recursividad practica, Apuntes de Informática

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Fundamentos de Programación II

Tema 2. Recursividad

Luís Rodríguez Baena ([email protected]) Universidad Pontificia de Salamanca (campus Madrid) Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura

Naturaleza de la recursividad

Se dice que un

objeto es

recursivo

cuando forma parte de

si mismo.

● Permite definir un número infinito

de objetos mediante un enunciadofinito.

En programación…

Luis Rodríguez Baena, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, 2012

En programación…

● La recursividad es la propiedad que

tienen los procedimientos yfunciones de llamarse a si mismospara resolver un problema.

● Permite describir un número infinito

de operaciones de cálculo medianteun programa recursivo finito

sin

implementar de forma explícitaestructuras repetitivas.

Partes de un algoritmo recursivo

Un algoritmo recursivo genera larepetición de una o másinstrucciones (como un bucle).

Como cualquier bucle puedecrear un bucle infinito.

Es necesario establecer unacondición de salida para terminar la recursividad.

entero : función

Recursiva(…)

… inicio

… devolver

(Recursiva(…))

fin_función

Luis Rodríguez Baena, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, 2012

terminar la recursividad.

Para evitar un bucle infinito, unalgoritmo recursivo tendrá:

Caso trivial, caso base o fin derecursión.



La función devuelve un valorsimple sin utilizar la recursión(0! = 1).

Parte recursiva o caso general.



Se hacen llamadas recursivasque se van aproximando al casobase.

entero : función

Recursiva(…)

… inicio

… si

entonces

//Caso base devolver

si_no

//Parte recursiva devolver

(Recursiva(…))

fin_si …

fin_función

Tipos de recursividad

Según el subprograma al quese llama, existen dos tipos derecursión:

●

Recursividad simple o directa.

La función incluye una referenciaexplícita a si misma.

devolver(recursiva(…))

procedimiento

Recursivo()

… inicio

… Recursivo(…)…

fin_función

Recursividad directa

procedimiento

Recursivo1()

Luis Rodríguez Baena, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, 2012

devolver(recursiva(…))

●

Recursividad mutua o indirecta.

El módulo llama a otros módulosde forma anidada y en la últimallamada se llama al primero.

… inicio

… Recursivo2(…)…

fin_función procedimiento

Recursivo2()

… inicio

… Recursivo1(…)…

fin_función

Recursividad indirecta

Tipos de recursividad (III)

Luis Rodríguez Baena, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, 2012

Llamadas a módulos recursivos

Llamadas anidadas (no recursivas).

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Llamadas a módulos recursivos (III)

El problema de sumar números entre 1 y n se puede definir en funciónde su tamaño (n), el problema se puede dividir en partes máspequeñas del mismo problema y se conoce la solución del caso mássimple (caso base, suma(1) = 1). Por inducción se puede suponer quelas llamadas más pequeñas (por ejemplo, Suma(n-1)) quedanresueltas.

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Suma(4) = 4 + Suma(3)

Suma(3) = 3 + Suma(2)

Suma(2) = 2 + Suma(1)

Suma(1) = 1 (caso base)

devuelve 1

devuelve 3

devuelve 6

devuelve

Llamadas a módulos recursivos (IV)

En el caso del factorial…

●

Por definición, 0! = 1,

●

Para cualquier número entero mayor que 0, n! = n * (n-1)!

En este problema:

●

La solución de n! puede ser definida en función de su tamaño (n).

●

Se puede dividir en instancias más pequeñas (<n) del mismo problema.

●

Se conoce la solución de las instancias más simples (n=0).

●

Por inducción, las llamadas más pequeñas (<n) pueden quedar resueltas.



Sabemos que 4! = 4 * 3!

Conclusión: Se puede resolver por recursividad.

Luis Rodríguez Baena, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, 2012

Conclusión: Se puede resolver por recursividad.

4! = 4 * 3!

3! = 3 * 2!

2! = 2 * 1!

1! = 1 * 0!

0! = 1 (caso base)

1 * 1

devuelve 1

=

2 * 1

devuelve 1

=

3 * 2

devuelve 2

=

4 * 6

devuelve 6

=

devuelve 24

Llamadas a módulos recursivos (V)

La pila de llamadas a subrutinas.

● Una estructura de tipo

pila

es una estructura de datos en la que la

información se añade y se elimina por un extremo llamado cima.

El último elemento que entra en la pila es el primero que sale.

● El

registro de activación de procedimientos

es un bloque de

memoria que contiene información sobre las constantes, variables locales y parámetros que se pasan al procedimiento, junto con la

Luis Rodríguez Baena, Escuela Superior de Ingeniería y Arquitectura, 2012

locales y parámetros que se pasan al procedimiento, junto con la información de la dirección de retorno de esa llamada.

● Cada vez que se llama a un procedimiento (sea o no una llamada

anidada, sea o no una llamada recursiva) se almacena el registro deactivación del procedimiento en la pila de llamadas a subrutinas.

Cuando el procedimiento termina, su registro de activación se desapila,volviendo a la dirección de retorno que se ha almacenado yrecuperando el estado de las constantes, variables locales yparámetros.

Llamadas a módulos recursivos (VI)

En cada llamada a la función factorialcarga en la pila de llamadas su registrode activación (cómo en cualquierllamada a una subrutina).

El último registro de activación queentra es el primero que sale.

Aunque los identificadores sean losmismos no existe ambigüedad:



Siempre se refieren al ámbito en el que han sido declarados

.

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han sido declarados

.

Cuando se llega al caso base (n< 1),el registro de activación se desapila yel flujo de control del programaregresa a la última llamada que se hahecho (cuando n=1), devolviendoademás el valor de retorno (1).

Los registros de activación se vandesapilando, restaurando los valoresanteriores de n y devolviendo losvalores de retorno de cada una dellamadas recursivas a la función (1, 1,2, 6, 24).

Algoritmos recursivos (II)

escribir

(Potencia(2,5))

x=2, y=5 devolver

(

Potencia(2,4))

x=2, y=4 devolver

(

Potencia(2,3))

x=2, y=

2 * 8

2 * 16

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x=2, y=3 devolver

(

Potencia(2,2))

x=2, y=2 devolver

(

Potencia(2,1))

x=2, y=1 devolver

(

Potencia(2,0))

x=2, y=0 devolver

(1)

1

2 * 1

2 * 2

2 * 4

Algoritmos recursivos (III)

Escribir un número decimal en binario.

●

Caso base: si n < 2 n en binario es n.

●

Si n >= 2, n en binario es la división entera de n entre 2 en binarioseguido del resto de dividir n entre 2.



2 en binario es

2

div

2

en binario (1), seguido de

2

mod

2

(0)



10

.



3 en binario es

3

div

2

en binario (1), seguido de

3

mod

2

(1)



11

.

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3 en binario es

3

div

2

en binario (1), seguido de

3

mod

2

(1)



11

.

procedimiento

EscribirEnBinario(

valor entero

: n)

inicio

si

n < 2

entonces

//Escribe n sin hacer un salto de línea escribir

(n)

si_no

EscribirEnBinario(n

div

//Escribe n mod 2 sin hacer salto de línea escribir

(n

mod

fin_si

fin_procedimiento

Algoritmos recursivos (IV)

La secuencia leída decaracteres es h,o,l,a,Intro.

Las acciones que se realicendespués de la llamada recursivase ejecutarán en orden inverso alas llamadas.

●

Lo que ocurre en la recursión “decola”.

Leer y escribir caracteres hasta que se pulsa

Intro

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que se pulsa

Intro

procedimiento

LeerCaracteres()

var

carácter

:

car

inicio

leer

(car)

si

código

(car)

<>

13

LeerCaracteres() escribir

(car)

fin_si

fin_procedimiento

Algoritmos recursivos (V)

lógico

función

esPar(

valor

entero

:n)

inicio

si

n

= 0

entonces

devolver

(

verdad

)

si_no

devolver

(esImpar(n-1))

fin_si

fin_funciónlógico

función

esImPar(

valor entero

:n)

inicio

Ejemplo de recursividad mutuao indirecta.

●

Determinar si un númeroentero positivo es par.

esPar(3)

falso

falso

devuelve falso

=

devuelve falso

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inicio

si

n

= 0

entonces

devolver

(

falso

)

si_no

devolver

(esPar(n-1))

fin_si

fin_función //Ejemplo de llamada si

esPar(5)

entonces

...

esImpar

(

2

)

esPar(1)

esImpar(0) (Caso base)

devuelve falso

falso

falso =

devuelve falso

=

esImPar(3)

esPar(2)

esIMPar(1)

esPar(0) (Caso base)

devuelve verdad

verdad

= verdad

devuelve verdad

= verdad

devuelve verdad

=

devuelve verdad

esPar(4)

verdad

devuelve verdad