Relaciones Matemáticas: Reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Asimétrica, Antisimétrica y Tra, Apuntes de Matemática Discreta

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Matemática Discreta

Relaciones

• Propiedades.

Unidad 1: Teoría de Conjuntos,

Lógica proposicional y relaciones

Logro de la sesión

Al finalizar la sesión, estarás preparado para:

Identificar las propiedades que satisface una

relación y determinar el espacio cociente de un

conjunto mediante una relación de equivalencia.

Relación Reflexiva

Ejemplo En 𝐴 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }, la siguiente relación es reflexiva. 𝑅 = {( 1 ; 1 ), ( 1 ; 3 ), ( 2 ; 2 ), 2 ; 4 , ( 3 ; 3 ), ( 4 ; 1 ), ( 4 ; 4 )} Matriz Relación Reflexiva Dígrafo Una relación R en un conjunto A es: Reflexiva  [( a , a )  R ,  a  A ] 𝑀𝑅 =

Observaciones :

• Si MR = [ mij ] es la representación matricial de R , entonces: R es reflexiva  mii = 1,  i
• El dígrafo asociado a una relación reflexiva tiene bucles (lazos) en todos sus vértices.

Relación Irreflexiva

Una relación R en un conjunto A es: Irreflexiva  [( a , a )  R ,  a  A ] Ejemplo En 𝐴 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }, la relación 𝑅 = { 1 ; 2 , 1 ; 3 , 2 ; 3 , ( 2 ; 4 ), ( 4 ; 1 )} es irreflexiva. Matriz Dígrafo Relación Irreflexiva 𝑀𝑅 =

Observaciones :

• Si MR = [ mij ] es la representación matricial de R , entonces: R es irreflexiva  mii = 0,  i
• El dígrafo asociado a una relación irreflexiva no tiene bucles (lazos) en sus vértices.

Relación Asimétrica

Relación asimétrica Matriz Dígrafo Ejemplo En 𝐴 = 1 ; 2 ; 3 ; 4 , la relación 𝑅 es asimétrica 𝑅 = { 1 ; 2 , 1 ; 3 , 2 ; 4 , 3 ; 2 , ( 4 ; 1 )} Una relación R en un conjunto A es: Asimétrica  [( a , b )  R  ( b , a )  R ] 𝑀𝑅 =

Observaciones :

• Si MR = [ mij ] es la representación matricial de R , entonces: R es asimétrica  [(si mij = 1  mji = 0)  mii = 0]
• Los arcos de un dígrafo en una relación asimétrica son unidireccionales y no tiene bucles.
• Toda relación asimétrica es irreflexiva.

Relación Antisimétrica

Ejemplo En 𝐴 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }, la relación 𝑅 es antisimétrica 𝑅 = { 1 ; 2 , 1 ; 3 , 2 ; 2 , 3 ; 2 , ( 4 ; 1 )} Relación antisimétrica Matriz Dígrafo Una relación R en un conjunto A es: Antisimétrica  [ a  b  ( a , b )  R  ( b , a )  R ] 𝑀𝑅 =

Observaciones :

• Si MR = [ mij ] es la representación matricial de R , entonces: R es antisimétrica  [si i  j  ( mij = 0  mji = 0)]
• El dígrafo asociado a una relación antisimétrica solo tiene arcos unidireccionales.
• Toda relación asimétrica es antisimétrica.

Ejemplo

Sean R y S relaciones definidas en el conjunto de los enteros por: ( a , b ) R  a ≥ b Justifique cada una de las siguientes afirmaciones: R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Solución Observación: No es suficiente proponer algunos ejemplos para demostrar una propiedad, la demostración se hace de manera general.

• Reflexiva: 𝑎 ≥ 𝑎, ∀𝑎
• Antisimétrica: 𝑎 ≠ 𝑏, (𝑎 ≥ 𝑏 → 𝑏 ≱ 𝑎)
• Transitiva: (𝑎 ≥ 𝑏 ∧ 𝑏 ≥ 𝑐) → (𝑎 ≥ 𝑐)

Ejemplo

Sean R y S relaciones definidas en el conjunto de los enteros por: ( a , b ) S  a > b Justifique cada una de las siguientes afirmaciones: S es irreflexiva, asimétrica y transitiva. Solución Observación: No es suficiente proponer algunos ejemplos para demostrar una propiedad, la demostración se hace de manera general.

• Irreflexiva: 𝑎 ≯ 𝑎, ∀𝑎
• Asimétrica: 𝑎 > 𝑏 → 𝑏 ≯ 𝑎)
• Transitiva: (𝑎 > 𝑏 ∧ 𝑏 > 𝑐) ⟶ (𝑎 > 𝑐)

Relación de Equivalencia

Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si y solo si R es reflexiva, simétrica y transitiva. Si R es una relación de equivalencia en A , entonces para todo a  A , se definen los conjuntos:  a  = { x  A / ( x , a )  R }, llamados clases de equivalencia de A dada por la relación R. A | R = {  a  / a  A }, colección de todas las clases de equivalencia de los elementos de A. A | R se denomina partición del conjunto A o conjunto cociente de A.

Ejemplo

Sea R una relación de equivalencia en A ⊂ ℕ definida por: ( a , b ) R  a + b es par_._ Si A = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 }, determine las clases de equivalencia y el espacio cociente. 3 = 𝑥𝐴 / 𝑥, 3  𝑅 3 = {𝑥𝐴/ 𝑥 + 3 es par} 3 = { 3 ; 5 } Entonces, las clases de equivalencia son: [ 2 ] =[ 4 ] = [ 6 ] = [ 8 ] = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } [ 3 ] = [ 5 ] = { 3 ; 5 } El espacio cociente de A es: A | R = {{2; 4; 6; 8}, {3; 5}}. Nota: 𝑎 = {𝑥 ∈ 𝐴 / (𝑥, 𝑎)  𝑅},

2 = {𝑥𝐴/ 𝑥 + 2 es par} 2 = { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } 𝑀𝑅 =

Dado el conjunto A = { 1 ; 2 ; 3 ; 6 } se define la relación R sobre A por 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ⇔ 𝑏 − 𝑎 > 1. Determine si la relación R es reflexiva, antisimétrica y transitiva. Solución 𝑅 ={(1; 3), (1; 6), (2; 6), (3; 1), (3; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3)}

• Como ( 1 ; 1 ) ∉ 𝑅: 𝑅 no es reflexiva.
• Debido a que ( 1 ; 3 ) ∈ 𝑅 y ( 3 ; 1 ) ∈ 𝑅: R no es antisimétrica.
• ( 1 ; 3 ) ∈ 𝑅 y ( 3 ; 1 ) ∈ 𝑅, pero ( 1 ; 1 ) ∉ 𝑅, por lo tanto 𝑅 no es transitiva.

Ejemplo

¿La relación R definida por ( a , b ) R  a 2 = b 2 es una relación de equivalencia en A ⊂ ℤ? Solución

• R es reflexiva: a 2 = a 2 , es decir: ( a , a )  R ,  a  A.
• R es simétrica: a 2 = b 2 , implica que b 2 = a 2 ; es decir, tanto ( a , b ) como ( b , a ) pertenecen a R.
• R es transitiva: si ( a , b )  R y ( b , c )  R , implica que a 2 = b 2 y b 2 = c 2 ; es decir, a 2 = c 2 ; por tanto ( a , c )  R. Determine A | R , donde A = {- 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. A | R = {{-2; 2}, {-1; 1}, {0}, {3}}

Ejemplo

𝑅 = { 2 ; 2 , 2 ; 4 , 2 ; 6 , 3 ; 3 , 3 ; 5 , 4 ; 2 , 4 ; 4 , 4 ; 6 , 5 ; 3 , 5 ; 5 , 6 ; 2 , 6 ; 4 , 6 ; 6 } 𝑀𝑅 = (^2 3 4 5 ) 2 3 4 5 6 (^1 0 1 0 ) (^0 1 0 1 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Reflexiva  [( a , a )  R ,  a  A ] 𝑹 es reflexiva 𝑀𝑅 = (^2 3 4 5 ) 2 3 4 5 6 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Simétrica  [( a , b )  R  ( b , a )  R ] 𝑹 es simétrica 𝑅 = { 2 ; 2 , 2 ; 4 , 2 ; 6 , 3 ; 3 , 3 ; 5 , 4 ; 2 , 4 ; 4 , 4 ; 6 , 5 ; 3 , 5 ; 5 , 6 ; 2 , 6 ; 4 , 6 ; 6 } Antisimétrica  [ a  b  ( a , b )  R  ( b , a )  R ] 𝑹 NO es antisimétrica

𝑀𝑅 = (^2 3 4 5 ) 2 3 4 5 6 (^1 0 1 0 ) (^0 1 0 1 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 𝑹 es transitiva 𝑀𝑅^2 = (^1 0 1 0 ) (^0 1 0 1 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 . (^1 0 1 0 ) (^0 1 0 1 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 = 𝑅 = { 2 ; 2 , 2 ; 4 , 2 ; 6 , 3 ; 3 , 3 ; 5 , 4 ; 2 , 4 ; 4 , 4 ; 6 , 5 ; 3 , 5 ; 5 , 6 ; 2 , 6 ; 4 , 6 ; 6 } 𝑀𝑅 2 = 𝑀𝑅. 𝑀𝑅 (^1 0 1 0 ) (^0 1 0 1 ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Una relación 𝑹 en 𝑨 es transitiva, si y solo si 𝑹 𝟐 ⊆ 𝑹. Determine el valor de verdad (V o F) de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a) R es reflexiva. b) R es simétrica. c) R es antisimétrica. d) R es transitiva. (^) 𝑽 𝑽 𝑽 𝑭