Repaso de Probabilidad: Conceptos Básicos y Distribuciones de Probabilidad, Diapositivas de Probabilidad

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Repaso de Probabilidad

Parte I

Conceptos b´asicos de Probabilidad

Algunas definiciones b´asicas en Probabilidad (cont.)

(^4) Evento: Es un subconjunto (colecci´on) de las salidas b´asicas del espacio muestral Ω. Se dice que un evento ha ocurrido o sucedido, si al observar un fen´omeno aleatorio o realizar un experimento aleatorio, alguno de los elementos del evento ocurre. (^5) Espacio de eventos (S): Una colecci´on de eventos. Formalmente se debe cumplir con ser una σ-´algebra.

Asignando probabilidades a eventos

Existen dos tipos de experimentos aleatorios E: (^1) Esencialmente –y bajo las mismas condiciones– son repetidos una y otra vez. (^2) Los que son ´unicos y por lo tanto no pueden repetirse. Dos tipos de probabilidad: (^1) Probabilidad objetiva: medida que indica la verosimilitud de una salida ω espec´ıfica en un experimento aleatorio repetible. Se puede obtener mediante: i. (^) Repitiendo el experimento much´ısimas veces (enfoque frecuentista). ii. (^) Te´oricamente (donde se asume que cada ω es igualmente probable) (enfoque cl´asico o de Laplace). (^2) Probabilidad subjetiva: medida que indica la verosimilitud de una salida ω espec´ıfica en un experimento aleatorio ´unico e irrepetible.

Probabilidad Cl´asica (cont.)

Axiomas de Kolmogorov

I. P(Ω) = 1

II. (^) P(A) ≥ 0 para cualquier evento A. III. (^) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) siempre que A ∩ B = ∅.

Probabilidad Subjetiva

Las probabilidades subjetivas se basan en: El grado de credibilidad sobre la ocurrencia o no de un evento. En informaci´on disponible sobre el evento de inter´es (poca o ninguna). Esta probabilidad es un n´umero en el intervalo [0, 1] que refleja la confianza que se tenga sobre la veracidad de una determinada proposici´on, y en consecuencia nos ayuda a tomar una determinada decisi´on o acci´on. Frecuentemente se asignan cuando los eventos ocurren una sola vez.

C´alculo Combinatorio: resumen

T´ecnicas de conteo:

Muestras con reemplazo sin reemplazo

con orden nk^ (n−n!k)!

sin orden

(n+k− 1 k

(n+k− 1 n− 1

) (n k

( (^) n n−k

Muestreo e independencia

Muestreo sin reemplazo: cuando se muestrea sin reemplazo a partir de una poblaci´on finita, NO regresamos el elemento seleccionado a la poblaci´on original. De tal manera que las salidas sucesivas NO ser´an independientes. As´ı,

P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) Muestreo con reemplazo: cuando se muestrea con reemplazo a partir de una poblaci´on finita, estamos regresando cada elemento seleccionado a la poblaci´on original antes de la siguiente selecci´on. De tal manera que las salidas sucesivas SI ser´an independientes. As´ı,

P(A ∩ B) = P(A)P(B)

Parte II

Variables aleatorias y distribuciones de

probabilidad univariadas

Variables Aleatorias: Definici´on formal

Una variable aleatoria (v.a) es una funci´on f : Ω → R que puede usarse para identificar eventos num´ericos que son de inter´es en un experimento aleatorio.

Notaci´on

U, V , W , X , Y , Z , · · · → variables aleatorias u, v , w , x, y , z, · · · → valores o realizaciones de las variables aleatorias

Variables Aleatorias: Ejemplo 2

Sea (Ω, S, P) un espacio de probabilidad y sea A un evento tal que A ⊆ Ω. La v.a definida como

X (ω) =

1 ω ∈ A 0 ω /∈ A se le conoce como funci´on indicadora.

Soporte de una v.a

El SOPORTE de una v.a se define como el conjunto de valores que hacen que su “densidad” (o sea probabilidad) sea positiva. Algunos autores consideran que el “rango de la v.a” es el conjunto de posibles valores (n´umeros reales) que toma.

Propiedades de las variables aleatorias

A. (^) Funci´on de probabilidad: a) (^) Caso discreto: fX (x) = P(X = x) Tambi´en conocida como funci´on masa de probabilidad. b) (^) Caso continuo:

P(a ≤ X ≤ b) =

∫ (^) b

a

fX (x)dx

Tambi´en conocida como ley de probabilidad o funci´on de densidad. Esta funci´on satisface lo siguiente: i. (^) fX (x) ≥ 0, para todo x ∈ SX. ii. (^) ∑

x∈SX

fX (x) = 1 (caso discreto) ∫

SX

fX (x)dx = 1 (caso continuo)

Propiedades de las variables aleatorias (cont.)

B. (^) Funci´on de distribuci´on de probabilidad (acumulada): Tanto en el caso continuo como discreto:

FX (x) = P(X ≤ x), ∀ x ∈ SX Esta funci´on satisface lo siguiente: i. (^0) ≤ FX (x) ≤ 1, para todo x ∈ SX. ii. (^) Si a y b son dos n´umeros tales que a < b, entonces FX (a) ≤ FX (b). Es decir, la funci´on de distribuci´on es no decreciente. iii. (^) Si a y b son los valores m´as extremos, esto es, −∞ y ∞, entonces FX (−∞) = 0, y Fx (∞) = 1. iv. (^) Para el caso continuo: limh→ 0 + FX (x + h) = x, para todo x ∈ Sx. Es decir, la funci´on de distribuci´on es continua por la derecha. Si adem´as X tiene f.d.p fX (x), se cumple

F ′ (u) = dF dxX

∣∣ ∣x=u^ =^ fX (u)