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Asignatura: Bioestadística, Profesor: Diversos Diversos, Carrera: Biologia, Universidad: UV
Tipo: Apuntes
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¡No te pierdas las partes importantes!
Se realizó un estudio para describir la relación entre la altura de los padres y de los hijos. ¿Si el Dr. Jackson mide 5 pies y10 pulgadas de alto, cuánto se espera mida su hijo?
Y (^) ¡Al aumentar la longitud aumenta el peso!
6.0 Ajuste recta mínimos cuadrados.
¿Cómo obtener una recta que se ajuste a la nube de puntos?
Para las x^ = 63 cm,^ y^ = 152 g,
ŷ = b 0 + b 1 ⋅ x con b 1^ =SXY^ / S^2 X=154.625/4.637^2 = 7,
XY X Y
S r S S
=
0
0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 ˆ
y
y b b x y b b x b b x b y b
b 0
b 1
b 1 = Pendiente de la recta. Incremento en Y cuando X incrementa en una unidad. Tasa de crecimiento. (Slope)
y ˆ 0
y ˆ 1
b1 sería, en promedio, el valor de la diferencia en la variable respuesta para dos casos que difieren en una unidad en la variable independiente X.
1 .Normalidad y varianza constante. La distribución de Y, para un valor de X, debe ser Normal. La varianza poblacional de Y condicionada a X debe ser constante. σ no depende de X.
2. Respuestas Independientes Desviación de esta hipótesis ocurre por ejemplo cuando tenemos varias observaciones del mismo individuo, los valores están correlacionados. 3. Correcta especificación del modelo Lineal. La media de Y es una función lineal de las Xs
Normalidad Homogeneidad de varianzas
Respuestas independientes
Modelo correcto
Poco grave
Grave
Muy grave
b 1
b 0
SE b ( 1 ) ts Bandas de confianza: Intervalo de confianza para la recta para un x 0
2 0 0 1 0 2,(1 /2) (^2) 1
n (^) n i i
x x b b x t α (^) n (^) x x − − σ =
∑ −
Intervalo de predicción: Intervalo de confianza para la predicción de un caso en x 0
2 0 0 1 0 2,(1 /2) (^2) 1
n (^) n i i
x x b b x t α (^) n (^) x x
=
∑ −
p-valor
x 0
Contraste de hipótesis sobre β 1 (Pendiente de la población)
En muchas investigaciones es relevante considerar que cualquier aparente tendencia de los datos es ilusoria y refleja solamente la variabilidad aleatoria.
En dichas situaciones es natural formular la hipótesis nula:
b 1
1 SE
b
Para medir la bondad del ajuste lineal podemos calcular la correlación entre los valores observados de y , y la predicción ŷ. El coeficiente de determinación R^2 =correlación^2 ( y, ŷ ), valor entre 0 y 1 En caso de regresión lineal simple (como la vista) R^2 =correlación^2 ( y, x )= r^2
Dado el posible cálculo de R^2 como
R^2 se suele referenciar como el porcentaje de la varianza de Y que explica la regresión.
Para el ajuste de las serpientes: r=0.94 R^2 =0.8 9 , 89 % de la varianza del peso de la serpiente se explica por el conocimiento de su longitud.
2 2 (^2 1 ) 2 2 1 1
n n i i i i Regresión i Resi Y
dual n i i i
Y
n
i
y y y y R y y y y
= =
= =
∑ ∑
∑ ∑
Bondad de ajuste: Coeficiente de Determinación R 2.
y
( y^ ˆ i − y )
( yi −^ ˆ y ) ( yi − y )
Longitud
Peso
El R cuadrado corregido tiene en cuenta el tamaño del conjunto de datos, y su valor es ligeramente inferior al de su correspondiente R 2
2 2 1 2 1
( ˆ ) ( º variables 1)
n i i corregido (^) n i i
y y n n X R y y n
=
=
∑
∑
En regresión simple nºvariablesX=
Inspeccionamos la Gráficas de Residuos versus los valores predichos en donde se aprecian distintos patrones:
Patrón correcto.
No homocedasticidad, tendencia a incrementar la varianza conforme la variable independiente aumenta.
No homocedasticidad tendencia a incrementar la varianza para valores centrales de la variable independiente.
No linealidad. Subestimación para valores pequeños y grandes de la variable independiente. Sobreestimación para valores centrales.
Linealidad y Homocedasticidad
Uso de Transformaciones
Si las suposiciones de linealidad, homocedasticidad o normalidad fallan, a veces un remedio consiste en transformar los datos mediante un cambio de escala que puede afectar a X, Y o a ambas variables.
EJEMPLO. CRECIMIENTO DE LAS PLANTAS DE SOJA. Un botánico plantó 60 brotes de soja. A los 12 días de crecimiento recolectó 12 plantas y las pesó después de secarlas. Repitió la experiencia a los 23, 27, 31 y 34 días de crecimiento. X: Días de crecimiento Y: Peso de una planta seca (gr)
Transformamos (X,Y) (X, Log(Y))
Tema 6.- Regresión Lineal. (^19)
2 2
1
n i i i xy
xy
x y
∑ (^) ( x − x )( y − y )
( x − x )( y − y )
( x − x )( y − y )
( x − x )( y − y )
26/04/
El coeficiente de correlación muestral, lo denotamos con la letra r, mide la fuerza de la relación lineal observada en la muestra. Del Tema 1 tenemos:
Correlación Covarianza
XY X Y
σ ρ = σ ⋅ σ
Coeficiente de correlación poblacional:
Covarianza poblacional.
Desviaciones típicas poblacionales
Cuanto mayor sea la variación de los puntos en torno a la recta, la correlación tenderá a cero.
Cuando dos variables son estadísticamente independientes, presentan una dispersión conjunta como la mostrada en la figura (d), siendo la correlación de cero.
¿Será cierta la implicación contraria?
