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PARTICIONES Y SUMAS DE RIEMANN
DEFINICIÓN: Sea 〔 a,b 〔 , un intervalo cerrado en a > b; el conjunto de números
⊂ 〔 a,b 〔 , es denominado una partición de 〔 a,b 〔 , si:
Y se le denota por:
Esta partición determina una división del intervalo 〔 a,b 〔 en “n” sub intervalos de la forma
, ; a la longitud de cada sub intervalo se le denota por:
;
i i n
x , x , x ,..., x , x ,...., x
0 1 2 1
a x x x x x x b i i n
... .... 0 1 2 1
P^ ^ x x x ^ ^ x i n n i
, ,..., / 0 , 1 , 2 ,...., 0 1
0
a x x 1^
2
x i 1
x
i
x
n
b x
i i
x , x
1 i^ ^1 , n
1
i i i
Ax x x i 1 , n
PARTICIONES Y SUMAS DE RIEMANN
Cuando estas longitudes tienen la misma medida:
;
Se dice que la PARTICIÓN ES REGULAR, y en tal caso:
POR EJEMPLO:
n
b a
x x x i i i
1
i 1 , n
i n
n
b a
x a i i ;^ ^0 ,
b
n
b a x a n
n
b a x a
n
b a x a a x a
n
^
2
0 1
PARTICIONES Y SUMAS DE RIEMANN
Y la norma de la partición es
DEFINICIÓN: Si, y
Son dos particiones de 〔 a,b 〔 , tales que P ⊂ P ′ es decir que este punto de intersección Xi de P es
también un punto de P ′ entonces a la parctición “P ′ “ se le llama un REFINAMIENTO de la
partición “P”
EJEMPLO: Dado el intervalo 〔 1,2 〔 , la partición:
Su refinamiento es:
Pues P ⊂ P ′
además
P ⊂ P ′ ⊂ P ′′
0
a x x 1^
2
x i ^1
x
i
x
n
b x
n
b a
n
b a P
( )
P x i n i
/ 0 , P x i m i
/ 0 ,
, 2 2
3 , 1 , 2
1 P 0 ,
(^) , 2
4
7 , 2
3 , 4
5 , 1 , 4
3 , 2
1 , 4
1 P 0 ,
4
1
2
1
P
P
(^) , 2
4
7 , 2
3 , 4
5 , 1 , 4
3 , 2
1 , 4
1 P 0 ,
4
1 P
Rusel Aquino
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
Sí Y=f(x) es una FUNCIÓN ACOTADA sobre el intervalo 〔 a,b 〔 , es decir existen dos números
m y M tales que:
Entonces dada una partición de 〔 a,b 〔 se define el número (para
).
El supremo (o mayor cota superior) de los valores de la función (supremos de las imágenes) sobre el
intervalo ; y se define el número.
El ínfimo (o mayor cota inferior) de los valores de la función “f” sobre el intervalo
m f ( x ) M , x a , b
P x i n
i / 0 , 1 , 2 ,..,
i i , n
i i i
M ( f ) sup f ( x )/ x x , x
1
i i
x , x 1
m f f x x x x i n
i i i
( ) inf ( )/ , , 1 ,
1
i i
x , x
1
Rusel Aquino
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
EJEMPLO: Dada la función y la
partición entonces:
( ) 3 , 0 , 3
2 f x x x
, 3 , 4 2
5 , 2 , 4
7 , 2
3 , 1 , 2
1 0 ,
P
2
1 3
4
Y
X
2
2
1
2
5
4
7
2
3
, 3 2
5 , 2 , 4
7 , 2
3 , 1 , 2
1 P 0 ,
,,,,,,,
0 1 2 3 4 5 6 7
x x x x x x x x
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
1 0 1
M ( f )sup f ( x )/ x x , x
sup 3 ,
2
sup 3 / 0 , 1
2
x x M f
inf 3 ,
2
( ) inf 3 / 0 , 1
2
1
m f x x m f
2 1 2
M ( f )sup f ( x )/ x x , x
, 1 sup
2
sup 3 / 2
2
x x M f
, 1 inf
2
( ) inf 3 / 2
2
2
m f x x m f
, 3 sup
2
( ) sup 3 / 7
2 7
M f x x M f
, 3 inf
2
( ) inf 3 / 7
2
7
m f x x m f
Rusel Aquino
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
1
Y
(^2) X 2
1
2
0 3
16
9 ( ) 3 m f
( ) 1 3 M f
2 f ( x ) x
0 x
1 x x^ 2
3 x 4 x
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
DEFINICIÓN: Dada la función “f” acotada sobre 〔 a,b 〔 entonces existen y
para cada i=1,2,3,…,n , tal que:
Correspondiente a la PARTICION de 〔 a,b 〔 se define la suma
superior de “f” correspondiente a la PARTICION “P” del intervalo 〔 a,b 〔 al número.
Y la suma inferior de “f” correspondiente a la PARTCION “P” de 〔 a,b 〔 al número.
A AMBAS SUMAS SE LES DENOMINA SUMAS DE RIEMANN
M ( f )
i
m ( f )
i
m m f x M f M i i
( ) ( )
P x i n i
i
n
i
i i i
n
i
U f p M i f x x M f x
1
1 1
( , ) ( )( ) ( )
i
n
i
i i i
n
i
i L f p (^) m f x x m f x
1
1 1
( , ) ( )( ) ( )
i
n
i
i i i
n
i
i U f p M f x x M f x
1
1 1
( , ) ( )( ) ( )
i
n
i
i i i
n
i
i L f p m f x x m f x
1
1 1
( , ) ( )( ) ( )
SUMAS SUPERIORES Y SUMAS INFERIORES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE RIEMANN:
1.-
2.- Si P´ es un refinamiento de P, es decir P c P´ entonces
Por confinamiento P´ más puntos que la partición P.
cuando se añaden
puntos a una partición
las sumas inferiores
aumentan su valor.
m ( b a ) L ( f , p ) U ( f , p ) M ( b a )
L ( f , p ) L ( f , p ) U ( f , p ) U ( f , p )
0 x 1 x x 2^ x 3^ n x 0 x x 1^ x^ 2 x 3^ n x r q
LA INTEGRAL DEFINIDA
A los valores supremos e ínfimo se les denota de una forma especial
Por ser muy importantes:
TPP: El conjunto de todas las particiones posibles P de un intervalo [a, b]
LA INTEGRAL DEFINIDA
Y en tal caso, a este valor común se le llama La Integral DEFINIDA (De RIEMANN) y se le Denota
por:
Otra denotación es:
NOTA: El símbolo “x” de la igualdad anterior es un símbolo mudo o variable muda y puede
ser reemplazado por cualquier otro valor conveniente.
LA INTEGRAL DEFINIDA
LA INTEGRAL DEFINIDA
