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UNIDAD 5 – RECTAS EN EL PLANO (R²) ¿QUÉ ES UNA RECTA? Una recta es un conjunto infinito de puntos en el plano que siguen una misma dirección. Se puede describir de diferentes formas según los datos disponibles. Rectas y Vector Director Una recta en el plano queda determinada por un punto y un vector no nulo que tiene la misma dirección que la recta. Este vector se llama vector director y se denota como dL o u FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA ECUACIÓN VECTORIAL Se obtiene a partir de un punto conocido P0=(x0,y0) y un vector director dL=(ux,uy). La fórmula es: Para verificar si un punto pertenece a la recta , se reemplaza el punto en la ecuación y se comprueba si existe un único valor de λ que satisface ambas ecuaciones del sistema. Si las λ no coinciden, el punto no pertenece a la recta. ECUACIÓN PARAMÉTRICA Esta forma se obtiene al descomponer la ecuación vectorial en sus componentes x e y.
ECUACIÓN CARTESIANA (O SIMÉTRICA) Esta ecuación se obtiene al despejar el parámetro λ de las ecuaciones paramétricas e igualarlas.
Importante: Esta ecuación solo tiene sentido algebraico si ux ≠ 0 y uy ≠ 0. Si una de las componentes es cero,
no se puede escribir en esta forma. ECUACIÓN EXPLÍCITA Esta forma se obtiene al despejar la variable y de la ecuación cartesiana. Pendiente (m) : Representa la inclinación de la recta y se calcula como m=uxuy. Geométricamente, es la tangente del ángulo α que la recta forma con el semieje positivo de las x. Ordenada al origen (n) : Es el valor de y cuando x=0, lo que corresponde al punto de intersección de la recta con el eje y. ECUACIÓN IMPLÍCITA Vector Normal (n): Es un vector perpendicular al vector director de la recta. Si el vector director es d=(ux,uy), el vector normal es n=(−uy,ux) o un múltiplo de este. Fórmula: La ecuación implícita se deriva de la condición de que el vector formado por un punto cualquiera de la recta (x,y) y un punto fijo (x0,y0) es perpendicular al vector normal. Por lo tanto, su producto escalar es cero: (P−P0)⋅n=0. Esto se traduce en ax+by+c= 0.
2. Rectas Perpendiculares
Definición: Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores son perpendiculares (u ortogonales)^8. Condición: El producto escalar de sus vectores directores debe ser cero^9. o En términos de pendiente: Dos rectas no verticales son perpendiculares si la pendiente de una es el opuesto del inverso de la pendiente de la otra^11. o o Esto también se puede expresar como Vector Normal: La teoría introduce el concepto de un vector normal, que es un vector perpendicular a la recta^14. Si el vector director es
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS La posición relativa de dos rectas en el plano se determina por la relación entre sus vectores directores o sus pendientes. No se presenta una sección dedicada a esto en la teoría, pero se aplican los conceptos en los ejercicios de paralelismo y perpendicularidad. Hay tres casos posibles para la posición relativa de dos rectas en el plano:
- RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si y solo si sus vectores directores son paralelos. Esto significa que el vector director de una recta es un múltiplo escalar del vector director de la otra.
- RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus vectores directores son ortogonales (perpendiculares).
