Regresión Lineal: Calculando la Recta de Regresión para Predicir Valores Dependientes, Diapositivas de Estadística Social

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Tema: REGRESION LINEAL

Universidad Nacional Aut´onoma de Honduras

Introducci´on

Anteriormente establecimos la importancia del an´alisis de dos variables en forma conjunta, para lo cual se hace la representaci´on gr´afica de la nube de puntos de los pares ordenados (X, Y) correspondientes a las puntuaciones de ambas variables; en la nube de puntos se puede observar si existe un patr´on de comportamiento lineal y el coeficiente de correlaci´on de Pearson mide el grado de correlaci´on entre las variables. La regresi´on es un procedimiento utilizado en estad´ıstica para estimar los valores de la variable dependiente a partir de los valores de la variable independiente; para lo cual se calcula la ecuaci´on de la recta de regresi´on, que es la recta que mejor se ajusta a la nube de puntos. La regresi´on es la predicci´on del valor de una variable (dependiente) conociendo el valor de la otra variable (independiente); por ejemplo, si tenemos las variables talla y peso de un ni˜no al nacer, mediante la regresi´on se puede predecir cu´al es el peso de un ni˜no si se conoce la talla, en este caso se supone una relaci´on entre las variables talla y peso de manera que el peso depende de la talla.

Recta de regresi´on

Recta de Regresi´on: se llama recta de regresi´on a la recta de mejor ajuste a la nube de puntos (X, Y) de un diagrama de dispersi´on, donde X es la variable independiente e Y es la variable dependiente. Recordemos que cualquier l´ınea recta se describe mediante una ecuaci´on de la forma:

Y = a + bX

Donde a y b son los par´ametros de la recta. Consecuentemente para determinar la ecuaci´on de la recta de regresi´on, ser´a necesario calcular los valores de a y b que se denominan estad´ısticos o coeficientes de regresi´on.

Relaci´on entre regresi´on y correlaci´on

La correlaci´on de un conjunto de puntos se cuantifica con el coeficiente de correlaci´on. Para esto calculamos el coeficiente de correlaci´on “r” de Pearson que mide la estrechez del ajuste de las coordenadas (X, Y) con respecto a la Recta de Regresi´on. En ese sentido entre m´as alto sea el valor de “r” mejor es el ajuste de los puntos a la recta y las estimaciones obtenidas son buenas.

Ejemplo 1

Considere los siguientes datos sobre la edad en a˜nos (X) y la talla en cent´ımetros (Y) de doce ni˜nos o adolescentes en un centro de salud:

Tenemos que: ∑

∑ x^ = 137 ∑ y^ = 1,^701 ∑ x^2 = 1,^829 ∑ y^2 = 248,^373 xy = 20, 777 Verifique que el coeficiente de correlaci´on entre estas variables es de 0.97892.Correlaci´on alta

Ejemplo 1

Sustituyendo esos valores en las sumatorias

b = n^

xy −

x

y n

x^2 − (

x)^2

b =

12(1, 829) − (137)^2

b =

b =

b=5.

Ejemplo 1

En el plano cartesiano se veria asi

Ejemplo 1

Conociendo la ecuaci´on de la recta:

Y = 83.26 + 5. 123 X

Que es equivalente a: T alla = 83.26 + 5. 123 Edad

Se puede utilizar esta ecuaci´on para predecir un valor de la variable dependiente (Talla), conociendo un valor de la variable independiente (Edad) Por ejemplo, si la edad es 6 a˜nos, La talla estimada es:

T alla = 83.26 + 5. 123 Edad T alla = 83.26 + 5.123(6) T alla = 83.26 + 30. 738 T alla = 113. 998 cms.

Notar que, en la tabla de datos recolectados (observados), el valor correspondiente para la edad de 6 a˜nos es 110, por lo que el error de estimaci´on es 113.998 – 110 = 3.998 cms. Usted puede ahora verificar que por ejemplo, para un ni˜no de 8 a˜nos, la talla estimada es 124.24 cms.

Ejemplo 2

El gr´afico de dispersi´on es el siguiente

Como ya sabiamos la relaci´on es inversa por lo tanto la recta de regresi´on es decreciente los valores de X aumenta y los de Y disminuyen , puede usted observar que el ajuste es bueno y alli mismo se le presenta la ecuaci´on de la recta de regresi´on

Ejemplo 2

Ahora como ya vimos que el valor de r es alto podemos hacer predicciones que ser´an v´alidas para nuestro conjunto de datos Tenemos adem´as que a = 5.8837 y b = − 0 .3605 y luego Y = 5. 8837 − 0. 3605 X N´umero de errores cometidos=5.8837-0.3605(Tiempo de realizaci´on) a. Si un ni˜no invierte 8 minutos en realizar la prueba .¿Cu´antos errores se esperar´ıa que cometa? Desarrollo N´umero de errores cometidos=5.8837-0.3605(Tiempo de realizaci´on) N´umero de errores cometidos=5.8837-0.3605(8) N´umero de errores cometidos=5.8837-2. N´umero de errores cometidos=2.

Si el ni˜no invierte 8 minutos se esperaria que cometa 3 errores aproximadamente

Algunos ejemplos m´as:

Ejemplo 1 Ejemplo 2 Ejemplo 3