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En el Valle de Sula UNAH-VS Departamento de F´ısica
Gu´ıa No. 3 LF 100
TRATAMIENTO DE ERRORES
Objetivos
- Conocer los diversos par´ametros estad´ısticos que describen una serie de datos.
- Aprender como emplear correctamente las cifras significativas.
- Calcular la propagaci´on de errores a las medidas indirectas.
- Determinar el espesor de placas con el micr´ometro.
- Determinar la densidad de un bloque de madera.
- Determinar la capacidad y el volumen de un tubo de PVC.
Aparatos y Materiales
Regla Micr´ometro
Pie de Rey
Cubos de madera Tubos
Placas
Alambre
Balanza de precision
Marco Te´orico
Introducci´on
La medici´on es el proceso por el cual cuantificamos nuestra experiencia con el mundo exterior. Existen dos tipos de mediciones:
- Mediciones directas
- Mediciones indirectas
Las mediciones directas son aquellas que se han realizado con instrumentos que han sido calibrados para tomar la medici´on de inter´es. Como usar una regla, un pie de rey, o una balanza. Las mediciones indirectas son aquellas que se obtienen mediante el uso de alguna formula matem´atica haciendo uso de las mediciones directas. Como el volumen de un cubo calculado a partir de sus dimensiones. Aunque es imposible conocer todas las causas del error es conveniente conocer todas las causas importantes y tener una idea que permita evaluar los errores m´as frecuentes. Las principales causas que producen errores se pueden clasificar en:
Error debido al instrumento de medida: Son aquellos debido al dise˜no y fabricaci´on de los instrumentos. Con el paso del tiempo a estas se les a˜nade las imperfecciones por desgaste.
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Error debido al operador: Es aquel debido a la imperfecci´on de los sentidos de un ope- rador o la habilidad que posee este para efectuar las mediciones.
Error debido a los factores ambientales: Estos son debidos a factores externos. Algunos de ejemplos de estos son la dilataci´on lineal debido a la temperatura, la humedad, el polvo, la suciedad, etc.
Precisi´on y exactitud
La precision de una medida es que tan cerca est´an las medidas entre si. Esta es una medida de dispersi´on, usualmente se expresa mediante la desviaci´on est´andar y solo depende del conjunto de mediciones. Si se tienen varios valores para la misma medida pero est´an muy alejados entre si, o en otras palabras, dispersos, se dice que la medida es menos precisa. Esto no tiene relaci´on con el valor verdadero de la medici´on. En las siguientes secciones se ver´a que este par´ametro esta directamente relacionado con la incertidumbre de una medici´on. La exactitud de una medida es la proximidad que existe entre el valor medido y el valor verdadero de una medida. Este par´ametro esta directamente relacionado con el error de una medida. Entre mas peque˜no es el error se dice que la medida es mas exacta. Es ´util hacer esta distinci´on para saber diferenciar entre error absoluto e incertidumbre abso- luta, conceptos en los que se profundiza en las siguientes secciones.
Cifras significativas
En cualquier medici´on, las cifras significativas son los d´ıgitos que se conocen con certeza, m´as un d´ıgito que es incierto. Existen varias reglas para determinar que d´ıgitos de un numero son significativas y cuales no. Los d´ıgitos en negrita son significativos.
- En n´umeros que no contienen ceros, todos los d´ıgitos son significativos. Ejemplos:
3.142 cuatro cifras significativas 467 tres cifras significativas
- Todos los ceros entre d´ıgitos significativos son significativos. Ejemplos:
7.053 cuatro cifras significativas 302 tres cifras significativas
- Los ceros a la izquierda del primer d´ıgito que no es cero sirven solamente para fijar la posici´on del punto decimal y no son significativos. Ejemplos: 0. 56 dos cifras significativas 0.0 789 tres cifras significativas
- En un n´umero con d´ıgitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del ultimo n´´ umero diferente de cero son significativos. Ejemplos:
43.00 cuatro cifras significativas 0.00 200 tres cifras significativas
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Donde < x > es el valor central de la medici´on y ∆x es la incertidumbre absoluta. La incertidumbre absoluta es la cantidad que determina los limites del intervalo de valores donde confiamos que se encuentra el valor real de la medida. Es una medida de dispersi´on de los datos. Como ejemplo: g = (9. 74 ± 0 .06) m s^2 Cuando se hacen varias mediciones directas el valor central de estas mediciones esta dado por la formula: < x >=
n
xi
De la misma manera, cuando se tienen varias mediciones la incertidumbre absoluta es la desviaci´on est´andar y su formula es:
∆x =
(xi− < x >)^2 n − 1
Donde: xi → Cada una de las medidas n → El numero de medidas
Cuando se tienen medidas indirectas, es decir un valor calculado a partir de mediciones di- rectas, el valor central se calcula haciendo uso de los valores centrales de cada una de las medidas directas. Para calcular el valor de la incertidumbre absoluta se tiene dos posibles m´etodos mencionados en la secci´on de propagaci´on de errores.
Propagaci´on de errores
El hecho de que incertidumbres de las medidas originales se transfieran a cualquier medida indirecta que las involucre es conocido como propagaci´on de incertidumbres. La incertidum- bre de las medidas indirectas se pueden calcular con el m´etodo de derivadas parciales. Los resultados se expresan de la siguiente manera:
q =< q > +∆q
El m´etodo es utilizado para calcular la incertidumbre absoluta de una medici´on indirecta. Es importante mencionar que el metodo no aplica a las mediciones directas. A continuaci´on se plantea la formula y se detalla su uso en el ejemplo.
M´etodo diferencial
∆q =
∂q ∂x ∆x
∂q ∂y ∆y
∂q ∂z ∆z
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Presentaci´on de resultados
La incertidumbre absoluta debe tener una sola cifra significativa. Ejemplos:
0053 → 0. 005
0055 → 0. 006
56 → 20
60 → 300
En los dos ´ultimos ejemplos se hace una estimaci´on de orden del numero para que posea una sola cifra significativa. Es decir, llevarlo a un valor entero. Que puede ser mayor o menor dependiendo del numero. El valor central se debe ajustar al numero de decimales que posea la incertidumbre absoluta. En el caso de que no tenga decimales la incertidumbre se deber´a de ajustar el valor central al orden de magnitud respecto a la ubicaci´on de la cifra significativa de la incertidumbre absoluta. Ejemplos:
La incertidumbre absoluta es de 0.005 el valor central es de 45.62342. Ya que la in- certidumbre absoluta tiene 3 decimales el valor central tambien tiene que tener este numero de decimales. Entonces se redondea el valor central a 45.623 y la medida queda expresada como
- 623 ± 0. 005
Se tiene una incertidumbre absoluta de 60 y un valor central de 364.4645 como la incertidumbre absoluta es del orden de las decenas el valor central se redondea a este mismo orden. Por lo tanto se redondea 364.4645 al orden de las decenas, que es 360. La medida queda expresada como: 360 ± 60
Incertidumbre relativa y porcentual
La incertidumbre se define como un par´ametro no negativo que caracteriza la dispersi´on de los valores atribuidos a una medida, esta no debe confundirse con el error de una medida. El valor de la incertidumbre relativa nos indica la precision de nuestro montaje o medici´on. La formula para calcular la incertidumbre relativa es:
Ir =
∆x < x >
La incertidumbre porcentual simplemente es la incertidumbre relativa multiplicada por 100:
Ip = Ir × 100 = ∆x < x >
× 100
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Figura 2: La lectura 28 en la escala y 25 en la escala del nonio da 28.25 mm
La pieza que se desea medir se coloca entre las superficies de medida. A continuaci´on, se aprieta ligeramente la patilla m´ovil contra la pieza. Durante la lectura, se considera la marca cero del nonio como coma que separa los enteros de los decimales. Se leen los mil´ımetros enteros en la escala, a la izquierda de la marca del cero, y se busca en la parte a la derecha de la marca cero, la marca del nonio que coincide con una marca de la escala. Esta marca del nonio da las d´ecimas de mil´ımetro.
Micr´ometro
Mediante el micr´ometro se puede aumentar la exactitud de la medici´on en un orden de magni- tud. La pieza a medir se coloca entre las superficies de medici´on. Seguidamente se aproxima el husillo a la pieza, girando el escape. Cuando est´e en vac´ıo se ha alcanzado la presi´on necesaria para la medici´on pudi´endose proceder a la lectura. Los mil´ımetros y los medio-mil´ımetros se leen en la escala del manguito, y las cent´esimas de mil´ımetro en el tambor. Si el tambor no cubre un medio mil´ımetro, est´e deber´a sumarse a las cent´esimas.
Figura 3: Micr´ometro y sus partes
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Ejemplos
Ejemplo 1: Considere las siguientes mediciones tomadas en un laboratorio con una regla. Expresar las mediciones de la forma L =< L > ±∆L
n L 1 12. 2 12. 3 12. 4 12. 5 12.
Tabla 1: Mediciones con regla
Soluci´on: Como primer paso se calcula el valor central de la medida haciendo uso de la media aritm´etica.
< L >=
El segundo paso es calcular la incertidumbre absoluta haciendo uso de la desviaci´on est´andar.
∆L =
(12. 32 − 12 .35)^2 + (12. 35 − 12 .35)^2 + (12. 34 − 12 .35)^2 + (12. 38 − 12 .35)^2 + (12. 36 − 12 .35)^2
∆L =
(− 0 .03)^2 + (0)^2 + (− 0 .01)^2 + (0.03)^2 + (0.01)^2
Obteni´endose as´ı el resultado final:
L = 12. 35 ± 0. 02
Notese que el valor de la incertidumbre absoluta fue redondeado para solo dejarle una cifra significativa y as´ı cumplir con la regla.
Ejemplo 2: El volumen de un cilindro hueco puede calcularse mediante la siguiente expresi´on:
V =
π 4 h(D^2 − d^2 )
Si h, d, y D se han medido de tal forma que:
h = (12. 1 ± 0 .3)cm
D = (5. 3 ± 0 .6)cm
d = (2. 8 ± 0 .1)cm
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∂V
∂D
∂D
( (^) π 4 h(D^2 − d^2 )
π 2 hD
∂V ∂d
∂d
( (^) π 4 h(D^2 − d^2 )
π 2 hd
Se sustituyen las derivadas en la formula para la incertidumbre absoluta:
∆V =
π 4 (D^2 − d^2 )(∆h)
( (^) π 2 hD(∆D)
π 2 hd(∆d)
Los valores de h, D, y d son simplemente los valores centrales de cada una de las medi- ciones y los valores de ∆h, ∆D, y ∆d son la incertidumbre absoluta de cada medici´on. Entonces se sustituyen los valores en la ecuaci´on:
∆V =
π 4
( (^) π 2
× 12. 1 × 5 .3(0.6)
π 2
× 12. 1 × 2 .8(0.1)
= 60.8622 cm^3 Ahora ya se tiene el valor central y la incertidumbre absoluta de la medida, lo ´unico que resta es expresarla con la cantidad de cifras significativas correcta. La incertidumbre absoluta se escribe con una sola cifra significativa, ya que ∆V tiene mas de una cifra significativa se tiene que reducir el numero de cifras significativas que esta tiene. Para representar el numero 60.8622 con una cifra significativa se tiene que expresar como 60. El valor central se debe ajustar de acuerdo al orden de la incertidumbre absoluta. En- tonces tenemos que redondear el valor al orden de las decenas. Por lo tanto nuestro valor central seria 190. El valor del volumen quedar´ıa expresado como:
V = (190 ± 60) cm^3
b. La incertidumbre relativa y porcentual del volumen calculado usando el m´etodo dife- rencial. La incertidumbre relativa simplemente es la incertidumbre absoluta dividida entre el valor central. El volumen del cilindro es:
V = (190 ± 60) cm^3
La incertidumbre absoluta es 60 y el valor central es 190. Consecuentemente la incerti- dumbre relativa es: Ir =
∆V
< V >
La incertidumbre porcentual es la incertidumbre absoluta multiplicada por 100. Enton- ces: Ip = Ir × 100 = 0. 3158 × 100 = 31.58 %
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Procedimiento Experimental
- Mediciones con regla y balanza Medir cada una de las dimensiones de un bloque de madera con una regla graduada y su tambi´en su masa usando una balanza. Se debe evitar colocar la regla de canto al efectuar la medici´on. Hacer cada una de las mediciones 5 veces y apuntar los resultados en la Tabla 2. No. Longitud (cm) Ancho (cm) Espesor (cm) Masa (kg) 1 2 3 4 5
Tabla 2: Mediciones con regla y balanza
- Mediciones con pie de rey Medir la altura, di´ametro externo, y di´ametro interno de un tubo de PVC. Repetir las mediciones 5 veces y anotar los resultados en la Tabla 3.
No. φi (mm) φe (mm) h (mm) 1 2 3 4 5
Tabla 3: Mediciones con pie de rey
- Mediciones con el micr´ometro Medir el espesor de una placa. Repetir las mediciones 5 veces y anotar los resultados en la Tabla 4.
No. E Placa (mm) 1 2 3 4 5
Tabla 4: Mediciones con micr´ometro
