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ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS
INTRODUCCIÓN
El trabajo presente esta destinado al estudio del Método de la Ecuación de los Tres Momentos en la cual utilizaremos los diagramas de momento flector reducido M/EI para poder determinar las reacciones y momentos. pregunta 1 Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los soportes. Por aplicación sucesiva de esta ecuación a segmentos de la viga, se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse simultáneamente para los momentos internos desconocidos en los soportes.
METODO DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS I. GENERALIDADES OBJETIVOS Ø Repasar y ver otras metodologías para el cálculo de reacciones y momentos en vigas, tales como: El Método de la Viga Conjugada y el Método de Área de Momentos para poder desarrollar la ecuación dicha. Ø Capacitar al estudiante para que investigue el efecto de las fuerzas aplicadas sobre los cuerpos, y determine el comportamiento de estos bajo la aplicación de dichas fuerzas, incluyendo en ese comportamiento la deformación y distribución de los esfuerzos, lo mismo que las fallas en los distintos puntos del cuerpo. GLOSARIO DE TERMINOS USADOS EN EL INFORME 1.Momento Flector: Se denomina momento flector un momento de fuerza resultante de una distribución de tensiones sobre una sección transversal a lo largo del que se produce la flexión.
- Flexión: En ingeniería se denomina flexión al tipo de deformación que presenta un elemento estructural alargado en una dirección perpendicular a su eje longitudinal. El término "alargado" se aplica cuando una dimensión es dominante frente a las otras. Un caso típico son las vigas, las que están diseñas para trabajar, principalmente, por flexión. Igualmente, el concepto de flexión se extiende a elementos estructurales superficiales como placas o láminas. 3.Rigidez: Es la capacidad de un objeto sólido o elemento estructural para soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones o desplazamientos.
- Viga: En ingeniería se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. 5.Viga real: Viga sometida a cargas, las cuales le producen deformaciones. 6.Viga conjugada: Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicada del lado de lado de la compresión. 7.Ecuación de los tres momentos: Ecuación que relaciona los momentos internos de una viga continua e tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los soportes.
Primera pregunta ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS La ecuación de los tres momentos fue desarrollada por el ingeniero francés Clapeyron en 1957. Esta ecuación relaciona los momentos internos de una viga continua en tres puntos de soporte con las cargas que actúan entre los soportes. Por aplicación sucesiva de esta ecuación a segmentos de la viga, se obtiene un conjunto de ecuaciones que pueden resolverse simultáneamente para los momentos internos desconocidos en los soportes. Una forma general de la ecuación de los tres momentos puede obtenerse al considerar un segmento de una viga continua, figura 9-19 a, que pasa sobre los soportes izquierdo, central y derecho ,L,C y R. Las cargas entre los soportes son arbitrarias y a los momentos internos desconocidos en los soportes se les llamara , y. Además, la parte izquierda de la viga tiene propiedades geométricas y ; la parte derecha tiene propiedades y. Se supone que los soportes no sufren asentamientos. Queremos determinar los momentos internos en L,C y R, que actúan e las direcciones definidas como positivas sobre la viga en la figura 9-19 a. La derivación se basara en el método de la viga conjugada. Como la viga “real” es continua sobre los soportes, la viga conjugada tiene articulaciones en L,C y R. Mediante el principio de la superposición, los diagramas M/EI para las
Sumamos ahora momentos respecto al punto R' para el segmento derecho, y obtenemos Al igualar =- y simplificar, se obtiene ...............9-
Las sumatorias se han agregado a los términos del miembro derecho de la ecuación para que los diagramas M/EI para cada tipo de carga aplicada puedan tratarse por separado. En la practica, los tipos mas comunes de cargas so las concentradas y las distribuidas, como se muestra en la figura 9-20.si las aéreas y distancias centroidales para sus diagramas M/EI se calculan y sustituyen en la ecuación anterior, tenemos. EC(9-4) DONDE , , =Momentos de inercia y longitudes de claros izquierdo y derecha sobre la viga; se supone que actúan e el sentido positivo, como se muestra en la figura 9-19(a). , , , , = cargas concentradas y cargas uniformes distribuidas izquierda y derecha sobre la viga; se supone que actúan en el sentido positivo, como se muestra en la figura 9-19(a). , = fracción de la longitud del claro donde actúa la carga concentrada, desde el soporte izquierdo o derecho, figura9-20. Como caso espacial, si el momento de inercia es constante para el claro entero, esto es, = , tenemos. EC(9-5) La aplicación de las ecuaciones (9-3) a la (9-5) es bastante directa, aunque debe tenerse cuidado de respetar la convección de signo positivo para los termino9s de momento y carga. Además, debe usarse un conjunto de unidades que sea consistente. Los siguientes ejemplos ilustran comaplicar esas ecuaciones.
III EJE
MPLOS
MÉTODO DE TRES MOMENTOS Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. Las condiciones de los extremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. Luego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas. Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura. Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (‘1’, ‘2’ y ‘3’), donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas sobre los tramos ‘L12 ’ y ‘L23 ’ Se tendría entonces:
Note que los momentos flectores (‘M1 ’, ‘M2 ’, ‘M3 ’) se han dispuesto en su sentido positivo, según el convenio establecido. Las fuerzas cortantes ‘V2i ’ y ‘V2d ’ no son necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que exista en el punto ‘2’ Luego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que ‘M2 < M1 ’ y ‘M2 < M3 ’. Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido ‘M2 < M1 ’ y ‘M2 < M3 ’.
Posteriormente podemos establecer las expresiones de deflexión de los puntos ‘1’ y ‘3’ respecto a la tangente que pasa por ‘2’: Finalmente, al sustituir ‘t 1/2 ’ y ‘t 3/2 ’ en la ecuación 5.4.1, se obtiene: Esta ecuación expresa la una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos. Si los puntos ‘1’, ‘2’ y ‘3’ están al mismo nivel en la viga flexionada, los términos ‘h1 ’ y ‘h3 ’ se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuación se hace cero.
