Mateemáticas Empresariales: Diferenciabilidad - Ejercicios, Ejercicios de Matemáticas

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MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

TEMA 5. DIFERENCIABILIDAD

EJERCICIOS PARA EL DESARROLLO DE LA ASIGNATURA

RESOLUCIÓN

DPTO. ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD E IDIOMA MODERNO

1. Dada la función de valor total 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥−2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝛼𝛼𝑥𝑥+𝑥𝑥 , si^ sabemos que la^ 𝐸𝐸𝑓𝑓𝑥𝑥^ es^ lo que varía porcentualmente el valor total ante variaciones de x , determine el valor de 𝛼𝛼 ∈ ℝ que hace que, en

el punto (1,1) y en la dirección (1,0) esa variación (𝐸𝐸𝑓𝑓𝑥𝑥) sea igual a 1

Sabemos que la elasticidad puntual 𝐸𝐸𝑓𝑓𝑥𝑥(1,1) coincide con el cociente del valor marginal y el valor medio de 𝑓𝑓 en (1,1). Es decir:

Tenemos

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 (𝑥𝑥,^ 𝑦𝑦) =^

(4−2𝑥𝑥)(𝛼𝛼𝑥𝑥+𝑥𝑥)−(4𝑥𝑥−2𝑥𝑥𝑥𝑥)𝛼𝛼 (𝛼𝛼𝑥𝑥+𝑥𝑥)^2 ⇒^

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 (1,1) =^

2 (𝛼𝛼+1)^2

𝑓𝑓(1,1) =

(𝛼𝛼 + 1)^2

Así 𝐸𝐸𝑓𝑓𝑥𝑥(1,1) = 1 4 ⇔^

1 (𝛼𝛼+1) =^

1 4 ⇔ 𝛼𝛼^ = 3

2. Dada la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) = 𝑥𝑥 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥^1 − 𝑒𝑒 𝑥𝑥^2 2 , halle 𝛻𝛻𝑓𝑓(−1,0) y la derivada direccional 𝑓𝑓(^ ′𝑣𝑣^1 ,𝑣𝑣 2 )(−1,0)

para cualquier dirección (𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 2 ), ¿qué significa el resultado que obtenemos?

= 𝑒𝑒 𝑥𝑥^1 + 𝑥𝑥 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥^1

= − 2 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥^2

2 ⎭

⇒ 𝛻𝛻𝑓𝑓(𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) = (𝑒𝑒 𝑥𝑥^1 + 𝑥𝑥 1 𝑒𝑒 𝑥𝑥^1 , − 2 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥^2

2 ) ⇒ 𝛻𝛻𝑓𝑓(−1,0) = (0,0) ⇒ ⋯

⋯ ⇒ 𝑓𝑓(^ ′ 𝑣𝑣^ 1 ,𝑣𝑣 2 )(−1,0) =

𝑣𝑣 2 �^ = 0

Obtenemos que la función, en el punto (−1,0) tiene una tendencia estacionaria en todas las direcciones. El punto (−1,0) es un punto crítico y por tanto candidato a extremo local o punto de silla.

5. Estudie si la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) =

𝑥𝑥+𝑥𝑥 𝑥𝑥−𝑥𝑥 tiene un comportamiento creciente, decreciente o estacionario en el punto 𝑎𝑎 = (1,5) y en la dirección 𝑣𝑣 = (1,1).

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)^2

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)^2 ⎭⎪

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)^2

(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)^2

⋯ ⇒ 𝑓𝑓(^ ′ 1^ , 1 )(1,5) =

⇒ comportamiento decreciente

6. Sea una empresa que produce 3 artículos a precios 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 16, 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 12 y 𝑝𝑝𝑧𝑧 = 20, siendo los ingresos

a obtener 𝐼𝐼(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 16𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧, donde x , y , z representan las cantidades producidas de cada uno de los tres artículos. Por estudios realizados se sabe que los costes necesarios para su fabricación siguen la función 𝐶𝐶(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 3𝑧𝑧 2 + 2𝑥𝑥𝑧𝑧 + 30. Debido a que es posible fabricar distintas cantidades de cada artículo, se pide obtener las cantidades x , y , z para maximizar el beneficio.

𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = Beneficios = Ingresos − Costes = −𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 − 3 𝑧𝑧 2 + 16𝑥𝑥 + 12𝑦𝑦 + 20𝑧𝑧 − 2 𝑥𝑥𝑧𝑧 − 30 𝜕𝜕𝐵𝐵 𝜕𝜕𝑥𝑥

⇒ puntos críticos = {(7,6,1)}

|𝐴𝐴 1 | = −2, |𝐴𝐴 2 | = �−^2

forma cuadrática Definida Negativa ⇒ 𝐵𝐵 máximo local en (7,6,1)

7. Una empresa produce dos tipos de bienes. Sabiendo que su función de coste total es 𝐶𝐶(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 3 +

𝑦𝑦 3 − 3 𝑥𝑥 − 12 𝑦𝑦 + 20, calcule la cantidad que ha de producir de cada bien para minimizar los costes.

⇒ puntos críticos = {(1,2), (1, −2), (−1,2), (−1, −2)}

� , |𝐴𝐴 1 | = 6, |𝐴𝐴 2 | = 72 ⇒ Definida Positiva ⇒ 𝐶𝐶 mínimo local en (1,2)

� , |𝐴𝐴 1 | = 6, |𝐴𝐴 2 | = − 72 ⇒ Indefinida ⇒ 𝐶𝐶 punto silla en (1, −2)

𝐻𝐻𝐶𝐶(−1,2) = �−^6

� , |𝐴𝐴 1 | = −6, |𝐴𝐴 2 | = − 72 ⇒ Indefinida ⇒ 𝐶𝐶 punto silla en (−1,2)

𝐻𝐻𝐶𝐶(−1, −2) = �−^6

� , |𝐴𝐴 1 | = −6, |𝐴𝐴 2 | = 72 ⇒ Definida Negativa

⇒ 𝐶𝐶 mínimo local en (1,2)

8. Encuentre los posibles óptimos de la función 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 3 − 3 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 3.

⇒ puntos críticos = {(0,0), (1,1)}

𝐻𝐻𝑧𝑧(0,0) = � 0 −^3

� , |𝐴𝐴 1 | = 0, |𝐴𝐴 2 | = − 9 ⇒ Indefinida ⇒ z punto silla en (0,0)

𝐻𝐻𝑧𝑧(1,1) = � 6 −^3

� , |𝐴𝐴 1 | = 6, |𝐴𝐴 2 | = 25 ⇒ Definida Positiva ⇒ z mínimo local en (1,1)

9. Calcula los extremos relativos, si existen, de la función 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 ⋅ 𝑦𝑦 + 1 𝑥𝑥 +^

1 𝑥𝑥

⇒ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 4 ⇒ puntos críticos = {(1,1)}

𝐻𝐻𝑓𝑓(1,1) = �^2

� , |𝐴𝐴 1 | = 2, |𝐴𝐴 2 | = 3 ⇒ Definida Positiva ⇒ 𝑓𝑓 mínimo local en (1,1)