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Matemáticas para las Biociencias. Curso 2019-
Fernando Castañeda.
1. Resumen 3
1.1. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
En este apartado precisamos las definiciones y presentamos los resultados princi- pales correspondientes al estudio local de una función.
1.1.1. Definiciones
Decimos que una función f es estrictamente creciente en un intervalo [a, b] si, para todo par de valores u, v ∈ [a, b], con u < v, se verifica que
f (u) < f (v) (1) Si la desigualdad (5) se sustituye por f (u) ≤ f (v), f (u) ≥ f (v) o f (u) > f (v), entonces decimos que la función es, respectivamente, creciente, decreciente, estricta- mente decreciente. Decimos que una función f tiene en el punto a un máximo local, también se de- nomina máximo relativo, si existe un ρ > 0 tal que para todo x ∈ (a − ρ, a + ρ) se verifica que f (x) ≤ f (a). Decimos que tiene un mínimo local o relativo si existe un ρ > 0 tal que para todo x ∈ (a − ρ, a + ρ) se verifica que f (x) ≥ f (a). Decimos que una función f es convexa en un intervalo [a, b], cuando para todo t ∈ [0, 1] y para todo par de valores u, v ∈ [a, b], con u < v, se cumple que:
f [(1 − t)u + tv] ≤ (1 − t)f (u) + tf (v) (2)
a u^ v b
Figura 1: Una función convexa
Si la desigualdad (2) se sustituye por f [(1 − t)u + tv] ≥ (1 − t)f (u) + tf (v), entonces se dice que la función es cón- cava en dicho intervalo. En sentido geométrico, la condi- ción (2) significa que la recta que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función, en ese intervalo, está por en- cima de la curva (convexa). En la Figura 1 se puede ver un ejem- plo de función convexa. Decimos que una función f tiene un punto de inflexión en a si es convexa a la izquierda del punto y cóncava a la derecha, o al reves; es decir, si existe un ρ > 0 tal que en el intervalo (a − ρ, a) la función es convexa y en el (a, a+ρ) es cóncava, o en el primero cóncava y en el segundo convexa.
inflexión
Figura 2: Un punto de inflexión
En la Figura 2 se puede ver que ocu- rre en un entorno de un punto de infle- xión. Si trazamos la recta vertical x = a que pasa por ese punto y la recta tangen- te a la curva en este punto y = f (a) + f ′(a)(x−a), estas rectas dividen el plano en cuatro regiones: dos a la izquierda de la recta vertical y dos a la derecha; dos por encima de la tangente y dos por de- bajo. Pues bien, en (a, f (a)) la curva tie- ne un punto de inflexión si entra por una de las regiones (en el dibujo entra por la izquierda y abajo) y sale por la opuesta (derecha y arriba). El otro caso sería en- trar por la izquierda y arriba y salir por la derecha y abajo. La recta tangente puede tener pendiente (valor de f ′(a)) negativa (como en el dibujo) o positiva o, claro, también cero.
1.1.2. Resultados principales
En este apartado presentamos los principales resultados relacionados con las deri- vadas de funciones de una variable real.
Teorema 1 Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto. El recíproco no es cierto. Por ejemplo, la fución f (x) = |x| es continua, pero no es derivable, en el punto x = 0.
Teorema 2 (Fermat). Si una función f tiene un extremo local (máximo o mínimo) en un punto a y es derivable en dicho punto, entonces f ′(a) = 0. Si una función no es derivable en un punto, puede tener un extremo en ese punto. Entonces, claro, la derivada no es cero (¡no existe!). Por ejemplo, la función f (x) = |x| tiene un mínimo en x = 0. En dicho punto la función no tiene derivada (las derivadas laterales son distintas).
Teorema 3 (Rolle). Sea f una función continua en el intervalo [a, b], derivable en (a, b) y tal que f (a) = f (b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. Este teorema se puede interpretar en el sentido siguiente: si una función verifica las hipótesis del teorema en un intervalo [a, b], entonces existe un punto donde la tangente a la curva es horizontal (pendiente cero). Atención: El teorema no dice que el punto sea único (pueden existir varios); tam- poco proporciona un método para encontrar dicho punto.
Teorema 4 (del valor medio). Sea f una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b). Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que
f (b) − f (a) b − a
= f ′(c)
En las mismas condiciones, si se verifica que f ′(t) ≥ 0 para todo t ∈ (a − δ, a) y que f ′(t) ≤ 0 para todo t ∈ (a, a + δ), entonces la función f tiene un máximo local en el punto a. Observemos que el teorema anterior se puede aplicar aunque la función no sea derivable en el punto, como se pone de manifiesto a continuación.
1.1.4. Ejemplo
Determinar los extremos de la función f (x) = |x| − x^2 en el intervalo [− 1 , 1]. La función f se escribe
f (x) =
−x − x^2 si x ∈ [− 1 , 0] x − x^2 si x ∈ (0, 1]
y es continua en todo el intervalo. Su derivada se puede escribir:
f ′(x) =
− 1 − 2 x si x ∈ (− 1 , 0) 1 − 2 x si x ∈ (0, 1)
La función no es derivable en el punto x = 0 (la gráfica pincha) ya que las derivadas laterales en ese punto son distintas.
Figura 3: Máximos y mínimos
Sin embargo, se puede aplicar el teo- rema 6 y resulta que la función tiene un mínimo local en x = 0, ya que existen un intervalo a la izquierda de 0 en el que la derivada es negativa y otro a la dere- cha en el que es positiva. En los pun- tos x = − 1 / 2 y x = 1/ 2 también se aplica el teorema, además en estos casos sí que es derivable la función y ésta, la derivada, vale 0 (claro), la función tie- ne máximos locales. También tiene míni- mos locales en los extremos del intervalo [− 1 , 1]. En la Figura 3 se pueden visualizar todas estas cuestiones.
Teorema 7 (Criterio de la segunda derivada). Sea f una función dos veces derivable en un intervalo que contiene al punto a. Si se verifica que:
f ′(a) = 0 , f ′′(a) < 0
entonces f tiene un máximo local en el punto a. En las mismas condiciones, si se verifica que:
f ′(a) = 0 , f ′′(a) > 0
entonces f tiene un mínimo local en el punto a. Si la derivada segunda es cero, entonces puede ocurrir cualquier cosa, ya que podrá haber extremo o no, y hay que seguir trabajando; en su caso, habrá que considerar
derivadas de orden superior. Por ejemplo, podemos considerar lo que le ocurre en x = 0 a la función f (x) = −x^4 + 16. En cuanto al estudio de los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión, tenemos el siguiente resultado:
Teorema 8 Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces f es convexa en (a, b) si y sólo si su derivada f ′^ es creciente en dicho intervalo. De la misma manera, f es cóncava si y sólo si f ′^ es decreciente. Teniendo en cuenta el resultado anterior y el teorema 5, si una función es dos veces derivable, sus intervalos de concavidad se pueden determinar estudiando el signo de su derivada segunda.
1.1.5. Ejemplo
Estudiar los intervalos de crecimiento, extremos, intervalos de concavidad y puntos de inflexión de la función f (x) = x^3 + 2x^2 − 7 x + 2.
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Figura 4: Gráfica de una cúbica
La función f tiene derivada de todos los órdenes, luego podemos utilizar to- dos los teoremas anteriores. Sus deriva- das primera y segunda son:
f ′(x) = 3x^2 +4x− 7 , f ′′(x) = 6x+
La derivada primera se anula en x = − 7 / 3 y en x = 1. Es negativa en el inter- valo (− 7 / 3 , 1) y es positiva en el resto, R − [− 7 / 3 , 1]. (La gráfica de f ′^ es una parábola). La derivada segunda se anula en x = − 2 / 3 y es negativa si x < − 2 / 3 y positiva si x > − 2 / 3. (La gráfica de f ′′^ es una recta). En la Figura 4 se pueden ver los intervalos de crecimiento, los extremos, los inter- valos de concavidad y el punto de inflexión de la función. Hemos dibujado también la recta tangente a la curva en el punto de inflexión.
1.1.6. Ejercicio
Sea f (x) = x^2 e−^2 x. Demostrar que f (x) < 1 , para todo x ≥ 0.
1.2. Optimización
En numerosos problemas tenemos que encontrar una solución que es óptima en algún sentido. Se trata, por ejemplo, de saber qué forma es la mejor en un determinado sólido para que con menos superficie tengamos el máximo volumen. Estos son los denominados problemas de optimización. En ellos hay tres etapas:
- Traducir al lenguaje matemático la información. Normalmente, habrá que cons- truir una determinada función que recoja todas las características del problema plan- teado. En general será la etapa más difícil.
1.2.2. Ejemplo
Un fabricante produce un tipo de tejido que vende en el mercado a 12 e el me- tro. Los costes del fabricante son: el alquiler del local, 5.000 e , los de producción del tejido, 2 e por cada metro en concepto de salarios y materia prima y 1 / 500 del cuadra- do del número de metros por publicidad. Suponiendo que vende todo lo que produce, ¿cuál es la cantidad que debe producir para maximizar las ganancias? Si llamamos x al número de metros producidos (y vendidos), los ingresos son I(x) = 12x y los gastos son C(x) = 5000 + 2x + x^2 / 500 , luego las ganancias se miden con la función :
G(x) = I(x) − C(x) = 12x −
5000 + 2x +
x^2 500
Entonces, la derivada de esta función es:
G′(x) = 10 −
x 250
que se anula para x = 2500. En esto punto la derivada segunda es negativa (en realidad lo es siempre), luego se trata de un máximo. El fabricante deberá producir 2500 metros de tejido para optimizar el proceso.
1.2.3. Ejemplo
Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene dos vértices en el eje OX y los otros dos sobre la parte superior de la curva y = 27 − x^2.
x
Figura 7: Varios posibles rectángulos.
En la Figura 7 aparecen dibujados varios de los posibles rectángulos. Si tomamos como variable x la longitud de la mitad de la base de los mismos, resulta que su área se escribe:
A(x) = 2x(27 − x^2 ) , x ∈ [0,
27]
La derivada de A(x) es
A′(x) = 2(27−x^2 )+2x(− 2 x) = 54− 6 x^2
La derivada se anula si x = 3 y este punto corresponde al área máxima, dado que la derivada segunda en este punto es negativa. (La primera derivada también se anula si x = − 3 , pero ésta no puede ser una solución de nuestro problema).
1.2.4. Ejercicio
Demostrar que, entre los cilindros que se pueden inscribir en un cono recto, el de volumen máximo ocupa cuatro novenas partes del volumen del cono.
1.3. Representación de funciones
En las secciones anteriores ya hemos dibujado las gráficas de algunas funciones. En esta nueva sección vamos a tratar de sistematizar los problemas relacionados con la representación gráfica de funciones, es decir, con el trazado de curvas. Para el trazado de una curva podemos seguir unas pautas generales que consisten en analizar, más o menos en este orden, los siguientes elementos: dominio de definición, simetrías y periodicidad, asíntotas, rango, continuidad y derivabilidad, intervalos de crecimiento y extremos, intervalos de convexidad y puntos de inflexión,... En general, no es necesario pasar uno a uno por todos estos aspectos; es más importante ver primero de que tipo de curva se trata, para, a continuación centrar el análisis en los elementos esenciales para esa familia de curvas. Para ello hay que familiarizarse con las gráficas de las denominadas funciones ele- mentales y, a partir de ellas, mediante determinadas técnicas, obtener de forma rápida, sencilla y segura la gráfica de cualquier otra función. Las principales funciones elementales que vamos a considerar son:
- Las funciones polinómicas. Son las funciones f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x^2 + · · · + anxn^ con n ∈ N. Estas funciones están definidas y son continuas y tienen derivada de todos los ordenes en toda la recta.
Figura 8: Gráfica de una función polinómi- ca de grado cinco.
Para su representación gráfica, uno de los elementos esenciales es determi- nar sus extremos y puntos de inflexión y, por lo tanto, sus intervalos de crecimien- to y de concavidad. Los casos n = 1, rectas; n = 2, parábolas; y, n = 3, cúbi- cas, son los más importantes. Para dibujar una recta sólo necesita- mos dos puntos de la misma y buen pul- so; para una parábola, sólo si mira hacia arriba o hacia abajo, su eje de simetría y su valor en algún punto, por ejemplo, en x = 0; para una cúbica es esencial ver si tiene extremos (su derivada, un po- linomio de segundo grado, debe anular- se), donde está su punto de inflexión y su comportamiento en +∞. Para funciones polinómicas de orden superior habrá que mirar estos elementos y trabajar un poco más. Habrá que estudiar, y dibujar, la derivada primera (que será una función polinómica de un orden menos) y nos informará de los intervalos de crecimien- to, extremos, ..., y también de su derivada segunda (otro grado menos) donde encontra- remos información sobre intervalos de concavidad, puntos de inflexión, etcétera. En la Figura 8 está representada la gráfica de la función polinómica de grado 5 , f (x) = 3x^5 − 25 x^3 + 30x. Los elementos más destacables y que permiten hacer el dibujo son: los cortes con los ejes, los puntos de máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Observemos también que, en este caso, el dibujo presenta una simetría con respecto al origen de coordenadas. Esto es debido a que la función es impar: f (−x) =
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Figura 10: Gráficas de funciones racionales.
En un ejemplo del capítulo anterior hemos estudiado las asíntotas de la función:
f (x) =
x^3 + x^2 x^2 − 4
= (x + 1) +
4 x + 4 x^2 − 4 Como ya se dijo, esta función tiene dos asíntotas verticales x = − 2 y x = 2, y una oblicua y = x + 1. También vimos allí el comportamiento de la curva respecto a sus asíntotas. En la Figura 10 (derecha) vemos los elementos esenciales de su gráfica. Para hacer este dibujo, además de las asíntotas, hemos estudiado el signo de la derivada, es decir los intervalos de crecimiento y los extremos de la función. En este caso la curva tiene dos máximos y dos mínimos que, claro, se pueden precisar. Igualmente, pueden concretarse los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión estudiando la derivada segunda. Estos son los elementos que hay que considerar en primer lugar para la representa- ción de funciones racionales.
- Las funciones trigonométricas. Son las funciones seno, coseno, tangente, cotan- gente y sus inversas. En este caso dos elementos esenciales para su representación son la periodicidad y las posibles simetrías.
Π 2 Π^3 2 Π^2 Π
1
Π 2 Π 3 Π
1
2
Figura 11: Gráfica de varias funciones trigonométricas.
En la Figura 11 hemos representado, a la izquierda, las funciones sin x y sin^2 x, en el intervalo [0, 2 π], y, a la derecha, las funciones cos x y 2 cos x, en el intervalo [0, 3 π]. En el dibujo se aprecian, entre otros elementos importantes, las diversas simetrías y hemos tenido en cuenta la periodicidad.
-Π (^) - Π 2 ^ Π 2 Π
4
8
Figura 12: Gráfica de la función tangente en el intervalo [−π, π].
Para la función tangente uno de los elementos importantes es la aparición, ver Figura 12, de las asíntotas vertica- les: x = −π/ 2 , x = π/ 2. Además, se pueden apreciar también: el crecimien- to de la función (la derivada primera, 1 + tan^2 x, es siempre positiva), los in- tervalos de concavidad (el signo de la de- rivada segunda, 2 tan x(1+tan^2 x), es el mismo que el de la función) y la repeti- ción del dibujo dada la periodicidad de la función. En cuanto a las funciones inversas, sus gráficas son simétricas de las de las funciones originales con respecto a la diagonal principal y = x. En todo ca- so, hay que tener en cuenta que, para que la inversa esté definida la función tiene que ser inyectiva. Por esta razón, en el caso de las funciones trigonométricas, las inversas habrá que considerarlas en aquellos intervalos donde esto ocurra; por ejemplo, la inver- sa de la tangente se puede considerar en el intervalo [−π/ 2 , π/2] y no en el intervalo [−π, π].
- Las funciones exponenciales y logarítmicas. Las funciones exponenciales están definidas en toda la recta, toman siempre valores positivos y en 0 valen 1. Si la base a, de la función exponencial ax, es mayor que 1 , entonces la función viene de cero en −∞, es estrictamente creciente (de hecho crece más que cualquier función polinómica, cuando x es grande) y va hacia +∞ (en +∞).
- 3 - 2 - 1 1 2 3
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3
5
7
1 3 5 7
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2
3
Figura 13: Gráficas de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Si la base a es menor que 1 , entonces estamos hablando de la función 1 /bx, con la base de la exponencial del denominador b > 1. En este caso la función es, claro, estrictamente decreciente, viene de +∞ en −∞ y va hacia 0 en +∞. En la Figura 13 (izquierda) hemos dibujado dos exponenciales: una con base mayor que uno y otra con base menor que uno.
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Figura 15: Gráficas de t = ex^ y de la cúbica y = t^3 − 4 t^2 + 5t − 2.
crece y recorre el intervalo (1, +∞); y, si miramos en la cúbica, la variable y sale de 0 decrece por valores negativos hasta su mínimo en (5/ 3 , − 4 /27), y crece a partir de este punto, pasando por (2, 0), hasta +∞.
1
Figura 16: Gráfica de y = e^3 x^ − 4 e^2 x^ + 5ex^ − 2.
Entonces la gráfica que buscamos reproduce este comportamiento; empieza de- creciendo, a partir del origen de coordenadas hasta llegar al mínimo, en el punto x = log (5/3), para crecer a partir de este punto, cruzar el eje de abscisas en x = log 2, y tender a +∞. En fin, podemos también estudiar los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. La segunda derivada es y′′^ = ex(9e^2 x^ − 16 ex^ + 5), que se anula si 9 e^2 x^ − 16 ex^ + 5 = 0; esta ecuación se puede resolver haciendo t = ex^ y resolvien- do la ecuación de segundo grado 9 t^2 − 16 t + 5 = 0. Las soluciones de esta ecuación t = (16±
76)/ 18 nos proporciona los puntos donde se anula la derivada segunda (que son los dos puntos de inflexión de la curva). Estos puntos corresponden a los valores x = log [(16 ±
76)/18] (aprox., − 0 , 904 y 0 , 317 ). De esta forma obtenemos como resultado final la Figura 16.
1.3.2. Ejercicio
A partir de la gráfica de la función t = x^3 − 3 x + 2 y la de y = log t, hacer la representación gráfica de la función y = log (x^3 − 3 x + 2).
