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MATEM ´ATICAS EMPRESARIALES
G.A.D.E.
Curso 2012/
Relaci´on de Ejercicios
No^1
- Representa gr´aficamente los siguientes conjuntos:
A 1 = {(x, y) ∈ R^2 / x^2 + 2y^2 = 9}; A 2 = {(x, y) ∈ R^2 / (x − 1)^2 + y = 2}; A 3 = {(x, y) ∈ R^2 / (x − 1)^2 + (y + 2)^2 = 9}; A 4 = {(x, y) ∈ R^2 / 3 x + 5y = 10};
A 5 = {(x, y) ∈ R^2 / ex+2y^ = 1}; A 6 = {(x, y) ∈ R^2 / ex^ + y = 1}
- Determina el conjunto Int(A) (=interior de A) y el conjunto F r(A) (=frontera de A) para el subconjunto de R dado, A, en cada uno de los siguientes casos.
a) A 1 = [4, 10]; b) A 2 = (2, 7); c) A 3 = [1, 5); d) A 4 = { 1 , 2 , 3 }; e) A 5 = R.
- Considera el conjunto A = {(x, y) ∈ R^2 / x ≥ 0 , y ≥ 0 , x + y ≤ 2 }. Determina la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) (3, 1) ∈ A; b) (1, 1) ∈ F r(A); c) (2, 2) ∈ Ext(A)
d)
∈ Int(A); e) F r(A) ⊂ A; f) Int(A) = {(x, y) ∈ R^2 / x > 0 , y > 0 , x + y < 2 }.
- Determina el conjunto Int(A) y el conjunto F r(A) para el subconjunto de R^2 dado, A, en cada uno de los siguientes casos.
a) A 1 = [1, 3] × [2, 4] = {(x, y) / 1 ≤ x ≤ 3 , 2 ≤ y ≤ 4 } ; b) A 2 = (− 1 , 5) × (1, 3) = {(x, y) / − 1 < x < 5 , 1 < y < 3 } ; c) A 3 = (1, 4) × [0, 2] = {(x, y) / 1 < x < 4 , 0 ≤ y ≤ 2 } ; d) A 4 = { 2 } × R = {(x, y) / x = 2} ; e) A 5 = {(x, y) / 3 x + y = 6}.
- De los conjuntos representados en el ejercicio anterior, ¿cu´ales son abiertos? ¿cu´ales cerrados? ˇscu´ales acotados? ˇscu´ales compactos?
- Representa gr ficamente, si es posible, los siguientes subconjuntos de R^2.
B 1 = {(x, y) ∈ R^2 / 3 x + y ≤ 6 , x ≥ − 1 , y ≤ 0 } B 2 = {(x, y) ∈ R^2 / x^2 + y^2 ≤ 4 , −x + 2y ≥ 6 }
B 3 = {(x, y) ∈ R^2 / (x − 1)^2 + (y − 3)^2 = 4, x ≥ 0 , y ≥ 0 } B 4 = {(x, y) ∈ R^2 / x^2 + y^2 > 1 }
B 5 = {(x, y) ∈ R^2 / y − x^2 ≥ − 1 , y ≤ x + 1} B 6 = {(x, y) ∈ R^2 / 4 x^2 + 9y^2 = 36}
- Calcula los dominios de las siguientes funciones de varias variables:
f 1 (x, y) =
xy; f 2 (x, y) = ln(1−x^2 −y^2 ); f 3 (x, y) = 2x^2 y−xy+3; f 4 (x, y) = e^1 −x+y;
f 5 (x, y) =
xy − 1 x^2 − y^2
; f 6 (x, y) =
xy − 4 x^2 + y^2 + 5
; f 7 (x, y) =
x^2 + y^2 − 4; f 8 (x, y) = ln (x−1)−y;
f 9 (x, y) =
8 − 2 x^2 − 2 y^2 ; f 10 (x, y) = ln(x^2 − y^2 ); f 11 (x, y, z) =
x^2 + y^2 + 4 + ln(z).
- Dada la funci´on f (x, y) = xey^ + ln(x), halla su dominio y calcula el valor f (e^3 , ln(3)).
- Dibuja las curvas de nivel k para las siguientes funciones y los valores indicados de k en cada caso.
F 1 (x, y) = x + 2y (k = 2, 0 , −1); F 2 (x, y) = x^2 − y (k = 1, 0 , −1);
F 3 (x, y) = xy (k = 1, 2 , − 1 , − 2 , 0); F 4 (x, y) =
x y
(k = 1, 2 , − 1 , − 2 , 0).
- Representa gr´aficamente un mapa de curvas de nivel de las siguientes funciones:
f 1 (x, y) = 2x + 3y; f 2 (x, y) = x^2 + y^2 ; f 3 (x, y) =
x^2 + y^2 ; f 4 (x, y) = ex^ − y;
f 5 (x, y) = x^2 + y; f 6 (x, y) = ex
(^2) +y ; f 7 (x, y) = (x − 1)^2 + (y + 2)^2 ; f 8 (x, y) = x^2 + 3y^2.
- Si se utilizan x m´aquinas e y horas por trabajador al d´ıa, cierta f´abrica produce Q(x, y) = 10xy unidades de cierto bien. Expresa el conjunto de todas las combinaciones (x, y) que permiten producir exactamente 1000 unidades de dicho bien al d´ıa. Representa gr´aficamente este conjunto.
- Para cada uno de los siguientes problemas de optimizaci´on,
a) Representa gr´aficamente el conjunto factible. b) ¿Es compacto el conjunto factible? ¿Qu´e se puede decir sobre la existencia de ´optimos globales antes de resolver el problema? c) Representa algunas curvas de nivel de la funci´on objetivo. d ) Resuelve el problema.
(a)
Maximizar : x^2 + y^2
s.a. x^2 + (y + 1)^2 = 4
(b)
Maximizar : x^2 − y s.a. y ≤ 1 − x y ≤ 1 + x y ≥ 0
(c)
Optimizar : (x + 1)^2 + (y − 1)^2 s.a. −x + y ≤ 1 x + y ≤ 2 x ≥ 0 , y ≥ 0
(d)
Optimizar : x^2 + 3y^2
s.a. −x + y ≤ 1 x^2 − y ≤ 1
(e)
Optimizar : − 3 x + y s.a. 9 x^2 + 4y^2 ≤ 36 2 x + y ≥ 0 y ≥ 0
(f )
Optimizar : 4 x + y s.a. x^2 + y^2 ≥ 8 y ≤ x y ≥ 0
