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Diplomatura de Estadística
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( 3.c) INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS NO EXPONENCIALES Diplomatura de Estadística
Y REDES DE COLAS
•^
INTRODUCCIÓN A LAS REDES DE COLAS.
Concepto de red abierta y cerrada.Redes abiertas y Teorema de Jackson.
-^
MODELOS NO EXPONENCIALES
Cola M/G/1: Fórmula de Pollaczeck-Khintchine.Cola G/M/1: casos Ek/M/1, Hip/M/1, Hyp/M/1.Uso de QTS_EXCEL.
-^
APROXIMACIONES PARA COLAS GI/G/s.
Aproximación de Allen-Cuneen.Aproximaciones para colas congestionadas(Heavy Traffic)
0
1
2
n-
n^
n+
-^ • -^ -^ •
λ^0
λ n-
λ^2
λ^1
λ n
λ n+
μ^1
μ^2
μ^3
μ n
μ n+
μ n+
(^
(^
(^
(^
M M
M M
n n n n n n n n n n n n n n
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
n
n
emergente
Tasa
incidente
Tasa
Estado
−
−
−
−
−
−
−
μ
λ
μ
λ
μ
λ
μ
λ
μ
λ
μ
λ
μ
λ
μ
λ
λ
μ
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2 2 2 3 3 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0
1 1
Hay tantas ecuaciones como valores pueda presentar
N
( t
), por
tanto, si en el S.E. sólo pueden haber como máximo
K clientes,
habrán
K+1 ecuaciones.
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EJEMPLO DE LA EVOLUCIÓN DE UNA COLA M/M/
COMPORTAMIENTO:
Pueden presentarse dos situaciones:
En
promedio
la
afluencia
de
clientes
al^
S.E.
sobrepasa la capacidad detrabajo
del
Sistema
de
Servicio:N(
t ) PRESENTA UNA TENDENCIA CRECIENTE
El Sistema de Servicio tienesuficiente
capacidad
de
trabajo frente a la afluenciade clientes: N(
t ) puede crecer en ocasiones,pero el S.E. siempre retorna al
estado 0 (vacío)
t
N(
t )^ N(
t )
ρ t
^1
ρ^
-^
Tiempos entre llegadas
τ
i.i.d. de ley exp. con parámetro
λ
s > 1 servidores iguales.
-^
Tiempo de servicio
x
i.i.d. según una ley exp. de parámetro
μ
K
K
K^ ,
s
s
n
s
s
n
n
n
n n
MODELO M/M/s
0
1
2
s-
s^
s+
-^ • -^ -^ •
λ^
λ
λ
λ^
λ^
λ
μ^
2 μ
3 μ
s μ
s μ
s μ
MODELO M/M/s/./N
S.E. con población finita (
N) que presupone:
-^
Tiempo de permanencia en la población de los clientes i.i.d según leyexp. de parámetro
λ
-^
Tiempos de servicio por servidor i.i.d. según ley exp. de parámetro
μ
.
-^
Un conjunto de servidores en paralelo
s > 1.
-^
Una población finita de clientes limitado al valor
N. Para simplificar
se supone
N >
s. Es un S.E. cerrado: Hay siempre
N
clientes (población+S.E.)
Tras salir del S.E. el cliente se reintegra en la Población
Población
Sistema de Espera
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REDES DE COLAS EXPONENCIALES
➨
Sistemas
de
colas
exponenciales
formando
una
red
de
montaje
de
ordenadores o coches, por ejemplo
.
➨
Podemos considerar dos tipos de redes de S.E.:a)
ABIERTAS.
reciben
entradas
de
clientes
procedentes
de
una
o
varias
poblaciones externas y que tienen salidas hacia el exterior;. b)
CERRADAS. No reciben entradas de poblaciones externas ni tienen salidasal exterior. Número constante de clientes circulando dentro de la red. Ejemplo.Red abierta de S.E.Ejemplo. Ssitema M/M/s/./N:
Pobl. 2
1
2
3
Pobl. 1
E xter.
1
2
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Teorema
de
Jackson.
Sea
una
red
abierta
de
S.E.
verificando
las
condiciones
para
la
descomposición
anteriores,
con
soluciones
del
sistema:
N
j
p
r^
N i
ij i
j
j^
, , 1
1
K
∑
=^
=
λ
λ^
tales que
i i i^
s
μ
λ^
⋅ <^
para todo S.E.
i=1,…,N.Entonces
cada
S.E.
se
comporta
como
una
cola
M/M/
si^
con
entradas
de
clientes
con
tasa
λ^ i
y^
que
presentará
en
estado
estacionario una distribución de probabilidades propia de las colasM/M/s
e independiente de la de los otros sistemas dentro de la
red.
1
2
1
1
21
11
1
1
N
NN
N
N
N
N
N^
p
p
p
p
p
p
r r
M
L
M
O
M
M
L
M
M
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= = =
→
=
=
=
10 10 45
(^3) / 2
(^2) / 1
2 / 1 5
10
(^123)
3
2
1
3
1
2
1
λ λ λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
=
−
− −
→
+ =
10 5 0
(^3) / 1 1 (^2) / 1
0 1 (^2) / 1
0 0
1
(^3) / 2 1 (^2) / 1
0 0 (^2) / 1
0 0 0
10 5 0
1 2 3
1 2 3
1 2 3
λ λ λ
λ λ λ
λ λ λ
Pobl. 2
1
2
3
Pobl. 1
Exter.
r=^1
r=^2
^5
Se dispone de servidores con tasaindividual de servicio
μ
= 12.
Determinar en cada nodo elnúmero mínimo de servidores deforma que la red de S.E. presenteestado estacionario. Calcular lasdemoras medias en todos los S.E.de la red
.
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MODELOS DE COLAS NO EXPONENCIALES
➨
Los
modelos
de
colas
que
se
han
visto
hasta
el
momento
estaban basados en los procesos de nacimiento y muerte. Suponían
tiempo
entre
llegadas
y
tiempo
de
servicio
de
tipo
exponencial.Las
hipótesis
pueden
resultar
inapropiadas
para
modelizar
determinadas situaciones: 1.
Las llegadas programadas a la consulta de un médico.
Las colas que se forman cíclicamente en los semáforos de lasciudades.
En el caso del servicio, si el tiempo que requiere cada cliente esmás o menos constante, por ejemplo en una cadena de montaje
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El modelo M/G/
➨
Los S.E. que responden a modelos M/G/1 son aquellos que:
Las llegadas tienen una tasa constante igual a
λ
. Los tiempos
entre llegadas al sistema son i.i.d. exponencialmente.
Los
tiempos
de
servicio
tienen
una
distribución
de
probabilidad
común
cualquiera
y^
son
mútuamente
independientes, de esperanza matemática 1/
μ^
y varianza
σ
2
El sistema de espera dispone de un único servidor:
s =1.
➨
Para
conseguir
un
estado
estacionario
es
suficiente
que
el
factor de carga del sistema
ρ
λ
/μ
<1. ρ − =
1
P^0
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➨
Caso
particular
M/M/1,
tenemos
2 2
(^1) μ
σ^
=^
y^
la
fórmula
de
Pollaczek-Khintchine se convierte en,
(^
)^
(^
)^
(^
)^
(^
) ρ ρ ρ ρ ρ
ρ
μ λ
ρ
ρ
σ λ
2 2 2 2 2 2 2 2 q L
coincidiendo con el resultado encontrado anteriormente. ➨
Caso
particular
M/E
/1:k
la
distribución
de
los
tiempos
de
servicio es Erlang de parámetros
k y
μ
= 1/E[
x ], su varianza es
kμ
2 , al aplicar la fórmula de Pollaczek-Khintchine:
(^
)^
(^
)^
(^
) ρ ρ
ρ
ρ
μ
λ
ρ
ρ
σ λ
=^
2 2 2 2 2 2 2
k k
k
L
q
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➨
En el caso M/D/1, la distribución de los tiempos de servicio esconstante, de media
μ 1
unidades de tiempo (
μ^
servicios por
unidad de tiempo) y varianza
0 2 = σ^
, la fórmula de Pollaczek-
Khintchine determina la expresión de la longitud media de lacola como,
(^
)^
(^
) ρ ρ
ρ
ρ
σ λ
−
=
−
⋅
=
1 2
1 2
2 2 2 2 q L
.
L
q^
≤^
L
q^
≤^
L
q
D
E
k^
M
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COLA G/M/
