)sobre una superficie S(𝑢, 𝑣)
∬ 𝐹 ∙ n da= ∬ 𝐹(𝑟) ∙
&
&
×&
'
(|&
&
×&
'
|(
$
× 𝑟
%
$
× 𝑟
%
Ejemplo:
Un techo superficial S tiene forma de un gran cono dado por la fórmula 𝑧 = 4 − 2 √𝑥
"
- 𝑦
"
Entre los planos z=0 y z=4. En cada punto su densidad es proporcional a la distancia del eje
Z.
+&
+,
= F 1 , 0
- *,
√,
(
/ 0
(
I
+&
- 0
- 0
√,
(
/ 0
(
𝑟𝑥 × 𝑟𝑦 =
- *,
√,
(
/ 0
(
- 0
√ ,
(
/ 0
(
- *,
√,
(
/ 0
(
- 0
√,
(
/ 0
(
∬ 𝑓(𝑟) ∙ ||𝑟𝑥 × 𝑟𝑦||𝑑𝑥𝑑𝑦
L:𝑟
,
× 𝑟
0
:L = MN
O
+ N
O
= M
Integral de Volumen
La integral de volumen se refiere a una integral sobre un dominio tridimensional, siendo un
caso especial de las integrales múltiples.
Encontrar volumen del tronco OX con un área limitada por 𝑦 = 6 − 𝑥, 𝑦 = 0 , 𝑥 = 4
Primero se representa el problema gráficamente
Luego sustituimos en formula
𝑉 = 𝜋 ∫
( 6 − 𝑥)
!
𝑑𝑥
"
Sacamos derivada
𝑢 = 6 − 𝑥
𝑢
$
= − 1
Integramos
∫
𝑢
%
∙ 𝑢
$
𝑑𝑥 =
&
!"#
%'(
- 𝐶
1
2
1
2
3
4
4
Integral Triple
Las integrales triples son el análogo de las integrales ya antes mencionadas dobles para tres
dimensiones, estas son una herramienta hecha para sumar infinitas cantidades
infinitesimales que son asociadas con puntos de una región tridimensional.
Resolver el siguiente problema:
?
- @,
(
/ 0
(
/A
(
B
𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑠𝑖 𝐷 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐼𝑅
4
Limitada por las superficies 𝑥
𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑏 < 𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑙𝑙𝑜 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑜
Usando coordenadas esféricas se resuelve a:
0
A
0
,
+(,, 0 ,A)
(&,;,F)
| = 𝑟^" 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:
- &
- 5
"
5
2
- 5
2
L
+(,, 0 ,A)
+(&,;,F)
L 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑
4
- &
(
"
5
2
- 5
2
[−
G
5
2
- 5
2
&
(
]
"
G
- "
(
G
"
(
G
(
(
5
2
- 5
2
= F
G
- "
(
G
- "
(
G
(
(
I
- 5
2
2
5
d𝜑
= 2 F
G
- "
(
G
- "
(
G
(
(
I
- 5
2
= 4 𝑥 F
G
- "
(
G
- "
(
G
(
(
I
Referencias:
¿Qué son las integrales matemáticas? (2020, 18 octubre). Lancelot Digital.
https://www.lancelotdigital.com/otras-noticias-de-interes/que-son-las-integrales-
matematicas
Integrales triples (artículo). (s. f.). Khan Academy. Recuperado 22 de agosto de 2021, de
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/triple-integrals-topic/a/triple-integrals
Integrales Triples. (s. f.). matemaniacos. Recuperado 22 de agosto de 2021, de
https://ingenieriaunefa200.wixsite.com/matemaniacos/integrales-triples- 1
M. (2019, 13 julio). Integrales Dobles - MrGTS. Medium.
https://medium.com/@MrGTS/integrales-dobles-ede08e3f71d
M., & M. (s. f.). Aplicaciones de la integral. Volumen | Superprof. Material Didáctico -
Superprof. Recuperado 22 de agosto de 2021, de
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/aplicacion
es-de-la-integral-volumen.html
Integrales de línea en un campo vectorial (artículo). (s. f.). Khan Academy. Recuperado 22
de agosto de 2021, de https://es.khanacademy.org/math/multivariable-
calculus/integrating-multivariable-functions/line-integrals-in-vector-fields-
articles/a/line-integrals-in-a-vector-field