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Una serie de ejercicios resueltos sobre la distancia de un punto a una recta en geometría analítica. Se abordan conceptos como la pendiente de una recta, la ecuación punto-pendiente, la ecuación vectorial de la recta, la forma paramétrica y simétrica de la recta, y el cálculo del área de un triángulo. Los ejercicios son detallados y explican paso a paso los procedimientos para resolver problemas relacionados con la distancia de un punto a una recta.
Tipo: Ejercicios
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Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto K( 2 , 0 ) y es
paralela a la recta que contiene los puntos A(− 3 , − 1 ) y B( 0 , 4 )
AB
𝑦
A
−𝑦
B
𝑥
A
−𝑥
B
(Pendiente de una Recta)
AB
AB
ℒ
5
3
(Rectas Paralelas)
Finalmente: ℒ: 𝑦 − 𝑦
K
ℒ
K
(Ec. Punto Pendiente)
5
3
Los vértices de un triángulos son los puntos 𝐀(−𝟑, 𝟏) , 𝐁(𝟐, 𝟒) y 𝐂(𝟎, −𝟖).
Hallar la ecuación de la altura trazada desde el vértice 𝐀 y su
distancia respectiva.
AD
1
6
AD
AD
AD
𝐀𝐃
Luego, para hallar la distancia d
AD
, sería:
Ahora: ℒ
BC
B
BC
B
) (Ec. Punto Pendiente)
BC
BC
BC
BC
BC
′
′
d AD
′
′
2
2
h =
2
2
Dada una recta 𝓵 que pasa por el punto 𝐏(𝟑, −𝟑) y tiene la dirección
del vector 𝒂⃖⃗ = (𝟐, 𝟒). Hallar la Forma Paramétrica y Simétrica de
dicha recta.
P( 3 , − 3 ) (Punto)
𝑝⃗ = ( 3 , − 3 ) (Vector del Punto)
𝑎⃗ = ( 2 , 4 ) (Vector Director)
𝓵: 𝑟⃗ = 𝑝 4 ⃗ + 𝑎 4 ⃗ 𝑡 (Ec. Vectorial de la Recta)
𝓵:
( 𝑥, 𝑦
( 3 + 2 𝑡, − 3 + 4 𝑡
)
𝒙 = 𝟑 + 𝟐𝒕
𝒚 = −𝟑 + 𝟒𝒕
(Ec. Paramétrica de la Recta)
Luego:
𝑥 = 3 + 2 𝑡 𝑦 = − 3 + 4 𝑡
𝑥 − 3 = 2 𝑡 𝑦 + 3 = 4 𝑡
𝑡 =
𝑥− 3
2
(1) 𝑡 =
𝑦+ 3
4
( 2 )
(1)=(2): 𝓵:
𝑥− 3
2
=
𝑦+ 3
4
(Ec. Contínua de la Recta)
𝓵: 4 (𝑥 − 3 ) = 2 (𝑦 + 3 )
𝓵: 4 𝑥 − 12 = 2 𝑦 + 6
𝓵: 4 𝑥 − 2 𝑦 = 6 + 12
𝓵: 4 𝑥 − 2 𝑦 = 18
𝓵: 2 𝑥 − 𝑦 = 9
𝓵:
2 𝑥−𝑦
9
=
9
9
𝓵:
2 𝑥
9
−
𝑦
9
= 1
𝓵:
2 𝑥
1
9
1
−
𝑦
9
= 1
𝓵:
𝑥
1
9
2 ⋅ 1
−
𝑦
9
= 1
𝓵:
𝒙
!
𝟗
𝟐
"
−
𝒚
𝟗
= 𝟏 (Ec. Simétrica de la Recta)
Las ecuaciones de los lados de un triángulo corresponden a las
rectas: 𝓛
𝟏
𝟐
: 2 𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 y 𝓛
𝟑
: 𝒙 + 𝒚 − 𝟐 = 𝟎. Hallar el
área conformada entre su centro de gravedad y los vértices que se
intersecan entre 𝓛
𝟏
y 𝓛
𝟐
, y entre 𝓛
𝟐
y 𝓛
𝟑
B
en (2): ( 1 ) + 𝒚 = 2
B
B
Punto de Intersección C:
𝓛
𝟏
𝓛
𝟑
C
en (1): ( 4 ) − 𝒚 = 6
C
C
Baricentro (G):
A
B
C
A
B
C
Area A
∆AGB
∆AGB
1
2 |
(Area Triangulo Analítica)
∆AGB
1
2
∆𝐀𝐆𝐁
𝟐
