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Planos y rectas III 8.- “Recta que pasa por un punto y se apoya en otras dos que se cruzan”. Dadas las rectas
y z 1
2 x y 5 r ,
2 x 5 y z 2 0
x 2 y 3 z 1 0 s , hallar la ecuación de la recta “t” que pasa por el origen de coordenadas y se apoya en ambas. Hallar los puntos de apoyos R y Q de t con r y s. Sol:
y 7 z 0 t^2 x^4 y^5 z^0 R(23/12, -7/6, 1/6); Q(23/11, -14/11, 2/11)
Existen tres estrategias:
En primer lugar estudiamos la posición relativa de las dos rectas.
Ponemos r y s en paramétricas
2 1 2 2
x r y z
^
ur 1, 2, 2 Pr (^) 2, 1, 0
x s y z
us 17, 7,1 Ps (^) 1, 0, 0
ur us y además como P Pr s 3,1, 0se verifica
u r us P Pr s
luego r y s se cruzan.
Estrategia 1 (la más sencilla)
a) 1 =plano que contiene a “r” y pasa por P.
b) 2 =plano que contiene a “s” y pasa por P.
c) t 1 2
d) Los puntos de apoyo: R r 2 r t , Q s 1 s t
a) 1 r , Pconsideramos el haz de planos:
1
x y y z le imponemos que pase por P para x y y z x y z
b) 2 s, Plo podemos hacer también por haz de planos o de forma geométrica, lo
hacemos por su determinación lineal:
2 2
s s s s s s
u (^) x y z u P P P P P y z y z P
c) La recta solución es
x y z t y z
^ ^ ^
^
d) Los puntos de apoyo.
2 2
x R r r y y z z
R
^
^
También se podíamos calcularlo resolviendo el sistema:
x y R r t y z y z
^ ^
Ahora Q.
1 1
x y z Q s t x y z por Cramer o bien x y z
Q s ponemos s en paramétricas y sustituimos en Q
^ ^
^
