REGRESIÓN LINEAL, Apuntes de Matemáticas

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Tema 6

Regresión lineal

Departamento de Estadística e Investigación Operativa Universitat de València

Índice

1. Descripción de la relación entre dos variables numéricas

Diagrama de dispersión

2. Coeficiente de correlación lineal
3. Recta de regresión
4. El modelo de regresión lineal
5. Inferencia sobre la pendiente
6. Otros modelos de regresión

Relación entre dos variables numéricas

EJEMPLO CASO 1: ANFETAMINA Y CONSUMO DE ALIMENTOS

La anfetamina es una sustancia que suprime el apetito. En un estudio sobre este efecto, un farmacólogo asignó aleatoriamente 24 ratas a tres grupos de tratamiento. Dos grupos recibieron una inyección de anfetamina en dos niveles diferentes (dosis 2.5 y dosis 5 mg/Kg). Las ratas del tercer grupo recibieron una inyección de solución salina. Se midió la cantidad de comida consumida por cada animal en un periodo de tres horas después de la inyección. Los resultados (gramos consumidos por Kg. de peso corporal) fueron los siguientes:

0 2.5 5. 112.6 73.3 38. 102.1 84.8 81. 90.2 67.3 57. 81.5 55.3 62. 105.6 80.7 51. 93.0 90.0 48. 106.6 75.5 42. 108.3 77.1 57. Media 100.0 75.5 55. DT 10.7 10.7 13. Número de animales 8 8 8

Dosis de anfetamina

Relación entre dos variables numéricas

EJEMPLO CASO 2: PESO Y ALTURA DE MUJERES La tabla siguiente muestra los pesos y las alturas de 9 mujeres obtenidas en una cierta farmacia de Valencia Peso (Kg) Altura (cm) 60 166 69 178 66 174 64 171 57 163 67 172 59 166 65 174 63 169 Media 63.33 170. Desviación típica 3.97 4.

Diagrama de dispersión

ANFETAMINA Y CONSUMO DE ALIMENTOS

Diagrama de dispersión

PESO Y ALTURA DE MUJERES

Coeficiente de correlación lineal

Coeficiente de correlación lineal X Y

XY

SS SS

SP

r =

 Es una medida del grado de relación lineal entre X e Y

 Independiente de las unidades

 Las variables X e Y son intercambiables

 El signo de r y SPXY es el mismo

 Valores entre -1 y 1

 -1, 1: relación lineal perfecta (decreciente o creciente respectivamente)  0: relación lineal nula

Ejemplos de correlaciones

Recta de regresión

Permite hacer estimaciones (predicciones) de Y para un valor dado de X

Recta de regresión (o de mínimos cuadrados) de Y sobre X

Y = b 0 + b 1 X

b 1 =SPXY/SS X

b 0 = y−b 1 x

Pendiente (cambio en el valor de Y por cada unidad de aumento de la X) Interceptación, ordenada en el origen

X = variable independiente o explicativa

Y = variable dependiente o explicada

SPXY, r y b 1 tienen el mismo signo

Cálculo de la recta de regresión con R

ANFETAMINA Y CONSUMO DE ALIMENTOS Estadísticos -> Ajuste de modelos -> Regresión lineal

X = Dosis, Y = Consumo

Consumo = 99.20 – 9.01 Dosis

Recta de regresión de Consumo sobre Dosis

Recta de regresión y diagrama de dispersión

PESO Y ALTURA DE MUJERES

Altura = 96.95 + 1.16 Peso

Predicciones

¿Cuál será la altura de una mujer de 62 Kg?

La recta de regresión permite hacer estimaciones (predicciones) de Y para un valor x 0 dado de X (dentro del rango en la muestra):

yˆ^ x =x 0 = b 0 +b 1 x o

yˆ (^) x= 62 yˆ^ x = 62 ≈96.95+1.16× 62 =168.87 cm.

PESO Y ALTURA DE MUJERES

Suma de cuadrados residuales

Peso Altura Predicción Residuo Residuo^2

Total 0.000000000 12.

Los residuos en R se obtienen con resid(RegModel.1 )

=

n

i

yi yi

1

SS(resid) = ( ˆ )^2 =

X

Y XY SS

SS −SP^2

La recta de regresión es la que minimiza la suma de cuadrados residual

Desviación típica residual

2

SS(resid) Desviación típica residual sY (^) | X = (^) n − (residual standard error)

Mide la desviación media (en vertical) de los puntos (xi,y (^) i) respecto de la recta de regresión

Es una medida de la variación de la variable Y dado X (suponiendo conocido el valor de X)

La desviación típica sy mide la variación de Y (sin

conocer X)