MATEM ´
ATICAS EMPRESARIALES 1
Diplomatura en Ciencias Empresariales
Relaci´
on de Ejercicios N◦3
Curso 2009/10
1. Sea la funci´
on f(x) = 1
4x4−1
3x3−3x2+8.
a) Halle sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
b) Encuentre sus m´
aximos y m´
ınimos relativos.
c) Esboce la gr´
afica de la funci´
on.
Sol.- a) La funci´
on crece en (−2,0)y en (3,+∞). Decrece en (−∞,−2)y en (0,3). b) El punto (0,8)es
un m´
aximo relativo. Los puntos (−2,8
3)y(3,−31
4)son m´
ınimos relativos.
2. Halle los puntos de inflexi´
on y los intervalos de convexidad y concavidad para f(x) = x4
2−x3+5.
Sol.- La funci´
on es convexa en (−∞,0)y en (1,+∞). Es c´
oncava en (0,1). Los puntos de inflexi´
on son
(0,5)y(1,9
2).
3. Estudie la concavidad o convexidad de la funci´
on de producci´
on Y(K) = AKadonde A>0 y 0 <a<1,
definida para todo K>0.
Sol.- La funci´
on Y(K)es (estrictamente) convexa en su dominio, (0,+∞).
4. La funci´
on de costes de una empresa que produce un bien en cantidad xes C(x) = ex2−5x+4.
a) Determine el dominio matem´
atico y el dominio econ´
omico de esta funci´
on.
b) Analice el crecimiento y decrecimiento de la misma en su dominio econ´
omico.
c) ¿Para qu´
e nivel de producci´
on es m´
ınimo el coste de la empresa? ¿Cu´
al es este coste m´
ınimo?
Sol. a) El dominio maximal es Ry el dominio econ´
omico es [0,+∞). b) En (0,5/2)la funci´
on es
(estrictamente) creciente y en (5/2),+∞)es (estrictamente) decreciente. c) En x=5/2 se alcanza un
m´
ınimo global. El coste m´
ınimo es C(5/2) = e−9
4'0,1054.
5. Estudie la curvatura y los puntos de inflexi´
on de la funci´
on f(x) = x3
(x+1)2.
Sol.- Es c´
oncava en (−∞,−1)y en (−1,0). Es convexa en (0,+∞). El punto (0,0)es de inflexi´
on.
6. Represente gr´
aficamente las siguientes funciones
a) f(x) = x ex,b) f(x) = xLn(x),c) f(x) = 1−x
x2
7. Halle el m´
aximo y el m´
ınimo de cada funci´
on en el intervalo indicado:
a)f(x) = −2x−1 en [0,3]
b)f(x) = x3−3x+8 en [−1,2]
c)f(x) = x2+1
xen [1
2,2]
d)f(x) = x5−5x3en [−1,√5]
Sol.- a) El valor m´
aximo es −1 y se alcanza en x=0. El valor m´
ınimo es −7 y se alcanza en x=3.
b) El valor m´
aximo es 10 y se alcanza en x=−1yx=2. El valor m´
ınimo es 6 y se alcanza en x=1.
c) El valor m´
aximo es 5/2 y se alcanza en x=1/2 y en x=2. El valor m´
ınimo es 2 y se alcanza en x=1.
d) El valor m´
aximo es 4 y se alcanza en x=−1. El valor m´
ınimo es −6√3 y se alcanza en x=√3.
