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Cátedra: Resistencia de materiales Flexión
CAPITULO III
FLEXION
3.1. Introducción.
Se entiende por flexión cuando las secciones transversales de las barras están solicitadas por momentos flectores. Cuando el momento flector en una sección es la única solicitación para lo cual los esfuerzos de corte son nulos, se denomina flexión pura. Cuando el momento flector va acompañado de esfuerzos cortantes se denomina flexión simple. Las barras que trabajan principalmente a flexión se denominan vigas, siendo sus dimensiones transversales a su eje muchos menores que su longitud.
Para resolver los problemas relacionado con el cálculo de las barras a flexión, es necesario ante todo saber determinar las leyes de variación de los momentos flectores, esfuerzos de corte y esfuerzos normales.
3.2. Barra rectas elásticas solicitadas a flexión pura.
3.2.1. Deformaciones.
Consideremos una barra recta de sección constante a la cual le aplicamos en sus extremos dos momentos flectores iguales y de signo contrario, cuyo plano de solicitación coincide con el eje de simetría y. Al no haber cargas en el tramo, el momento flector es constante e igual a M, la barra tomará una curvatura uniforme, o sea de radio constante y las fibras longitudinales se curvan según arcos de círculos paralelos al eje x (Fig. 3.1).
Analizando la deformación podemos observar que las fibras ubicadas en la parte convexa se alargan y las de la parte cóncava se acortan, existirán entonces fibras intermedias que mantendrán su longitud. De lo anterior resulta que las fibras que se alargan estarán solicitadas a tensiones de tracción, las que se acortan a tensiones de compresión y habrá una zona sin tensiones llamada capa neutra que es donde las fibras mantienen su longitud, esta capa neutra intercepta en forma perpendicular al plano de solicitación xy, cuya traza es el eje x (Fig. 3.1a).
(-)
(+) a)
dx capa neutra
.
a b
d c y
max
max
y
c^ z (+)
y (+)
ymax
ymax
O
(1+ ) dx dA
b) c)
.
x^ x
M M
d
x
Fig. 3.
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Durante la deformación por flexión, las secciones rectas de la barra permanecen planas y normales a las fibras deformadas, giran con respecto al eje z, de manera que su plano pasa siempre por el centro de curvatura O, esto se debe a la continuidad del material y fue una hipótesis enunciada por J. Bernoulli en 1705 y confirmado con medición directa en laboratorio y por la teoría de la elasticidad.
Una fibra longitudinal dA cualquiera a una distancia y del eje z, que antes de la deformación tenia una longitud dx (segmento ab), después de la deformación tendrá un incremento ε.dx, o sea una longitud (1+ ε)dx (segmento cd), (Fig. 3.1b).
El alargamiento de la fibra ε.dx es proporcional a la distancia y respecto del eje neutro, entonces de la similitud de los sectores circulares de radio ρ y ρ+y podemos escribir:
d (1^ x)dx^ dx y
(^11) x y
Despejando obtenemos:
x
y ε = ρ
1/ρ = k, es la curvatura de la barra.
Convención de signo. El eje x es positivo hacia la derecha y el eje y positivo hacia arriba, la curvatura es positiva cuando la barra se flexiona con su concavidad hacia arriba y el centro de curvatura O queda por arriba de la barra.
3.2.2. Tensiones normales por flexión.
Las deformaciones que estamos analizando debido al principio de linealidad entre tensiones y deformaciones, se desarrollan dentro del límite elástico, o sea σ = E.ε (capítulo I, punto 1.3), entonces sustituyendo la (3.1) en la (1.3), obtenemos:
x x
y σ = E.ε = E ρ
Así, las tensiones por flexión en la sección transversal de la barra varían linealmente desde el lugar geométrico de los puntos en donde σ = 0, o sea y = 0 hasta las fibras más alejadas, distancias y 1 , y 2. El eje transversal de la sección donde las tensiones normales son nulas se denomina eje neutro, o sea el eje z (Fig. 3.1c).
La resultante de las fuerzas elementales normales a la sección por condición de equilibrio debe ser nula, así:
x A
F = (^) ∫σ .dA = 0
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La teoría de Navier fue desarrollada suponiendo que la barra tiene un plano longitudinal de simetría en el cual actúa el plano de solicitación de momentos.
En el caso en el cual no se tiene un plano de simetría, se debe analizar cuando el momento de las fuerzas interiores respecto al eje y 1 se anula, esto es:
y1 1 1 1 A A
E
M = σ.z .dA = y .z .dA ∫ (^) ρ∫
My1 se anula si (^1 ) A
∫ y .z .dA^ =^0 , significa que los ejes y^1 y z^1 son los ejes principales de inercia
de la sección recta. Esta teoría es aún válida cuando el plano de solicitación no coincide con un eje de simetría de la sección, siempre que contenga a uno de los ejes principales de inercia de la misma.
Si el eje z también es un eje de simetría de la sección, el eje neutro coincidirá con el, y*max = ymax, y las tensiones normales máximas por flexión se sitúan en los puntos más alejados de la sección respecto al eje neutro, así:
z max (^) z x,máx x,máx z z
M .y M I W
σ = σ^ ∗ = = (3.7)
la relación (^) z z máx
I
W
y
= se denomina módulo resistente a flexión.
A los fines de diseño las tensiones máximas deberán cumplir con los limitantes:
σ x,máx ≤ σadm (^) x,máx adm σ^ ∗ ≤ σ∗
Si la sección tiene un solo eje de simetría coincidiendo con el plano de solicitación, las tensiones se calcularán tomando en cuenta las mayores distancias del eje neutro a las fibras mas alejadas:
z max x,máx z
M .y I
σ =
(3.8) z max x,máx z
M .y I
σ∗ =
Cuando el plano de solicitación pasa por el centroide peno no coincide con algunos de los eje principales de inercia de la sección, estamos ante el caso general de flexión oblicua (tema que se vera en el capitulo IV).
Si la barra esta sometida a un momento flector variable necesariamente ira acompañado de esfuerzos cortantes y la teoría precedente no es totalmente valida, dado que las secciones no permanecen planas. No obstante la experiencia y la teoría de la elasticidad muestran que el error es despreciable y podemos extender todo el análisis a la flexión simple.
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3.2.3. Energía de deformación por flexión.
La energía de deformación elástica de la barra flexionada podrá calcularse por el trabajo que realizará el momento al deformarse la barra, considerando la rotación relativa entre dos secciones:
1 dU M.d 2
= ϕ
Como
M
d dx E.I
ϕ = , tenemos:
M^2
dU dx 2E.I
2
L
1 M
U dx 2 E.I
= (^) ∫ (3.9)
3.3. Dimensionamiento de vigas elásticas a flexión.
En la mayoría de las vigas utilizadas en la construcción las secciones tienen uno o dos ejes de simetría y el centroide se ubica sobre uno o ambos ejes de simetría, normalmente el plano de solicitación coincidirá con un eje de simetría de la sección.
Presentamos las características de algunas secciones (Fig. 3.2).
Sección rectangular maciza: ancho b y altura h:
3 z
b.h I 12
= (^) máx h y 2
2 z z máx
I b.h W y 6
= = (^) max 2 z
6M
b.h
σ =
Sección circular maciza:
.d^4 I 64
π = (^) máx
d y 2
3
máx
I .d W y 32
π = = (^) max 3 z
32M
.d
σ = π
Secciones en I, T, U, L. Las características de éstas secciones comerciales están dadas por los respectivos fabricantes, o en su defecto deberán determinarse. En el apéndice D se indican las de algunos perfiles normalizados.
z
y
c
b
h c
ymax c
ymax c
ymax c y 1
y 2 c y^2 y 1
ymax
Fig. 3.
Los materiales más usados para vigas solicitadas a flexión son: el acero, el aluminio, la madera, el hormigón armado y otros materiales no convencionales de desarrollo tecnológico avanzado como el duraluminio, la fibra de carbono.
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Las integrales representan los momentos estáticos de las dos partes de la sección respecto al eje neutro. La posición del eje neutro, o sea ymax o y*max, se determinan para valores numéricos de E y las dimensiones de las áreas. Es evidente que el eje neutro depende de la relación de módulos E 1 /E 2 = m, y no se ubicará en el centroide de la sección como si fuera homogénea.
Para el caso de la figura 3.3a, resulta:
2 2 2 1 1 2 max 1 2
h m.h 2h .h y 2(m.h h )
Deformaciones.
El momento solicitante en una sección determinada deberá ser equilibrado por el momento resultante de las fuerzas actuando en la sección compuesta, esto según la (3.3), resulta:
1 2 1 2
1 2 2 2 z x x,1 x, A A A A A
E E
M = σ .y.dA = σ .y.dA + σ .y .dA•^ = y .dA + y • .dA ∫ ∫ ∫ (^) ρ ∫ (^) ρ ∫
En forma simple
z (^1 1 2 2 )
M = E .I +E .I
ρ (^) ( )
z 1 1 2 2
1 M
E .I E .I
ρ +
Tensiones normales.
Sustituyendo la segunda anterior en la segunda igualdad de la expresión (3.2), obtenemos:
( )
1 x,1 z 1 1 2 2
E
M .y E .I E .I
σ =
2 x,2 z 1 1 2 2
E
M .y E .I E .I
σ = •
3.5. Método de la sección transformada para cálculo de las tensiones en barras compuestas.
En ocasiones resulta practico calcular las tensiones en una sección compuesta, transformándola en una sección equivalente de un solo material. Esta transformación se realiza reemplazando los espesores de cada capa de material por una capa de un mismo material de espesor equivalente para resistir el mismo esfuerzo, tomándose en cuenta la relación de los módulos de elasticidad. Así como las deformaciones unitarias deben ser igualen en una misma capa, el esfuerzo en una capa cualquiera de altura dy y espesor equivalente, vale:
E 2 .ε.b 1 .dy = E 1 .ε.b 2 .dy
De donde:
2 2 1 1
E
b b E
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P
h h e
s
s
h x x L
Las tensiones para esta sección transformada en homogénea, y las tensiones en la sección real, serán:
z T 1 T
M
y I
σ = = σ y (^2) T^2 1
E
E
σ = σ (3.12)
Por ultimo, este método quizás sea mas practico aun, para vigas compuestas por mas de dos materiales.
3.6. Vigas de gran altura.
Cuando la altura h de la viga es del mismo orden de magnitud de la luz L entre apoyos (aprox. L ≤ 2h), la distribución de las tensiones difiere considerablemente de la distribución lineal y no son aplicables las hipótesis formuladas anteriormente. Estas vigas denominadas de gran altura deben estudiarse por la teoría de la elasticidad.
3.7. Vigas de sección variable.
En ocasiones suelen diseñarse vigas de sección variable con el fin de reducir su peso y mejorar la estética. La formula de Navier σ = M.y/I para viga en forma de cuña de espesor b pequeño y variación de altura suave, da resultados no exactos pero satisfactorios comparada con la teoría de la elasticidad. Para un ángulo de variación respecto al eje longitudinal de 20º, el error es del orden del 10 %.
En las vigas donde la sección varia, no solo puede variar el momento solicitante sino que varia el momento resistente W, lo que hace que las tensiones máximas no siempre se presenten en las secciones donde los momentos son máximos. Analicemos la viga en voladizo de ancho constante y altura variable solicitada por una carga P en el extremo (Fig. 3.4).
La tensión máxima en la fibra mas alejada del eje neutro de una sección s-s a una distancia x del extremo libre vale: σx= Mz,x /Wz,x.
La altura en la sección s-s es: hx = h + x.tgα. Por ejemplo, para un ángulo α = 5º podríamos tener un he = 2h, para α = 8º un he = 2,5h y para α = 11º un he = 3h.
Fig. 3.
El modulo resistente en la sección s-s, es:
2 2 2 x e z,x
b.h (^) b.h h h W 1 x 6 6 h.L
La tensión normal máxima en la sección s-s, vale:
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h 2 h 2
d 0
d 0
dx i dx s
x (+)
b)
h
h
y (+)
x (+)
L
a)
T L
Ti
Ti Ts
Lo
h.^ To
Ti
Ts
dx
Ti
Ts
.^
.
Fig. 3.
Si la variación de temperatura no es uniforme en la altura de la viga, el comportamiento es bastante diferente. Supongamos que las superficies superior e inferior de la viga sufren diferentes incrementos de temperatura y que entre las dos caras la variación de temperatura es lineal. Las fibras horizontales sufrirán alargamientos diferentes.
Supongamos que inicialmente la temperatura uniforme es To y luego de un incremento la temperatura de la cara superior sea Ts y de la cara inferior Ti. Las variaciones, serán:
∆Ts = Ts - To ∆Ti = Ti - To (3.15)
Observando la figura 3.5b, al suponer una variación lineal entre las dos superficies, podemos escribir la variación promedio que ocurrirá en la mitad de la altura, y la dilatación lineal, así:
s i o
T T
T
∆ = ∆L (^) o = αt .( ∆T ).Lo
Además, si las fibras sufren alargamientos diferentes, el efecto será parecido a un momento flector constante, las secciones permanecerán planas y rotaran respecto al eje z. El ángulo de rotación relativo entre dos secciones separadas un dx, será la diferencia de alargamiento divido la altura h, para ∆Ti ˃ ∆Ts, resulta:
i s t
T T
d dx h
θ = α y (^) t i^ s 1 d T T dx h
θ ∆ − ∆ = = α ρ
Y por la (3.15), obtenemos:
i s t
1 T T
h
= α ρ
Se observa que cuando Ti ˃ Ts, la viga se flexiona con la concavidad hacia arriba.
Si la viga esta restringida de dilatarse libremente o de rotar, o los cambios de temperatura no varían en forma lineal a lo alto de la sección, se generaran tensiones en las secciones por efecto de la variación de temperatura. La determinación de estas tensiones requiere métodos de resolución más avanzados que se aplica a sistemas indeterminados o híperestáticos.
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o
f
f f p
p p
f f
*^ descarga
3.9. Flexión elastoplástica.
En los análisis anteriores hemos supuestos vigas solicitadas a flexión que se deforman según la ley de Hooke, o sea materiales elásticos lineales. Consideremos ahora flexión en vigas donde el material por efecto del aumento de solicitaciones se deforman superando el limite elástico. Cuando esto sucede la distribución de las tensiones ya no es lineal sino que varía según los diagramas indicados en la figura 3.7, asumiendo que la tensión de fluencia es la misma en tracción que en compresión. Hay materiales que el comportamiento elastoplastico es diferente en tracción que en compresión (fundición, hormigón armado).
Los aceros estructurales tienen límites de fluencia bien definidos y experimentan grandes deformaciones durante la fluencia. Por ejemplo, el alargamiento proporcional elástico del acero común es 0,1 % mientras que el alargamiento máximo se aproxima al 1,5 %, o sea 15 veces mas. Un material con este comportamiento puede estudiarse mediante el modelo de tensión-deformación indicado en la figura 3.6, donde suponemos una plastificación perfecta después de superar el límite de fluencia, despreciando los efectos de endurecimiento por deformación, que queda como margen de seguridad. Fig. 3.
Sección rectangular.
Consideremos la viga de sección rectangular (doblemente simétrica) de material elastoplástico, solicitada a un momento flector cuyo plano de solicitación coincide con el eje y, flexión plana (Fig. 3.7). Cuando el momento flector es pequeño, la tensión máxima es menor que la tensión de fluencia, se comporta en forma elástica y la distribución de las tensiones normales es lineal y se obtiene con la formula de la flexión (σ = M.y/I). Esta situación se mantiene hasta que las tensiones en los puntos mas alejadas del eje neutro alcancen la tensión de fluencia. Las dilataciones de estas fibras extremas son iguales en valor absoluto, εf = εf, lo mismo que las tensiones de fluencia en tracción y compresión, σf = σf. En estas condiciones el eje neutro pasa por el centroide de la sección y la curvatura por la expresión (3.1), será:
f f
k h
ε = = ρ
x
b
h
y c
x
f max .
.
f f f
f f^ f^ f f
y (+)
z (+)
f *
p
p
Fig. 3.
Al seguir aumentando el momento flector, las tensiones de fluencia comienzan a penetrar en la sección en forma simultanea y continua aumentando la región plástica en forma simétrica
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Sección con un solo eje de simetría.
Si el plano de solicitación coincide con un eje de simetría de la sección (flexión plana), y el eje z no es un eje de simetría (es un eje principal de inercia), las fibras que llegarán primero a la fluencia serán las que están más alejada del eje z. Si aumenta la solicitación, la penetración plástica comenzará en esas fibras hasta que las fibras extremas más cercana al eje neutro, alcance también la tensión de fluencia. A partir de allí, la penetración avanzará en ambos extremos (no simétricamente), el eje neutro se irá desplazando y su posición podrá determinarse para cada situación, al igual que el valor de momento que provoca esa plastificación, dado que se pierde la proporcionalidad entre tensiones y deformaciones (Fig. 3.8).
Para ubicar al eje neutro utilizamos las ecuaciones de equivalencia, igualando los volúmenes de tensiones de tracción y de compresión dado que la solicitación resultante axial debe ser nula. El procedimiento consiste en definir una deformación de la sección, a partir de ella se establece un diagrama de distribución de tensiones tentativo y con las ecuaciones de equivalencia, se determina la posición del eje neutro para la condición que la resultante de las fuerzas axiales debe ser nula.
Para encontrar el momento plástico es necesario localizar el eje neutro en la situación de plastificación total, donde:
p p k (^) p h
ε + ε^ • = (3.19)
Por ejemplo, en la sección totalmente plastificada de la figura 3.8, las áreas A 1 solicitada a tensiones de fluencia de compresión y A 2 a tensiones de fluencia de tracción, serán iguales e igual a la mitad del área total. El eje neutro divide a la sección total en dos partes de áreas iguales, así:
A 1 + A 2 = A
A 1 = A 2 = A / 2
c^ z
y
y 1
A 1
A 2
c
c
1
2
y 2
f (^) f
f
y 2
y 1 max
max
f
f
n
Me Mp
n
*p
p Fig. 3.
El momento plástico interno de la sección se obtiene sumando el producto de cada área por la distancia desde su centroide al eje neutro, así:
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f p f 1 1 f 2 2 1 2
.A
M .A .y .A .y (y y ) 2
σ = σ + σ = +
Como
p 1 2 f
M
Z + =
σ
1 2 1 2
A(y y ) Z
Para materiales plásticos donde σf ˂ σf^ • , el momento plástico es M (^) p = Z1 2 ∗+ .σ (^) f. Donde Z1 2∗ + es
el módulo de flexión plástico de la sección cuando las tensiones de fluencia a tracción son menores que las de compresión.
Articulaciones plásticas.
Se considera que en una sección solicitada a flexión se forma una articulación plástica, cuando las tensiones de fluencia penetran en la sección y generan una rotación de la misma de tal magnitud, que a los fines funcionales podrán considerarse como una articulación con un momento aplicado de valor constante. Este momento es el momento plástico.
Una sección elástica se considera transformada en una articulación plástica cuando supere el límite elástico como lo indican los diagramas de la figura 3.6. Las rotaciones serán:
M
E.I
θ = para θ < θp y (^) p p p p
M
E .I
θ = para θ ≥ θp
La sección plastificada abarca una longitud determinada de la barra que depende de las cargas y de la geometría de la sección. Para el análisis se supone localizadas en los puntos donde los momentos son máximos, por ejemplo: bajo cargas concentradas, donde los esfuerzos de corte son cero, en los extremos de las barras que concurren a los nudos, y en los empotramientos.
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c
z (+)
y (+)
M z
yy M M
ff
ff
ff n
p
z
e
c
21 cm 5
4 10
yn
32 cm 3 cm
Problema 3. La sección rectangular de una viga de madera de 12 x 18 cm solicitada a un momento flector de 800 kg.m, se refuerza con una planchuela de acero de 0,8 x 5 cm fijada con pernos. Siendo Ea = 2,1 x 10 6 kg ⁄ cm^2 y Em =1 x 10 5 kg ⁄ cm^2 , determine las tensiones máximas.
σ*máx (madera) = -83,22 kg ⁄ cm^2 σmáx (madera) = + 45,47 kg ⁄ cm^2 σmáx (acero) = + 1.077,64 kg ⁄ cm^2
Problema 3. Para la sección de la figura con σf = σf *^ = 220 Mpa, determinar:
a) El momento elástico. b) La posición del eje neutro yn. c) El momento plástico Mp. d) El factor de forma de la sección.
Me = 2.945 Nm yn = 6,49 cm Mp = 4.520 Nm φ =
