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REGRESION LINEAL SIMPLE
La Regresión Lineal es una técnica paramétrica utilizada para predecir variables continuas, dependientes, dado un conjunto de variables independientes. Es de naturaleza paramétrica porque hace ciertas suposiciones basadas en el conjunto de datos. Si el conjunto de datos sigue esas suposiciones, la regresión arroja resultados increíbles, de lo contrario, tiene dificultades para proporcionar una precisión convincente. Matemáticamente, la regresión usa una función lineal para aproximar o predecir la variable dependiente dada como: Dónde: y – es la variable dependiente o la variable a predecir. x – es la variable independiente o la variable que usamos para hacer una predicción. a – es la pendiente o el valor que debe ser determinado, se le conoce como coeficiente y es una especie de magnitud de cambio que pasa por y cuando x cambia. b – es la constante que debe ser determinada, se le conoce como intercepto porque cuando x es igual a 0 , entonces y = b. Esta es la ecuación de Regresión Lineal Simple. Se llama simple porque solo hay una variable independiente involucrada, que vendría siendo “x”.
El objetivo con Regresión Lineal Simple es minimizar la distancia vertical entre todos los datos y nuestra línea, por lo tanto, para determinar la mejor línea, debemos minimizar la distancia entre todos los puntos y la distancia de nuestra línea. Existen muchos métodos para cumplir con este objetivo, pero todos estos métodos tienen un solo objetivo que es el de minimizar la distancia. Método de los mínimos cuadrados Es un procedimiento de análisis numérico en la que, dados un conjunto de datos (pares ordenados y familia de funciones), se intenta determinar la función continua que mejor se aproxime a los datos (línea de regresión o la línea de mejor ajuste), proporcionando una demostración visual de la relación entre los puntos de los mismos. Definición: Su expresión general se basa en la ecuación de una recta y = mx + b. Donde m es la pendiente y b el punto de corte, y vienen expresadas de la siguiente manera: Σ es el símbolo sumatoria de todos los términos, mientas (x, y) son los datos en estudio y n la cantidad de datos que existen, donde n es el número total de puntos de los datos. donde son las medias de las coordenadas de x e y de los puntos de datos respectivamente. Pasos para encontrar la ecuación de la recta que mejor se ajusta. Paso 1: Calcule la media de los valores de x y la media de los valores de y. Paso 2 : Realice la suma de los cuadrados de los valores de x. Paso 3 : Realice la suma de cada valor de x multiplicado por su valor correspondiente y. Paso 4 : Calcule la pendiente de la recta usando la fórmula: donde n es el número total de puntos de los datos. Paso< 5: Calcule la intercepción en y de la recta usando la fórmula: Donde son las medias de las coordenadas de x e y de los puntos de datos respectivamente. Paso 6 : Use la pendiente y la intercepción en y para formar la ecuación de la recta.
Calcule la pendiente. Calcule la intercepción en y. Primero, calcule la media de los valores de x y la media de los valores de y. Use la fórmula para calcular la intercepción en y. Use la pendiente y la intercepción en y para formar la ecuación de la recta que mejor se ajusta. La pendiente de la recta es -1.1 y la intercepción en y es 14.0.
Por lo tanto, la ecuación es: y = mx + b; y = -1.1 x + 14.0.
Dibuje la recta en la gráfica de dispersión.
Coeficiente de correlación lineal El coeficiente de correlación lineal es el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones
típicas de ambas variables. El coeficiente de correlación lineal se representa mediante la letra r.
El análisis de correlación lineal simple se usa para determinar la dirección y la magnitud entre dos variables cuantitativas que están en relación. La dirección de la relación se refiere a si ésta es positiva o negativa. Interpretación El valor del índice de correlación varía en el intervalo [-1,1], indicando el signo el sentido de la relación: Si r = 1 , existe una correlación positiva perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables denominada relación directa : cuando una de ellas aumenta, la otra también lo hace en proporción constante. Si 0 < r < 1 , existe una correlación positiva. Si r = 0 , no existe relación lineal. Pero esto no necesariamente implica que las variables son independientes: pueden existir todavía relaciones no lineales entre las dos variables. Si -1 < r < 0 , existe una correlación negativa. Si r = -1 , existe una correlación negativa perfecta. El índice indica una dependencia total entre las dos variables llamada relación inversa: cuando una de ellas aumenta, la otra disminuye en proporción constante. En la interpretación clásica del coeficiente de correlación se deduce, por ejemplo, que si: a) 0 ≤ r < 0,20, la correlación es muy baja. b) 0,20 ≤ r < 0, 40, existe una correlación baja. c) 0, 40 ≤ r < 0,70, existe una moderada correlación positiva. d) 0,70 ≤ r <1,00, existe de moderada a buena correlación positiva. e) r = 1, 00, existe una perfecta correlación positiva. f) -1,0 ≤ r < -0,70, existe de moderada a buena correlación inversa. g) r = -1,00 , existe una perfecta correlación inversa.
Tabla 3 Puntuaciones en Literatura y en Matemática de un grupo de alumnos
n x y x.y x
2
y
2
Σx = 413 Σy=177 Σxy=8081 Σ x^2 = 26369 Σy^2 = 4869 Calculo de la pendiente = - 0,
m= - 0,
Calculo de la media de los valores de x , y la media de los valores de y. 22,125 + 0,21 * 51,625 = 32,
b = 32,
Por lo tanto, la ecuación es: y = mx + b;
y = - 0,21 x + 32,
Calculo de la correlación.
Si r = 1 , existe una correlación positiva perfecta
Ejercicios
Se desea saber el grado de relación entre los años de escolaridad de la madre ( X ) y las calificaciones de sus hijos en una prueba de Matemática ( Y ). Los datos se presentan en la siguiente tabla. Años de escolaridad de la madre y calificaciones de sus hijos en una prueba de Matemática Determinar la ecuación de regresión lineal y la correlación lineal.
