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diplomado de Redes cerradas-PostGrado cap1
Tipo: Apuntes
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Red de distribución. Es el conjunto de tuberías y accesorios de diferentes diámetros, válvulas, grifos y demás accesorios cuyo origen está en el punto de entrada al pueblo (final de la línea de aducción) y que se desarrolla por todas las calles de la población. (1) Redes de distribución. Conjunto de tuberías principales y ramales distribuidores que permiten abastecer de agua para consumo humano a las viviendas. (2) Conexión predial simple. Aquella que sirve a un solo usuario Conexión predial múltiple. Es aquella que sirve a varios usuarios Elementos de control. Dispositivos que permiten controlar el flujo de agua. Hidrante. Grifo contra incendio. Ramal distribuidor. Es la red que es alimentada por una tubería principal, se ubica en la vereda de los lotes y abastece a una o más viviendas. Tubería Principal. Es la tubería que forma un circuito de abastecimiento de agua cerrado y/o abierto y que puede o no abastecer a un ramal distribuidor. Caja Porta medidor. Es la cámara en donde se ubicará e instalará el medidor Profundidad. Diferencia de nivel entre la superficie de terreno y la generatriz inferior interna de la tubería (clave de la tubería). Recubrimiento. Diferencia de nivel entre la superficie de terreno y la generatriz superior externa de la tubería (clave de la tubería). Conexión Domiciliaria de Agua Potable. Conjunto de elementos sanitarios incorporados al sistema con la finalidad de abastecer de agua a cada lote. Medidor. Elemento que registra el volumen de agua que pasa a través de él. La red de abastecimiento de agua potable es un sistema de obras de ingeniería, concatenadas que permiten llevar hasta la vivienda de los habitantes de una ciudad, pueblo o área rural relativamente densa, el agua potable.
2. PARTES Las partes de la red de distribución son: 2.1.- Tuberías , incluyendo dados de anclaje; eventualmente puede darse el caso de cruces aéreos de tubería y estructuras especiales para el cruce de tuberías bajo ríos, quebradas o accidentes. 2.2.- Accesorios (codos, reducciones, ampliaciones, tés, tapones, válvulas reductoras de presión, válvulas controladoras de flujo, grifos contra incendio, etc.). 2.3.- Cámaras rompe presión : Estructura que permite disipar la energía y reducir la presión relativa a cero (presión atmosférica), con la finalidad de evitar daños a la tubería.
Redes combinadas.- Son redes cerradas en la que también contiene ramales abiertos.
3.2. Según la importancia de las tuberías de las redes, las redes se clasifican en: Redes primarias, matrices o principales .- Son tuberías y accesorios de gran diámetro, mayores de 100 mm. Redes secundarias o de relleno .- Son tuberías y accesorios de 100 mm o más de diámetro. Redes terciarias .- Son tuberías y accesorios de menor diámetro, hasta de 63 mm.
Redes primarias y secundarias – Tuberías completamente interconectadas. (5)
Redes Primarias y secundarias - Tuberías simple de cruce superior. (5)
4. TIPO DE SISTEMAS Por el tipo de sistemas, pueden ser: Convencionales Condominiales o denominado también de redes menores
Sistema de agua condominial
5.3. Diámetros de la red de distribución Como se ha explicado la red de tuberías de agua potable en una ciudad grande puede clasificarse en redes primarias, redes secundarias y redes terciarias.
Redes primarias Las redes primarias forman la estructura básica del sistema de distribución y llevan los caudales desde las estaciones de bombeo en las plantas de tratamiento hasta los reservorios elevados o apoyados ya hacia los diferentes distritos. Estas líneas se colocan en circuitos interrelacionados, de tal forma que las tuberías principales no estén separadas por más de 1 km. Estas líneas deben tener válvulas a intervalos no mayores de 1.5 km. Las líneas secundarias conectadas a las primarias deben tener válvulas de tal manera que fallas en los sistemas menores no requieran el cierre del sistema de la red primaria. Las líneas primarias deben tener válvulas de purga en los puntos más bajos y ventosas en los puntos más altos.
Redes secundarias Las redes secundarias conforman circuitos menores dentro de las tuberías primarias y unen una línea primaria a la otra. El espaciamiento usual entre ellas es de 2 a 4 manzanas (200 a 400 m) y sirven para proveer grandes cantidades de agua contra incendio sin una excesiva pérdida de carga.
Redes terciarias Estas redes forman una malla en toda el área de servicio, suministrando agua para cada unos de los usuarios y para los hidrantes contra incendio. Estas redes terciarias se conectan a las redes primarias, redes secundarias o otras tuberías d ela red de distribución, conectada en sus dos extremos y tienen válvulas, de manera que el sistema pueda se cerrado para reparaciones sin impedir el abastecimiento de agua en un área muy grande. El tamaño de los tubos está fijado por el caudal contra incendio, excepto en aquellas áreas residenciales con lotes muy grandes.
Los diámetros en estas redes son por lo general de 100 mm y excepcionalmente de 150 mm., con cruces localizados a distancias no mayores a 180 m. En distritos de alto valor o en zonas comerciales o industriales, el tamaño mínimo puede llegar a ser de 200 mm., con cruces con el espaciamiento no mayor a 180 m.
Aquellas tuberías que únicamente suministran agua para consumo humano, pueden ser tan pequeñas como 100 mm, pero no pueden tener longitudes mayores a 400 m si terminan en un punto ciego o a 600 m si están conectados al sistema por sus dos extremos. En ciudades pequeñas o rurales no se da la misma composición para la red
de distribución de agua potable citada anteriormente. En estos casos solo existen tuberías secundarias y terciarias. En este tipo de ciudades se permiten tuberías de 50 a 75 mm. La longitud de tuberías no debe exceder los 100 m si terminan en un punto ciego y los 200 m si están conectados por los dos extremos. Igualmente se deben evitar los puntos muertos, debido a que en estos casos el suministro es menos confiable y la falta de caudales en las tuberías puede contribuirá problemas en la calidad del agua en la red.
5.4. Velocidades Las velocidades para flujo máximo, incluyendo el caudal para incendio, normalmente no excede 1 m/s, con un límite superior de 2 m/s. Estas velocidades se pueden presentar en las líneas cortas de la red primaria y en las cercanías a los sitios de los incendios. Debe tenerse en cuenta que el agua que se transporta por las redes de distribución es agua tratada, limpia, incolora, sin contenidos de arenas ni partículas que le confieran turbiedad; por lo que las velocidades mínimas aceptables están alrededor de 0.30 m/s.
En los casos de paso de caudales bajos en diámetros de tuberías mínimos se pueden aceptar velocidades de 0.15 a 0.20 m/s. en caso de presentarse velocidades menores hay que proyectar válvulas de purga, para evacuar sedimentos que se pueden presentar.
Lij ∑ ∑Kmij + fij ------ Qij^2 /Aij^2 dij ΔQi = - -------------------------------------------- Lij 2 ∑ ∑Kmij + fij ------ Qij /Aij^2 dij
Esta última ecuación también se puede se escrita en la siguiente forma:
∑ (hmij + hmij ) ΔQi = - ---------------------------- hmij + ∑hmij 2 ∑ -------------------- Qij
En términos sencillos y despreciando la pérdida de carga en accesorios se puede escribir: ∑h ΔQ = - ----------- n ∑h/Q
6.1.2. Balance de Ecuación de Nudo: Método de Cornish Este método es una modificación al método de Hardy Cross realizada por R. J. Cornish (1939 – 1940). El método con corrección de cabezas se utiliza para resolver las ecuaciones de cabeza como las establecidas anteriormente. De nuevo se utiliza la ecuación de Darcy-Weisbach para el cálculo de las pérdidas por fricción. Las ecuaciones del método son:
Este método de Hardy Cross con corrección de cabezas se utiliza para resolver las ecuaciones de cabeza como las establecidas anteriormente.
Qij^2 Lij Hj - Hihij = ----------- ∑ Kmij + fij ------ 2 g Aij^2 dij
1/ Hj – Hi Qij = ----------------------- Aij (2 g)1/ Lij ∑ Kmij + fij ------ dij
En vez de suponer los caudales en cada uno de los tubos de la red, esta variación supone la cabeza en cada uno de nodos (Nu -1) de esta (la cabeza en uno de los nodos es conocida o en
su defecto tiene que ser supuesta por el diseñador). Luego se ajustan las cabezas supuestas, nodo por nodo, hasta completar todos los nodos de la red. El proceso se repite hasta que la ecuación de continuidad llega a valores “lo suficientemente cercanos a cero en todos los nodos. Esta cercanía es fijada por el diseñador de acuerdo con su criterio y con la red que se esté diseñando.
El factor que se utiliza para corregir las cabezas e cada uno de los nodos se calcula tal como se explica a continuación. Si se supone que la cabeza Hi del nodo i está subestimada o sobreestimada, la ecuación anterior se convierte en:
( Hj – Hi ) - ΔHi^ 1/ Qij = ----------------------- Aij (2 g)1/ Lij ∑ Kmij + fij ------ dij
De donde se obtiene.
Aij (2 g)1/ Qij = ----------------------------- (( Hj – Hi ) - ΔHi ) 1/ Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij
Si se toma el último término y se utiliza el teorema del binomio se obtiene:
(( Hj – Hi ) - ΔHi ) ½^ = ( Hj – Hi ) ½^ - 1/2 ( Hj – Hi ) ½^ - ΔHi + 1/8 ( Hj – Hi ) ½^ ΔHi^2 - 1/16( Hj – Hi ) 5/2 (^) ΔHi (^3) + 5/128 ( Hj – Hi ) 7/2 (^) ΔHi (^4) + ……….
Al eliminar los términos que involucran las potencias altas de ΔHi, ya que son muy pequeños en comparación con los demás términos, se llega a: (( Hj – Hi ) - ΔHi ) ½^ = ( Hj – Hi ) ½^ - 1/2 ( Hj – Hi ) ½^ - ΔHi
1/ Hj – Hi Qij = ----------------------- Aij (2 g)1/ Lij ∑ Kmij + fij ------ dij
En caso que alguna de las tuberías que conforman la red exista una bomba rotodinámica, la cabeza adicional introducida por esta afecta el caudal respectivo. Si la ecuación de la bomba es de la forma:
HB = A Qij^2 + B Qij + C Entonces, para la tubería ij se debe cumplir la siguiente ecuación:
Lij Qij^2 Qij^2 Hj – Hi = fij ------ --------- ∑ Kmij ---------- - (AQij^2 + B Qij + C) Dij 2g Aij^2 2 g Aij^2
Dado que esta ecuación es de la forma.
a Qij^2 + b Qij + c
∑Q - q Δh = - n ------------ ∑Q/h
6.1.3. Balance Ecs. Nudo y Circuito: MET. DE NEWTON-RAPHSON (Mc Ilroy) Este es un método numérico que permite la solución de ecuaciones no lineales o cálculo de raíces de ecuaciones en forma rápida y segura; las ecuaciones pueden ser explícitas o no explícitas.
F(x) = 0 Explícita G(x) = 0 No explícita
Es decir: f(x) = g(x) - x La raíz de la ecuación puede calcularse mediante iteraciones sucesivas siguiendo la regla de Newton, que establece que si X 0 , es una aproximación a la raíz de f(X) entonces X 0 +δX 0 es una mejor aproximación, donde: f (X 0 ) δ X 0 = - -------- f´ (X 0 )
Esta ecuación resulta de una serie de Taylor para f (X 0 +δX 0 ), tal como se muestra.
f´´(X 0 ) f´´´(X 0 ) f (X 0 +δX 0 ) = f´ (X 0 ) += f (X 0 ) δX 0 + --------- δX 02 + ---------- δX 03 + ……. 2! 3! Donde las primas indican derivadas de la función f. Si X 0 +δX 0 es la raíz de la función f, entonces: f (X 0 +δX 0 ) = 0
De manera que si se igualan las ecuaciones anteriores y despreciando los términos de segundo orden y órdenes superiores de δX 0 , se obtiene la siguiente ecuación:
df f (X 0 ) + -----. δX 0 = 0 (1) dx
df -----. δX 0 = - f (X 0 ) dx
Este procedimiento se puede generalizar fácilmente para encontrar las raíces de sistemas de ecuaciones no lineales. Si se requiere resolver un sistema de N ecuaciones, las mejoras a las raíces aproximadas (Xo1, Xo2, Xo3, Xo4, …… XoN), las cuales son aproximadas δXo1, δXo2, δXo3, δXo4, …… δX (^) oN, pueden calcularse resolviendo las siguientes N ecuaciones lineales simultaneas:
N Əfi f (x01´ x02´ …,x0N´) = ∑ -----. δx0j j=1 Əxj
Donde: i = 1, N
Esta última ecuación puede expresarse en forma matricial si se recurre a la ecuación (1) y resolverse mediante un proceso de eliminación de Gauss. Los elementos conocidos son δfi/ δxj y fi. La matriz resultante es:
Para el caso de redes cerradas se las siguientes ecuaciones:
Nu J=1^ ∑^ Qij^ –^ QDi^ = 0
Donde: Un = Número de nodos. QDi = Caudal demandado en nodos de salida (Qsalida) Qij = Caudales de paso por la tuberías entre nodo y nodo.
Nu (Hj^ –^ Hi) ∑ J=1 A ij (2 g)1/2^ ------------------------------- ( Hj – Hi ) -1/ Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij
De aquí se obtiene.
Nu (Hj^ –^ Hi) ∑ J=1 A ij (2 g)1/2^ ------------------------------- ( Hj – Hi ) -1/2^ - QDi = 0 Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij Para i= 1, 2, 3, …Nu
Esta ecuación tiene la forma siguiente.
Nu (Hj^ –^ Hi) fi (H1, .. HNu) = ∑ J=1 A ij (2 g)1/2^ ------------------------------- ( Hj – Hi ) -1/2^ - QDi = 0 Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij Es decir. fi (H1, H2, H3,…HNu) = 0
Las ecuaciones son válidas para i variando entre 1 y Un; es decir, se tiene un conjunto de ecuaciones que pueden ser resueltas mediante el método de Newton Raphson.
δ fi δ fi δ fi δ fi ------ = -------- (3) y; ------ = -------- (4) δ Xj δ Hj δ Xi δ Hi Donde: Hi y Hj representan cabezas en los nudos. Luego:
δ fi δ (^) Nu (Hj – Hi) 1/ ------- = ------- ∑ Aij (2 g)1/2^ ------------------------------- - QDi δ Xj δ Hj^ J=1^ Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij
Al llevar a cabo el proceso de derivación se obtiene:
δ fi 1 (Hj – Hi)1/ ------- = ---- Aij (2 g)1/2^ -------------------------------- - QDi δ Xj 2 Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij
En esta ecuación Hj debe ser mayor que Hi. En caso contrario se debe utilizar el valor absoluto. Por otro lado, la cabeza Hi se tiene que
δ fi δ (^) Nu (Hj – Hi) 1/ ------- = ------- ∑ Aij (2 g)1/2^ ------------------------------- - QDi δ Xj δ Hj^ J=1^ Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij
Nuevamente, al desarrollar el proceso de derivación:
δ fi 1 (Hj – Hi)1/ ------- = - ---- Aij (2 g)1/2^ ------------------------------- - QDi δ Xj 2 Lij 1/ ∑ Kmij + fij ------ dij
Luego al comparar las ecuaciones de la 3 y 4 se obtiene:
δ fi^ Nu^ δ fi ------ = - ∑ -------- δHi (^) j=1 δ Hj
6.1.4. Balance Ecs. Nudo y Circuito: MET. DE LA TEORIA LINEAL (D. Wood) Este método fue desarrollado por D. J. Wood y C. O. A. Charles entre 1970 y 1972. Se basa en la linealización de las ecuaciones de energía en cada una de las tuberías de la red. Es un método muy apto para ser programado, ya que solo requiere de inversión de matrices y algunas iteraciones. Se ha demostrado que converge mucho más rápidamente que los métodos vistos anteriormente. Se basa en las siguientes ecuaciones:
Las ecuaciones Nc (6), una para cada circuito, se combinan n ecuaciones de continuidad (una de las cuales es redundante, luego en realidad se utilizan n-1 ecuaciones) para formar un sistema de NT= NC + NU-1 ecuaciones lineales, donde NT es el número de tubos de la red. Es decir, se tiene una ecuación para cada tubo y la incógnita es el caudal. Las cabezas pueden ser calculadas si se requieren posteriormente.
Para utilizar las ecuaciones anteriores se debe suponer un caudal inicial en cada tubo. Una de las grandes ventajas del método de la teoría lineal radica en que al no tener estos que cumplir la ecuación de continuidad en el nodo no se requiere tiempo para la preparación de datos iniciales. El caudal inicial puede ser supuesto igual para todos los tubos: por ejemplo, Q= 100 l/s para todo ti. esta situación no afecta la velocidad de convergencia.
Para obtener los k´ij en cada iteración se utilizan las siguientes ecuaciones:
Factor de pérdidas:
∑ K (^) mij + f lij/dij Kmij = ------------------------- 2g Aij^2 Ecuación de Colebrooke-White:
1 Ksij 2. ----- = - 2 log 10 --------- + ----------- f1/2^ 3.7 dij Re fij1/
Número de Reynolds.
Vij dij 4 QoijKsij Reij = ---------- = --------------
y: k´ij = kij Qo (^) ij
Al observar que todos los procesos de cálculo de redes (Hardy-Cross, Newton-Raphson, etc.) los valores del caudal en cada tubo convergen por encima y por debajo, sucesivamente, al caudal final, Wood propuso que el caudal de la siguiente iteración (k + 1) no fuera el calculado en la iteración anterior (k), sino el siguiente: Qoijk + Qijk Oo (^) ijk+1 = ------------------- 2
Esta última ecuación acelera de manera considerable el proceso de convergencia. El método puede resolverse en la forma ilustrada en la siguiente figura representativa de una red cerrada, en donde se observa la topología de la red con dos circuitos y seis nodos.
En la figura, las direcciones de los caudales son supuestas en forma arbitraria. Para esta red se pueden plantear las siguientes ecuaciones:
Ecuaciones en los nodos:
k´ 12 Q 12 + k´ 25 Q 25 + k´ 56 Q 56 + k´ 16 Q 16 = 0 k´ 23 Q 23 + k´ 34 Q 34 + k´ 45 Q 45 - k´ 25 Q 25 = 0
Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera:
