Análisis y Diseño de Algoritmos II
Tema 3: Programación dinámica
26 de abril de 2006
1. Podemos representar una ecuación de recurrencia lineal, de coeficientes constantes, y ho-
mogénea de orden kde la siguiente forma:
∀n≥k fn+a1·fn−1+· · · +ak·fn−k= 0
f0=c1, . . . , fk−1=ck
donde a1, . . . , akyc1, . . . , ckson elementos conocidos de un anillo A=hA, +,·,−,0,1i.
Una ecuación de este tipo queda pues determinada por dos vectores:
El vector de coeficientes, ~a = [a1, . . . , ak].
El vector de condiciones iniciales, ~c = [c1, . . . , ck].
Emplee programación dinámica para diseñar un algoritmo que calcule los términos de su
solución. El algoritmo recibirá ~a,~c,kyn, y devolverá fn. Analice el algoritmo calculando
el número exacto de operaciones de cada tipo sobre A. No emplee más de Θ(k)espacio.
2. Diseñe un algoritmo que reciba la tabla de subproblemas resueltos de valores correspon-
diente a un ejemplar del problema de la mochila discreta y devuelva, en un conjunto, una
de las posibles composiciones óptimas de la carga.
3. Diseñe un algoritmo que reciba la tabla de subproblemas resueltos de valores correspondien-
te a un ejemplar del problema del cambio de moneda con suministro ilimitado y devuelva,
en un conjunto, una de las posibles composiciones óptimas del cambio.
4. Se dispone de un tablero, T, de dimensión m×nque tiene asociado un valor numérico
tij con cada casilla (i, j). Deseamos mover un robot situado en la casilla (1,1) al extremo
opuesto (m, n)de manera que la suma de los valores de las casillas que atraviesa sea
mínima. En cada paso, el robot únicamente puede moverse a la casilla de la derecha o a
la de abajo.
a) Resuelva el problema restringido consistente en calcular los valores de los caminos
óptimos empleando programación dinámica. Detalle el proceso de obtención del al-
goritmo y no emplee más espacio que el del propio tablero.
b) Diseñe un algoritmo que a partir del resultado del anterior construya una matriz
binaria con 1en las posiciones que forman parte de algún camino óptimo y 0en las
demás.
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