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En el Valle de Sula UNAH-VS Departamento de F´ısica
Pr´actica No. 4 LF-
ERRORES EN LAS MEDICIONES
Objetivos
Al finalizar esta pr´actica el estudiante ser´a capaz de:
Utilizar los conceptos de cifras significativas, error absoluto y error relativo en un caso pr´actico sencillo.
Aparatos y materiales
Regla
Balanza
Marco te´orico
Para todo estudiante de ciencias es importante utilizar los conceptos de cifras significativas, error absoluto y error relativo en las mediciones que realiza. Esto se basa en el hecho de que siempre que se realizan mediciones se cometen errores debido a la impericia de la persona que est´a efectuando la medici´on, o las imperfecciones del aparato empleado.
Clasificaci´on de los errores
Al momento de hacer un an´alisis de los errores podemos encontrar errores de dos tipos:
- Un error sistem´atico es el que siempre produce un error del mismo signo, por ejemplo un error que tiende a hacer todas las observaciones de un objeto, mas peque˜nas.
- Un error casual o al azar es uno en el que los errores positivos y negativos son igualmente probables.
Dentro de los errores sistem´aticos podemos encontrar tres tipos:
- Instrumentales: causados por la imprecisi´on de los aparatos.
- Personales: depende de la experiencia y habilidad del experimentador.
- Externos: causados por condiciones externas como viento, temperatura, humedad, calor, etc.
Tipos de mediciones
- Medida directa: una medici´on es directa cuando se dispone de un instrumento de medida que la obtiene comparando la variable a medir con una de la misma naturaleza f´ısica.
- Medida indirecta: son aquellas que se obtienen a partir del uso de ecuaciones matem´ati- cas en las que se involucran las mediciones directas.
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Cifras significativas
En cualquier medici´on, las cifras significativas son los d´ıgitos que se conocen con certeza, m´as un d´ıgito que es incierto. Existen varias reglas para determinar que d´ıgitos de un numero son significativas y cuales no. Los d´ıgitos en negrita son significativos.
- En n´umeros que no contienen ceros, todos los d´ıgitos son significativos. Ejemplos:
3.142 cuatro cifras significativas 467 tres cifras significativas
- Todos los ceros entre d´ıgitos significativos son significativos. Ejemplos:
7.053 cuatro cifras significativas 302 tres cifras significativas
- Los ceros a la izquierda del primer d´ıgito que no es cero sirven solamente para fijar la posici´on del punto decimal y no son significativos. Ejemplos: 0. 56 dos cifras significativas 0.0 789 tres cifras significativas
- En un n´umero con d´ıgitos a la derecha del punto decimal, los ceros a la derecha del ultimo n´´ umero diferente de cero son significativos. Ejemplos:
43.00 cuatro cifras significativas 0.00 200 tres cifras significativas
- En un n´umero que no tiene punto decimal y que termina con uno o m´as ceros (como 3600), los ceros con los cuales termina el n´umero pueden ser o no significativos. El n´umero es ambiguo en t´erminos de cifras significativas. Antes de poder especificar el n´umero de cifras significativas, se requiere informaci´on adicional acerca de c´omo se obtuvo el n´umero. Si el n´umero es resultado de una medici´on, los ceros probablemente no son significativos. Si el n´umero ha sido contado o definido, todos los d´ıgitos son significativos. Para esta pr´actica estos ceros no ser´an significativos. Ejemplos:
36 00 dos cifras significativas 285 000 tres cifras significativas
- Cuando un numero este expresado en notaci´on cient´ıfica todos los d´ıgitos son significa- tivos. Ejemplos:
5.60× 103 3 cifras significativas 1 × 105 1 cifra significativa 6.000× 102 4 cifras significativas
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de la desviaci´on para la observaci´on numero uno de la tabla, el resto de las desviaciones se muestran en la columna tres de la tabla.
d = 12. 32 − 12 .35 = − 0. 03
La desviaci´on media esta dada por la suma del valor absoluto de todas las desviaciones divididas entre el numero de observaciones.
d.m. =
d.m. = 0. 02
La desviaci´on media mejorada se calcula dividiendo el valor de las desviaci´on media entre la ra´ız del numero de observaciones.
d.m.m. =
Con los resultados anteriores se puede expresar la longitud del cubo de la siguiente forma:
L = (12. 35 ± 0 .01) cm
Siempre hay que tener en cuenta que es necesario escribir las unidades de medici´on utilizadas. Al momento de expresar una medici´on como anteriormente se mostro se tienen que considerar dos reglas generales:
- En el error absoluto solo se utiliza una cifra significativa.
- El numero de decimales en la media aritm´etica debe de ser igual al numero de decimales que hay en el error absoluto.
Para el correcto cumplimiento de estas dos reglas se pueden utilizar las reglas de redondeo ya conocidas.
Error relativo o porcentual
La importancia de un error experimental no es tanto su valor absoluto sino su valor relativo o porcentual. El error porcentual permite saber a simple vista que tan imprecisas son las mediciones.Error relativo o porcentual significa el n´umero de partes de cada 100 partes que un n´umero esta errado. El error relativo se calcula con la siguiente ecuaci´on:
error relativo = error absoluto media aritmetica
Propagaci´on de errores
Es com´un que las mediciones realizadas en un laboratorio sean utilizadas para calcular otras cantidades f´ısicas. Se pueden medir las 3 dimensiones de un cubo de madera, y utilizar es- tas para calcular el volumen utilizando una ecuaci´on. El error que existe en las mediciones realizadas se acarrea al resultado final del volumen. Este acarreo de los errores de las me- diciones directas (aquellas realizadas con una herramienta como una regla) a las mediciones
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indirectas (aquellas que se obtuvieron por medio de uso de ecuaciones) se conoce como pro- pagaci´on de errores. Existen diversas reglas y modelos matem´aticos para calcular el error que se transfiere a la medida final, pero en este laboratorio utilizaremos dos reglas que aplican a las multiplicaciones, divisiones, sumas y restas.
El error absoluto de una suma o resta es la suma de los errores absolutos de las cantidades individuales.
El error relativo de un producto o cociente es la suma de los errores relativos de los operandos.
Ejemplo
Se realizaron las mediciones de alto, largo y ancho de un cubo de madera. En la siguiente tabla se anotaron los datos.
ALTO LARGO ANCHO 5.54 cm 4.89 cm 4.35 cm 5.55 cm 4.87 cm 4.36 cm 5.54 cm 4.86 cm 4.37 cm
Sabemos que estas son mediciones directas por lo que para encontrar el error relativo y la media aritm´etica de cada medici´on debemos aplicar todo el modelo matem´atico anteriormente desarrollado. Para la resoluci´on de este problema se tienen que seguir los siguientes pasos:
- Calcular la media aritm´etica de cada dimension.
- Calcular las desviaciones para cada una de las mediciones de cada dimension.
- Calcular la desviaci´on media.
- Calcular el error absoluto (desviaci´on media mejorada).
- Expresar las mediciones de la siguiente forma: media aritmetica ± error absoluto
- Calcular el error relativo.
- Calcular el volumen del cubo utilizando la regla aplicable para la propagaci´on de errores.
1. C´alculo de la media aritm´etica de cada dimensi´on
media aritm´etica del alto =
= 5.55 cm
media aritm´etica del largo =
= 4.87 cm
media aritm´etica del ancho =
= 4.36 cm
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6. C´alculo del error relativo
Error relativo del alto =
Error relativo del largo =
Error relativo del ancho =
7. C´alculo del volumen y sus errores
El volumen de un cubo se calcula multiplicando sus tres dimensiones. Es decir volumen = alto × largo × ancho. El volumen medio se calcula utilizando los valores medios de cada una de las mediciones directas:
volumen medio = 5. 55 × 4. 87 × 4 .36 = 117.84 cm^3
En este caso es necesario aplicar la regla dos de la propagaci´on de errores para poder encontrar los errores (relativo y absoluto) del cubo de madera. Se utiliza la regla dos ya que la formula para el volumen de un cubo consiste en una serie de multiplicaciones.
El error relativo de un producto o cociente es la suma de los errores relativos de los operandos.
error relativo volumen = error relativo alto + error relativo largo + error relativo ancho error relativo volumen = 0.00036 + 0.00082 + 0.00137 = 0. 00255
Ya que se conoce la expresi´on para el error relativo de una medida se puede utilizar esta misma para despejar para el error absoluto:
error relativo volumen = error absoluto volumen valor del volumen medio error absoluto volumen = error relativo volumen × valor del volumen medio
Utilizando esta ecuaci´on se puede encontrar el error absoluto del cubo de madera:
error absoluto del volumen = 117. 87 × 0 .00255 = 0. 300
Con este ultimo calculo es posible expresar el volumen del cubo de una manera correcta siempre teniendo en cuenta que:
- El error absoluto solo tiene que tener una cifra significativa.
- La media aritm´etica tiene que tener el mismo numero de decimales que tiene el error absoluto.
volumen = (117. 8 ± 0 .3) cm^3
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Procedimiento experimental
- Mediciones con regla y balanza Las mediciones que se muestran en la tabla 1 fueran tomadas en un practica de laboratorio.
No. Longitud (cm) Ancho (cm) Espesor (cm) Masa (kg) 1 10.3 5.6 2.3 0. 2 10.5 5.7 2.5 0. 3 10.2 5.8 2.2 0. 4 10.2 5.9 2.3 0. 5 10.1 5.2 2.4 0.
Tabla 1: Mediciones con regla y balanza
C ´ALCULOS
Instrucciones generales: Desarrollar lo que se pide a continuaci´on usando la cantidad de cifras significativas adecuadas y presentando los resultados de manera correcta.
I. Para los datos de la Tabla 1.
- Expresar la longitud del cubo de la forma L =< L > ±∆L
- Expresar el ancho del cubo de la forma A =< A > ±∆A
- Expresar el espesor del cubo de la forma E =< E > ±∆E
- Expresar la masa del cubo de la forma m =< m > ±∆m
- Encontrar el volumen del cubo usando los datos de los incisos del 1 al 3 y haciendo uso correcto de la propagaci´on de errores. Expresarlo de la forma V =< V > ±∆V
- Calcular la densidad del cubo haciendo uso de los datos de los inciso 4 y 5. Expresar la respuesta de la forma ρ =< ρ > ±∆ρ. Recordar que Densidad = Masa/Volumen.
