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EconometrÌa, curso 2011/ Grado en EstadÌstica Empresarial // Grado en AdministraciÛn y DirecciÛn de Empresas (Elche)
RelaciÛn 1
COMPLEMENTOS DE TEORÕA
Manteniendo la notaciÛn del tema 1, en los siguientes ejercicios se considera el modelo de regresiÛn lineal simple yi = 0 + 1 xi +"i; i = 1; :::; k; bajo las hipÛtesis: E ("i) = 0 para todo i = 1; 2 ; :::; k; V ar ("i) = ^2 ; para todo i = 1; 2 ; :::; k (homocedasticidad), "i sigue una distribuciÛn normal para i = 1; 2 ; :::; k (normalidad) y para cualesquiera Ìndices i 6 = j las variables (errores) "i y "j son independientes (independencia). Recordemos adem·s la notaciÛn siguiente: b 0 y b 1 representan a los estimadores de 0 y^1 ;^ y^ ybi^ =^ b 0 +^ b 1 xi: 1.- a) Demostrar que los valores de los par·metros 0 y 1 que minimizan X^ k i=
(yi ( 0 + 1 xi))^2
est·n dados por
b 1 = Sxy S^2 x^ ;^ donde^ Sxy^ =
X^ k i=
(xi x) (yi x)
k =
X^ k i=
xiyi
k ^ xy y b 0 = y b 1 x:
Por este motivo, b 0 y b 1 se conocen con los estimadores de 0 y 1 por el mÈtodo de los mÌnimos cuadrados. b) øSe ha empleado en la demostraciÛn alguna de las cuatro hipÛtesis b·sicas del modelo de regresiÛn?
2.- Demostrar que los estimadores b 0 y b 1 introducidos en el ejercicio anterior tienen la propiedad de ser los estimadores de m·xima verosimilitud para los correspon- dientes par·metros. IndicaciÛn: bajo las hipÛtesis del modelo, se tiene que yi N ( 0 + 1 xi; ^2 ) para todo i; asÌ pues, la funciÛn de verosimilitud correspondiente (te- niendo en cuenta la hipÛtesis de independencia) quedarÌa:
L ( 0 ; 1 ) =
Y^ k i=
p^1 2
e ^
(yi ( 0 +^1 xi))^2 2 ^2 ;
adem·s, maximizar esta funciÛn es equivalente, en el sentido de que tienen las mismas soluciones, a maximizar su logaritmo. En deÖnitiva se trata de maximizar log L ( 0 ; 1 ) ; esto es,
Maximizar k log
p^1 2
X^ k i=
(yi^ ^ (^0 +^1 xi))
2 2 ^2 :
Finalmente, hemos de comprobar que la soluciÛn Ûptima del problema anterior (el m·ximo de la funciÛn log L ( 0 ; 1 )) coincide con b 0 y b 1 obtenidos en el ejercicio anterior.
3.- Demostrar la siguiente igualdad:
X^ k i=
(yi y)^2 | {z } SST
X^ k i=
(yi ybi)^2 | {z } SSE
X^ k i=
(byi y)^2 | {z } SSR
4.- Comprobar que el estadÌstico F = M SRM SE = (^) SSE=SSR(k 2) de la tabla ANOVA coincide
con el estadÌstico t =
pk(b 1 )Sx S^ b"^ del contraste H 0 : 1 = 0 H 1 : 1 6 = 0:
IndicaciÛn: NÛtese que Sb" =
qPk i=1 k( yi 2 ybi)^2 =
q SSE k 2 y por tanto^ t^2 =^
kb^21 S x^2 S^ b "^2 =^
kb^21 S x^2 SSE=(k 2) :
5.- Siendo R^2 el coeÖciente de determinaciÛn, R^2 = SSRSST ; comprobar las igualdades
R = b 1 S Sx y
= (^) SSxy xSy
(estimaciÛn del coeÖciente de correlaciÛn lineal).
øEntre quÈ valores se encuentra el coeÖciente de correlaciÛn lineal?
CUESTIONES
1.- Si la pendiente estimada de la recta de regresiÛn es 0 : 4 , øpuede ser el coeÖciente de correlaciÛn igual a 0.7?
2.- Supongamos conocida la recta de regresiÛn, Y = 2 + 0: 7 X; y supongamos que sabemos que Sx = 2 y Sy = 1: 5 ; øquÈ valor toma el coeÖciente de correlaciÛn? øy el de determinaciÛn? InterprÈtese el valor de este ˙ltimo.
3.- øEn cu·l de las dos situaciones siguientes se tiene un mejor ajuste lineal? SITUACI”N 1: la del ejercicio anterior; SITUACI”N 2: consideremos la recta de regresiÛn T = 2 8 Z
c) Obtener la desviaciÛn tÌpica residual. d) øEntre quÈ valores se encuentran la ordenada en el origen y la pendiente de la recta de regresiÛn (poblacionales) con una probabilidad del de 95%? e) øPuede aceptarse la hipÛtesis de que existe relaciÛn lineal entre el n˙mero de faltas y la temperatura diaria?
2.- En Önanzas, es de interÈs observar la relaciÛn entre el rendimiento promedio de las acciones y el rendimiento global del mercado. El coeÖciente de la pendiente calculada por una regresiÛn lineal se conoce como beta de las acciones por los analistas inversores. Una beta mayor que 1 indica que la acciÛn es relativamente sensible a cambios en el mercado, mientras que una beta menor que 1 indica que la acciÛn es relativamente insensible. La siguiente tabla presenta los rendimientos promedio de la acciones (A) y global del mercado (M) de una determinada muestra :
A 10 12 8 15 9 11 9 10 13 11 M 11 15 3 18 10 12 6 7 18 13
Se pide: a) Calcula la beta correspondiente e indicar si es signiÖcativamente sensible o insensible (con un nivel de conÖanza del 99%). b) Representar gr·Öcamente la nube de puntos y la recta de regresiÛn. c) Obtener el coeÖciente de determinaciÛn y comentar el ajuste de dicha recta de regresiÛn.
