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PRÁCTICA 10: Ecuaciones Diferenciales de primer orden
1. Si hay inicialmente 50 gramos de una sustancia radioactiva y al cabo de tres días quedan
solamente 10 gramos, ¿qué porcentaje de la cantidad original queda al cabo de 4 días?
Suponer que la rapidez de desintegración de una sustancia radioactiva es proporcional a
la cantidad de la sustancia presente.
N(t) = gramos en el instante t
N(0) = 50
N(3) = 10
( )
( ) ln ( ) ( )
kt
dN t dN
kN t kdt N kt C N t Ce
dt N
( )
3 3
3
10 50 3 ln 5 0.
k k
k
C
N
e e k k
N Ce
ü ü = = ï ï
ï ï ï ï
ï ï = =
ï ï
ï ï
( ) ( )
0.536479 2.
t
N t e N e
= = = gramos 11.6961% del inicio.
2. “El alcalde es……..”. El rumor se extiende entre la población de una ciudad de un millón
de habitantes a un ritmo proporcional al número de personas que aún no lo han oído. Al
cabo de tres días lo sabían 150.000 personas. ¿Cuánto tardará en saberlo el 75% de la
población?
x(t) = número de personas que lo han oído en el instante t
x(0) = 1
x(3) = 150.
( )
( )
( ) ( )
dx t dx dx
k x t kdt kdt
dt x t x t
ò ò
ln 1.000.000( ( )) 1.000.000 ( ) ( ) 1.000.
kt kt
x t kt C x t Ce x t Ce
( )
3
k
C
x
C
x Ce
ü = + ü
ï ï
ï ï ï ï
ï ï = = +
ï ï
ï ï
3 3
k k
e e k
( )
0,
t
x t e
( )
0,
t
x t e
0,
t
e t
= = días.
3. Un proyectil con masa de 2 Kg. es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 200
m/seg. La magnitud de la fuerza ejercida sobre el proyectil por la resistencia del aire es de
v/20. ¿En qué momento alcanzará el proyectil su máxima altura sobre el suelo? ¿Cuál es
la altura máxima?
( )
dv
m mg v
dv dv
dt v v
dt dt
v
ü
ï
ï = - -
ï ï
ï
= ï
ï
ï
40 ln 9, 81 0, 025 ln 9, 81 0, 025 0, 025
dv
dt v t C v t C
v
( )
( ) 0 200
0,025 0,
v
t t
v Ce v t C e C C
=
( )
0,
t
v t e
( )
0,025 0,
t t
v t e e
0,
0,66239 0, 025 ln 0,66239 0.411901 16,
t
e t t
= - = = - = segundos.
( )
0,025 0,
t t
x t e dt t e C
ò
x ( ) 0 = 0 0 = -23.696 + C C =23.
0,
t
x t t e x
= - - ⋅ + » metros.
4. Según la ley de Newton del enfriamiento, la velocidad a que se enfría una sustancia al aire
libre es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la
temperatura del aire es de 30º C y la sustancia se enfría de 100º C a 70º C en 15
minutos, ¿cuándo será 40º C la temperatura de la sustancia?
[ ]
( )
0 100 ln 30 30
kt
dT
k T
dt
dT
T kdt T kt C T Ce
T
T
ü
ï
= - ï
ï
ï
ï
ï ï
ï
ï
ï
=
ï
ï
ï ï
kt
T t Ce
T ( ) 0 = 100 100 = 30 + C C = 70
15 15
15 70 70 30 70 15 ln 0,
k k
T e e k k
( )
0,
t
T t e
( )
0,0373077 0,
t t
T t e e t
= = + = = minutos.
6. A un objeto con masa de 5 Kg. se le aplica una velocidad inicial hacia abajo de 50 m/seg.,
y luego se le deja caer bajo la influencia de la gravedad. Suponer que la fuerza en
Newtons debida a la resistencia del aire es de -10v, donde v es la velocidad del objeto
medida en m/seg. Determinar la ecuación de movimiento del objeto. Si el objeto se
encuentra inicialmente a 500 m. arriba del suelo, determinar en qué momento golpeará
contra la superficie.
( )
dv
m mg v
dv dv dv
dt v v dt
dt dt v
v
ü
ï
= - ï
ï ï
ï
ï
ï
ï
2
ln 9, 81 2 ln 9, 81 2 2 9, 81 2
t
v t C v t C v Ce
( )
( ) 0 50
2 2
v
t t
v Ce v t C e C C
=
( )
2
t
v t e
( ) ( )
2 2
t t
x t e dt t e C
ò
x ( ) 0 = 0 0 = -22.5475 + C C =22.
( )
2
t
x t t e
( )
2
t
x t t e
500 = 4, 905 t + 22, 5475 t = 21,9579 segundos.
PRÁCTICA 10
Ejercicio 1
resolver(N'(t) k ·N(t) ) N ( )t
c
e
k ·t
resolver
c
e
k ·
50
c
e
k ·
10
{ { c 50.,k 0.53648}}
N ( )t
50
e
0.53648 ·t
50
e
5.
5.
50
· 100 11.
Ejercicio 2
resolver(x'(t) k ·x(t) · (1000 x(t) ) )
ln ( x ( )t 1000 )
1000 ·k
ln ( x ( )t )
1000 · k
c t
resolver
ln ( 1 1000 )
1000 · k
ln ( 1 )
1000 · k
c
ln ( 50 1000 )
1000 ·k
ln ( 50 )
1000 · k
c 4
{ { c 6.9724,k 0.00099058}}
1/
v ( )t
4.905 · e
2.·t
45.
e
2.·t
d
4.905 · e
2.·t
45.
e
2.·t
t
4.905 ·t · e
2.·t
22.
e
2.·t
resolver
4.905 · 0 · e
22.
e
c 0
{ { c 22.548}}
x(t)
4.905 · t· e
2.·t
22.
e
2.·t
22.
resolver_numéricamente
4.905 · t· e
2.·t
22.
e
2.·t
22.548 500
{ t 97.34}
Ejercicio 5
resolver 2 · v'(t) 2 · 9.
v(t)
20
v ( )t
392.4 · e
0.025 ·t
c
e
0.025 ·t
resolver
392.4 · e
c
e
200 { { c 592.4}}
v ( )t
392.4 · e
0.025 ·t
592.
e
0.025 ·t
resolver
392.4 · e
0.025 ·t
592.
e
0.025 ·t
0 { { t 16.476}}
3/
d
392.4 · e
0.025 ·t
592.
e
0.025 ·t
t
392.4 ·t · e
0.025 ·t
23696.
e
0.025 ·t
resolver
392.4 · 0 · e
23696.
e
c 0
{ { c 23696.}}
x(t)
392.4 ·t · e
0.025 ·t
23696.
e
0.025 ·t
23696
392.4 · 16.476 · e
23696.
e
23696 1534.
Ejercicio 6
resolver ( T'(t) k · ( 30 T ( )t )) T ( )t
30 · e
k ·t
c
e
k ·t
resolver
30 · e
k ·
c
e
k ·
100
30 · e
k ·
c
e
k ·
70
{ { c 70.,k 0.037308}}
T ( )t
30 · e
0.037308 ·t
70
e
0.037308 ·t
resolver
30 ·e
0.037308 ·t
70
e
0.037308 ·t
40 { { t 52.158}}
4/
