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SECCIONES C ´ONICAS
Algebra Lineal y Geometr´ıa Anal´ıtica
F ´ORMULAS DE REFERENCIA
Circunferencia
Ecuaci´on ordinaria: (x − h)^2 + (y − k)^2 = r^2 Ecuaci´on general: x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 Centro: C
− D 2 , − E 2
Radio: r = √h^2 + k^2 − F =^12 √D^2 + E^2 − 4 F Tangente en P (x 0 , y 0 ): (x 0 − h)(x − h) + (y 0 − k)(y − k) = r^2 Condici´on de tangencia: d(C, recta) = r
Par´abola
Eje focal horizontal: (y − k)^2 = 4p(x − h) Eje focal vertical: (x − h)^2 = 4p(y − k) V´ertice: V (h, k) Foco: F (h + p, k) o F (h, k + p) Directriz: x = h − p o y = k − p Lado recto: LR = | 4 p| Ecuaci´on general: y = ax^2 + bx + c ⇒ (x − h)^2 = 4p(y − k)
Elipse
Eje mayor horizontal: (x^ − a 2 h )^2 + (y^ − b 2 k )^2 = 1 (a > b) Eje mayor vertical: (x^ − b 2 h )^2 + (y^ − a 2 k )^2 = 1 (a > b) Relaci´on: c^2 = a^2 − b^2 Focos: (h ± c, k) o (h, k ± c) V´ertices principales: (h ± a, k) o (h, k ± a) Excentricidad: e = (^) ac (0 < e < 1) Punto P interior: (x^0 a− 2 h)^2 + (y^0 − b 2 k)^2 < 1
Hip´erbola
Eje transversal horizontal: (x^ − a 2 h )^2 − (y^ − b 2 k )^2 = 1 Eje transversal vertical: (y^ − a 2 k )^2 − (x^ − b 2 h)^2 = 1 Relaci´on: c^2 = a^2 + b^2 Focos: (h ± c, k) o (h, k ± c) V´ertices: (h ± a, k) o (h, k ± a) As´ıntotas: y − k = ± ba (x − h) o y − k = ± ab (x − h) Excentricidad: e = (^) ac (e > 1) Hip´erbola equil´atera: a = b ⇒ asintotas perpendiculares
NIVEL II
Pregunta 5
Halle la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(2, 1), B(6, 1) y C(4, 5). Escriba la ecuaci´on en forma ordinaria e indique el centro y el radio.
Pregunta 6
Mediante completaci´on de cuadrados, reduzca la ecuaci´on y^2 − 8 y− 6 x+22 = 0 a su forma ordinaria. Luego determine: (a) El v´ertice, el foco y la directriz. (b) La ecuaci´on del eje focal y la longitud del lado recto.
Pregunta 7
Dada la ecuaci´on general 4 x^2 + 9y^2 − 16 x + 18y − 11 = 0: (a) Red´uzcala a la forma ordinaria completando cuadrados. (b) Identifique el centro, los semiejes, los v´ertices, los focos y la excentricidad. (c) Verifique si el punto P (1, −1) pertenece al interior, exterior o a la elipse.
Pregunta 8
Dada la ecuaci´on (y^ −^ 3)
2 36 −^
(x + 2)^2 64 = 1: (a) Identifique el centro, la orientaci´on del eje transversal, los v´ertices y los focos. (b) Determine las ecuaciones de las as´ıntotas. (c) Calcule la excentricidad y represente gr´aficamente los elementos principales.
NIVEL III
Pregunta 9
Halle las ecuaciones de las rectas tangentes trazadas desde el punto exterior P (7, 1) a la circunferen- cia x^2 + y^2 − 4 x + 6y − 12 = 0. Determine adem´as los puntos de tangencia.
Pregunta 10
Una par´abola tiene v´ertice en V (2, −3), eje focal paralelo al eje X, y pasa por el punto (0, 1). Halle: (a) La ecuaci´on ordinaria de la par´abola. (b) Las coordenadas del foco y la ecuaci´on de la directriz. (c) La longitud del lado recto y la ecuaci´on de la cuerda focal que pasa por (0, 1).
Pregunta 11
Determine la ecuaci´on de la elipse con centro en (1, −2), eje mayor horizontal, que pasa por (5, 0) y cuya excentricidad es e =^23. Escriba la ecuaci´on ordinaria y determine las coordenadas de los focos.
Pregunta 12
Halle la ecuaci´on de la hip´erbola cuyos focos son (− 2 , 5) y (− 2 , −3), y cuya diferencia de distancias a los focos es 2 a = 6. Reduzca a la forma ordinaria, determine las as´ıntotas y la excentricidad.
CLAVE DE RESPUESTAS
Pregunta P1 TipoCircunferencia Respuesta(x + 3) (^2) + (y − 5) (^2) = 16 ; Centro C(− 3 , 5), Radio r = 4 ; Puntos cardinales: N(− 3 , 9), P2 Par´abola SV´(ertice−^3 , 1)V (0, E,(1 0),^ ;5) p , W= (−− 47 , abre hacia abajo; Foco,^ 5) F (0, −4), Directriz y = 4; Lado recto LR = 16 P3 Elipse Centro (2, 4) (^) , (2C,(2 −,6) −,1) (5,, (^) −eje1) (^) , (mayor− 1 , − (^) 1)vertical;; Focos (2a, 3), (2,= − (^) 5); e (^5) = 0, b, 8 = 3 ; V´ertices P4 Hip´erbola CentroEje conjugado 6 (0, 0); V´ertices (± 4 , 0), Focos (± 5 , 0); As´ıntotas y = ± 34 x; e = 1, 25 ; Eje transversal 8, P5 P6 CircunferenciaPar´abola ((xy −− 4)4)^22 + (= 6(y −x −^52 ) 1)^2 =; V´ (^) ertice^254 ; Centro V (1, C 4)(4; Foco, 52 ) , RadioF ( 52 , 4)r =, Directriz (^52) x = − 12 ; Eje focal y = 4; P7 Elipse LR(x−^ = 62)^2 e =^9 √ 35 ;+ P^ (1(y,+1) −^4 1)^2 es interior (= 1; Centro 19
