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2255. Estadística Económica I
Grado en Economía
Departamento de Métodos Cuantitativos para la Economía y la Empresa
Universidad de Murcia
Relación de problemas 2. Variables aleatorias unidimensionales
1.-Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad:
xi 2 4 5 7
P(X=xi) k 0,3 0,2 0,
a) Determine el valor de k
b) Obtenga la función de distribución de X
c) Calcule la probabilidad de X tome un valor: a)mayor que 3; b) menor que 5; c) entre 3 y
5, ambos incluidos.
2.-Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad
P(X x) (x 1), si x 2,..., 45
a) Compruebe que P(X x)es una función de probabilidad
b) Calcule la probabilidad de que X tome un valor menor que 6; la probabilidad de tome
un valor mayor o igual a 3; y la probabilidad de que tome un valor entre 4 y 9
3.-Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad
x 1 P(X x) 0,3.0,7 , si x 1,2,...
a) Compruebe que P(X x)es función de probabilidad
b) Determine la probabilidad de que la v.a. X sea mayor que 3; y la probabilidad de que
tome un valor par.
4.-Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad
x 5 5 e P(X x) x!
con x=0,1,2,…
(NOTA:
x
0
e x!
a) Compruebe que P(X x)es una función de probabilidad.
b) Calcule la probabilidad de que X tome un valor menor que 3. ¿Coincide con el valor de
la función de distribución en el punto 3?.
5.-Una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad:
(7 x) / k 7 x 0
f(x) (7 x) / k 0 x 7
0 en el resto
a) Halle k para que f(x) sea una función de densidad
b) Obtenga la función de distribución de X
c) Calcule la probabilidad de que X sea: a) mayor que cero; b)menor que 3; c)esté entre -
y 4.
6.-Una variable aleatoria tiene la siguiente función de densidad:
2
a(x 1) si x 0, 4
f(x) bx si x (4,
0 en el resto
Se sabe, además, que P X 0,4 2 / 3.
Determine los valores de a y b. Calcule la
probabilidad de X tome un valor menor que 3. ¿Coincide con el valor de la función de
distribución en el punto 3?
7.-Sea X una v.a. con función de densidad f(x)=3e -3x si x>0 (y 0 en el resto):
a) Compruebe que f(x) es función de densidad
b) Obtenga la función de distribución de X
c) Calcule P(1<X2), P(X≥3) y P(X<1)
8.-Sea X una v.a. con función de distribución:
0 x 0
1 / 4 0 x 1
F(x) 2 / 4 1 x 2
3 / 4 2 x 3
1 x 3
a) ¿Es X una v.a. discreta?. En caso afirmativo obtenga su función de probabilidad
b) Calcule P(X=1/2) y P(1,5<X<3)
9.-El número de miles de unidades vendidas mensualmente, de un determinado artículo es una
v.a. cuya función de densidad es:
x 0 x 5 25
(10 x) f(x) 5 x 10 25
0 en el resto
a) Determine la función de distribución de las ventas
b) Calcule la probabilidad de que las ventas sean al menos de 5.000 unidades
c) Calcule la probabilidad de que las ventas esté entre 5.000 y 7.500 unidades
10.-Con objeto de establecer un plan de producción, una empresa ha estimado que la demanda
de sus clientes se comporta, semanalmente, con arreglo a una distribución de probabilidad cuya
función de densidad es f(x)=1/5 si 4x9 (0 en el resto), siendo x la demanda en miles de
unidades. ¿Qué cantidad debe tener dispuesta a la venta, al comienzo de cada semana, para
poder satisfacer toda la demanda, con una probabilidad de al menos 0,5?
11.-Repita el ejercicio anterior suponiendo que la demanda de comporta con arreglo a la
siguiente función de probabilidad:
xi 5 6 7 8 9
P(X=xi) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,
12.-Supongamos que la cantidad de dinero que ahorra una persona, de un grupo social
determinado, es un fenómeno aleatorio con la siguiente función de distribución:
2
2
(x/ 50)
(x/ 50)
e x 0 2 F(X) 1 1 e x 0 2
a) Calcule su función de densidad
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad ahorrada por una persona del grupo …
a. Sea más de 50?
b. Sea menos de -50?
c. Esté entre -50 y 50?
d. Sea igual a 50
19.-Sea X una v.a. tal que E[(X-1) 2 ]=10 y E[(X-2) 2 ]=6. Halle E(X), V(X) y (X).
20.-Un almacén distribuye un artículo en exclusiva en una gran ciudad y lo recibe
mensualmente de fábrica. El número de millares de artículos vendidos cada mes es una v.a. X
cuya función de densidad viene dada por:
k(1 x) si 0 x 1 f(x) 0 en el resto
a) Obtenga k para que f(x) sea una función de densidad
b) Calcule las ventas medias mensuales
c) Si se quiere tener una garantía del 95% de que no se agote el producto en un mes
determinado, ¿qué cantidad debe pedirse a fábrica?.
d) Determine la mediana y el primer cuartil de la v.a.X
21.-Unos estudios realizados por las compañías de seguros de automóviles, indican que la
probabilidad de que un conductor novel tenga un accidente calificado de “siniestro total”,
durante el primer año de conducción es de 0,00278. La compañía de seguros SEGUR decide
ofertar una póliza anual con cobertura exclusiva de un siniestro total para todos los conductores
noveles, cuyo precio de suscripción es de 1.050 euros y, en caso de producirse el accidente, la
compañía indemnizará con 18.000 euros (la empresa indemnizará como máximo un accidente al
año).
a) Calcule la distribución de probabilidad del “beneficio de una póliza” obtenido por
SEGUR en el primer año
b) Calcule el beneficio esperado y su desviación típica
22.-Un almacenista compra 10.000 kgs. de un cierto artículo, en fardos de 100 kgs., al precio de p
u.m. por kg. Pretende almacenar la mercancía para su posterior venta, en condiciones más
favorables. Sin embargo, debido a la naturaleza del producto, cada fardo experimenta una
disminución de su peso mientras se encuentra almacenado. Se sabe que dicha disminución,
para cada fardo, es una v.a. X con función de densidad f(x)=k(100-x 2 ) si 0<x<10 (0 en el resto),
siendo independiente el comportamiento de cada fardo del de los demás. ¿Cuál es el beneficio
esperado supuesto un incremento del precio del 5%?.
23.-Sea X una v.a. con función de distribución:
2
3
0 x 0
x 2x 0 x 2 36
2 F(x) (^2) x 4 9
2 7(x 64) 4 x 6 9 1368
1 x 6
^ ^
Obtener:
a) La función de densidad de la v.a. X. Compruebe que se trata de una función de
densidad
b) Las siguientes probabilidades: P(X>3), P(3<X<5) y P(X<5/X>3).
c) La media y la varianza
24.-Sea X una v.a. con función de probabilidad:
P(X=x)=
x
si x=1,3,5,
Obtener:
a) La función de distribución de X
b) Las siguientes probabilidades: P(X>4), P(X5,5), P(3<X<6) y P(X>1/X5)
c) La media y la varianza de X
d) Obtenga la mediana y el tercer y primer cuartiles.¿Cuál es el valor modal?
25.-Una v.a. X tiene una función de densidad dada por f(x)=2e-2x^ si x>0 (o en el resto). Obtenga:
a) La función generatriz de X
b) La media de X, a partir de la función generatriz
c) P(X-E(X)>1)
d) Un límite superior de P(X-E(X)>1) y compárelo con el resultado obtenido en el
apartado anterior.
26.-Se sabe que E(X)=10 y V(X)=25. Determine los intervalos simétricos alrededor de la media
de esta v.a. que contengan al menos el 50% y el 90% de la probabilidad.
27-El tiempo necesario para transportar un cargamento por vía marítima, entre dos puertos,
sigue una distribución de probabilidad de media 90 horas y desviación típica 3 horas. El capitán
del barco pretende llegar a puerto entre 80 y 100 horas después de haber iniciado el viaje.
Obtenga un límite inferior para la probabilidad de que se cumpla lo que dice el capitán.
28.-Dada la v.a. X cuya función de probabilidad es P(X=0)=1/3 P(X=1)=2/3, obtenga:
a) Su función generatriz de momentos
b) Los momentos ordinarios de orden r
29.-Dada la v.a. X cuya función de densidad es:
x
x
e x 0 2 f(x) 1 e x 0 2
a) Obtenga la función generatriz de momentos
b) Obtenga, a partir de ella, la media y la varianza.
30.-Sea X una v.a. cuya función generatriz de momentos es
t 4 (t) (0,2e 0,8) , determine su
desviación típica.
La función f(x), al ser una exponencial es siempre ≥0, por lo que hay que comprobar que
la integral, extendida a todo el campo de variación valga 1:
F(x)=
3x 1 e si x 0
1 en el resto
(^)
P(1<X2)=
3 6 e e
P(X≥3)=
9 e
P(X<1)=1-
3 e
Es una v.a. discreta, porque solo toma valores en los puntos x=0,1,2,3. Su función e
probabilidad es: P(X=0)=1/4; P(X=1)=1/4; P(X=2)=1/4 y P(X=3)=1/
P(X=1/2)=0; P(1,5<X<3)=P(X=2)=1/
2
2
x 0 x 5 50
1 x F(X) 10x 1 5 x 10 25 2
1 resto
^
P(X<5)=1/
P(5<x<7,5)=F(7,5)-F(5)=0,
0 x 4
F(X) P(X x) x 4 x 9 5 5
1 x 9
k 2,5 4 6,5 6.500 unidades
0 si x 5
0, 2 5 x 6
0, 4 6 x 7 F(X) P(X x) 0,6 7 x 8
0,8 8 x 9
1 x 9
X=7 7.000 unidades
2
2
(x/ 50)
(x/ 50)
x e x 0 2500 f(X) x 1 e x 0 2500
P(X>50)=0,
P(X<-50)=0,
P(-50<x<50)=
e
P(X=50)=0 al ser X una v.a. continua
k=0,
1.P(X>50)=0,
2.P(X<50)= 0,
3.P(X=50)=0,
4.P(25X75)=0,
P(A/B)=0; P(A / D) 0,486; P(C/D)=0,
A y B independientes: NO, son incompatibles
C y D independientes: NO, además C está incluido en D
A y B disjuntos: SI
C y D disjuntos: NO
P(X=par)=
P(X=impar)= 2/
P(X>4)=1-P(X4)=1/
a) E[X]=0,
b) Var(X)=0,3594; =0,
c) E[penalización]=1000.(0,4)=400 ; Var(penalización)=1000^2 .0,3594=
16.-E(X)=
E(X)=1,6 V(X)= 1,
E(Y)=400 V(Y)1.440.
E(X)
V(X)=
E(Y)= 2, 5 V(Y)=
E X Var(X) (x) 1, 2 4
k 2
E(X) (x1.000) 3
P(X<a)=0,95 a 0,
e
M 0,
1
Q 0,
X=Beneficio=
1.050 con probabilidad 0,
1.050 18.000 16.950 con probabilidad 0,
E(X)=999,96 V(X)=898.215,99 (X)=947,
k
