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4 Unidad 1 | Matrices
1 Matrices
EJERCICIOS PROPUESTOS
1 y 2. Ejercicios resueltos.
3. Escribe una matriz A de orden 3 × 4 tal que:
1 si
si
3 si
ij
i
i j
i j
a ij i j
j i j
Haciendo los cálculos correspondientes tenemos
A
4. Los pueblos A , B , C , D y E están unidos por carreteras de doble sentido tal y como muestra el grafo de la
figura. Escribe la correspondiente matriz de adyacencia.
M
5 y 6. Ejercicios resueltos.
7. Calcula el valor de a , b y c para que las siguientes matrices sean simétricas.
2
a b
a a
A a B
c
Para la matriz A tenemos:
a a a
b b
c
Para la matriz B tenemos:
2 2 a + a = 6 ⇒ a + a − 6 = 0 ⇒ a = 2 a = − 3
Matrices | Unidad 1 5
8. Indica, razonadamente, si las siguientes matrices son o no escalonadas.
A B C
La matriz A sí es escalonada, ya que la fila formada por todo ceros ocupa el último lugar y el primer elemento no
nulo de las filas segunda y tercera está más a la derecha que el primer elemento no nulo de las filas primera y
segunda, respectivamente.
La matriz B no es escalonada, ya que el primer elemento no nulo de la segunda fila no está más a la derecha que
el primer elemento no nulo de la fila primera.
La matriz C no es escalonada, ya que el primer elemento no nulo de la segunda fila no está más a la derecha que
el primer elemento no nulo de la fila primera.
9 y 10. Ejercicios resueltos.
11. Dadas las matrices:
A B
Calcula:
a) 3 A + 2 B
b)
A − B
c) Comprueba que se verifica la propiedad
t t t A + B = A + B.
a)
A B
b)
A B
c) ( )
t
A B A B
t t t t A B A B
Matrices | Unidad 1 7
20. Dadas las matrices
A
y
B
, comprueba que se verifica la propiedad:
t t t AB = B A
( )
t
AB AB
t t
B A
**21. Ejercicio interactivo.
- Ejercicio resuelto.
- Calcula el rango de las siguientes matrices.**
A B C
→ − → −
→ −
2 2 1 3 3 2
3 3 1
4 2
7
4 5 6 0 3 6 0 3 6 rg( ) 2
F F F F F F
F F F
A A
2 2 1 3 3 2
3 3 1
2 2
4
2 3 6 0 5 6 0 5 6 rg( ) 2
F F F F F F
F F F
B B
→ − → −
→ −
2 2 1 2
rg( ) 1 3 5
F F F
C C
→ −
24. Aplica el método de Gauss para calcular el rango de:
A B
2 2 1
3 3 1
1 1 3 2 1 0 0 1 1 2 rg( ) 3
F F F
F F F
A A
→ −
→ −
1 2 3 3 1 3 3 2
4
2 1 2 3 0 1 4 4 0 1 4 4 0 1 4 4 rg( ) 2
F F F F F F F F
B B
↔ → − → −
25 a 27. Ejercicios resueltos.
8 Unidad 1 | Matrices
28. Aplicando la definición, calcula las matrices inversas de:
A B
Pongamos
−
1
a b
A
c d
, tenemos
1
a b a c b d
AA
c d a c b d
−
y, por tanto:
1 1
y 2, 1, 1, 1
a c b d
AA I a c b d A
a c b d
− −
Pongamos
1
a b c
B d e f
g h i
−
, tenemos
1
a b c a g b h c i
BB d e f d g e h f i
g h i g h i
−
y, por tanto:
1
a g b h c i a b c
d g e h y f i d e f B
g h i g h i
−
29. Calcula X de forma que AX + B = C , siendo:
A B C
( ) ( )
1 1 1
AX B C AX C B A AX A C B X A C B
− − −
Calculemos
1
A
−
con el método de Gauss-Jordan:
2 2 1 1 1 2 1 1
1
2 3
2 5 0 1 F F F 0 1 2 1 F F F 0 1 2 1 F F 0 1 2 1 2 1
A
−
→ + → − →−
Por tanto, ( )
1
X A C B
−
30. Calcula X de forma que XA − B = 2 C , siendo:
A B C
( ) ( )
1 1 1
XA B 2 C XA 2 C B XAA 2 C B A X 2 C B A
− − −
− = ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = +
Calculemos
1
A
−
con el método de Gauss-Jordan:
1 1 2 2 2
1
1 1
2 2
F F F F F
A
−
→ − →
Por tanto, ( )
−
1
X C B A.
10 Unidad 1 | Matrices
34. Una empresa monta ordenadores de dos tipos, de mesa y portátiles, y de tres calidades: alta, media y baja.
En un mes monta 100 ordenadores de cada tipo, de los cuales 20 son de calidad alta, 40, de media, y 40, de
baja para los de mesa, y 30 de calidad alta, 30, de media, y 40, de baja para los portátiles.
Para los ordenadores de mesa se invierten cuatro horas de montaje y siete de instalación del software, y
para los portátiles seis y ocho horas respectivamente.
a) Escribe la matriz A que determina el número de ordenadores montados atendiendo a su calidad (filas) y su tipo
(columnas).
b) Escribe la matriz B que determina el número de horas utilizadas de montaje y de software (filas) para cada tipo
de ordenador (columnas).
c) Calcula e interpreta la matriz
t
AB.
a)
Mesa Portátil
Alta 20 30
Media 40 30
Baja 40 40
A
b)
Mesa Portátil
Montaje 4 6
Software 7 8
B
c)
t
AB
Los elementos de esta matriz representan el número total de horas invertidas en un mes en montaje y software
(columnas) para cada calidad (filas), por ejemplo, el número de horas mensuales invertidas en instalación de
software para todos los ordenadores de gama media es de 520.
35. Observa el siguiente grafo e indica:
a) Todos los caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D.
b) Todos los caminos de longitud 4 que se pueden seguir para ir de C a A.
La matriz de adyacencia del grafo y sus potencias segunda, tercera y cuarta son:
2 3 4
M M M M
a) El número de caminos de longitud 3 que se pueden seguir para ir de C a D viene dado por el elemento de la
tercera fila y cuarta columna de
3
M , es decir, hay un único camino, en concreto, C → B → A → D.
b) El número de caminos de longitud 4 que se pueden seguir para ir de C a A viene dado por el elemento de la
tercera fila y primera columna de
4
M , es decir, hay dos posibles caminos, en concreto, estos dos caminos son
C → B → A → D → A y C → B → C → B → A.
36 a 45. Ejercicios resueltos.
Matrices | Unidad 1 11
EJERCICIOS
Matrices. Grafos
46. Dada la matriz:
A
a) Indica su dimensión.
b) Indica los elementos que forman su cuarta columna.
c) Indica los elementos que forman su tercera fila.
d) Indica el valor de los elementos 22 32 23 45
a , a , a , a
e) ¿Cómo designas la ubicación del elemento cuyo valor es −5? ¿Y del que es 0?
a) 3 x 6
b) 14 24 34
a = 4, a = 3, a = − 3
c) 31 32 33 34 35 36
a = −4, a = 1 , a = 3, a = −3, a = 2, a = 3
d) 22 32 23 45
a = − 1 , a = 1 , a = − 1 , a no existe
e) 12 26
− 5 = a , 0= a
47. Escribe una matriz cuadrada B de orden 3 tal que todos sus elementos verifiquen que = 2 − 3 + 1 ij
b i j****.
B
48. Escribe una matriz cuadrada C de orden 4 tal que sus elementos verifiquen que:
si
si
ij
i j
i j
c
i j
i j
C
Matrices | Unidad 1 13
Operaciones con matrices
53. Dadas las matrices:
A B
0 3 2 y 0 1 2
Calcula:
a) A + B A , − B y 2 A − 3 B b) AB y BA c) ABA
a)
A B A B A B
b)
AB BA
c) ( )
ABA AB A
54. Dadas las matrices:
A B C
Calcula:
a) 2 A + 3 B , A − 2 B − 3 C y 2 A − B + 4 C
b) ABC y BAB
c)
2 3
A B
a)
A B A B C A B C
b)
ABC BAB
c)
2 3
A B
55. Efectúa, si es posible, la siguiente operación matricial.
14 Unidad 1 | Matrices
56. Dadas las matrices:
A B C
a) Calcula ( + )
t
A B C.
b) Comprueba que ( )
t t t
A + B C = AC + BC.
c) Comprueba que ( )
t t t
AC = CA.
a) ( )
t A B C
b)
t t AC BC
c) ( )
t
t t t
AC CA
57. Dadas las matrices:
A B
a) Comprueba que ( ) =
t t t
AB BA.
b) Calcula ( )
t t t
AB BA.
a) ( ) ( )
t t t
AB AB
( ) ( )
t BA
b) ( ) ( )
t t t t t t AB BA BA BA BA
16 Unidad 1 | Matrices
61. Se consideran las matrices:
A B
a) Calcula el valor del elemento de la tercera fila y primera columna de la matriz =
t C AB.
b) Calcula el valor del elemento de la primera fila y tercera columna de la matriz
t D = BA.
c) ¿Cómo son estos valores?
a) Multiplicando la tercera fila de A por la primera columna de
t
B obtenemos 31
c = 26.
b) Multiplicando la primera fila de B por la tercera columna de
t
A obtenemos 13
d = 26.
c) Son iguales, ya que ( )
t t t t
C = AB = BA = D.
62. Dadas las matrices:
M N
a) Calcula −
2 2 M N.
b) Calcula ( ) ( )
M + N M − N.
c) Explica la razón de que ( ) ( )
2 2 M − N ≠ M + N M − N.
a)
2 2
M N
b) ( ) ( )
M N M N
c) Observemos que ( ) ( )
2 2
M + N M − N = M − MN + NM − N , como en general MN ≠ NM , se sigue que, en
general, − MN + NM ≠ O y ( ) ( )
2 2
M − N ≠ M + N M − N.
63. Sean las matrices
I y
A
. Calcula:
a)
2 3 4
A , A y A b)
2
A − 3 A + 2 I
a)
2 3 4
A A A
b)
2
A A I
Matrices | Unidad 1 17
64. Calcula la matriz X para que verifique la siguiente ecuación matricial:
X
X X
X X
65. Resuelve el sistema:
A B
A B
A B A B
A B A B
Sumando obtenemos
A A
A B A B
A B A B
Sumando obtenemos
B B
66. Resuelve el sistema
X Y A
X Y B
, siendo:
A B
X Y A X Y A
X Y B X Y B
Sumando obtenemos
Y A B Y
Despejando en la segunda ecuación:
X Y B
Matrices | Unidad 1 19
70. Aplicando el método de Gauss, calcula el rango de las siguientes matrices:
a)
A
c)
C
b)
B
d)
D
a)
→ +
→ +
2 2 1
3 3 1
1 2 3 0 4 6 rg( ) 2
F F F
F F F
A A
b)
→ − → +
3 3 1 3 3 2 2
0 1 5 0 1 5 0 1 5 rg( ) 3
F F F F F F
B B
c)
2 2 1 3 3 2
3 3 1
2 2
5
2 2 2 2 0 0 0 4 0 0 0 4 rg( ) 2
F F F F F F
F F F
C C
→ − → −
→ −
d)
2 2 1 3 3 2
3 3 1
3
2
3 6 8 3 0 0 3 20 18 9 0 3 20 18 9 rg( ) 2
F F F F F F
F F F
D D
→ + → −
→ +
71. Calcula el rango de la matriz, observando si existe dependencia lineal entre sus filas.
Observemos que 4 2
F = − F y 3 1 2
F = 3 F + 2 F , por lo que podemos eliminar la tercera y cuarta fila, obteniendo
rg rg 2 1 2 17 9 11
, ya que las dos filas que quedan no son proporcionales.
72. Calcula el rango de la siguiente matriz.
4 2 5 4 2 2 1 3 2
3 3 1
2 2 2 2
3
rg rg 2 1 0 1 2 rg 2 1 0 1 rg 0 3 2 1
F F C C F F F F F
F F F
=− =− → − =
→ −
rg 2
20 Unidad 1 | Matrices
Matriz inversa
73. Aplicando directamente la definición, calcula las matrices inversas de:
A B
Pongamos
−
1
a b
A
c d
, tenemos
1
a b c d
AA
c d a b
−
y, por tanto:
1 1
y 0, , 0,
c d
AA I a c b d A
a b
− −
Pongamos
1
a b
B
c d
−
, tenemos
1
a b a c b d
BB
c d a c b d
−
y, por tanto:
1 1
y , , , ,
a c b d
BB I a c b d B
a c b d
− −
74. Comprueba que las matrices A y B son inversas.
A B
Basta comprobar que AB = I , y, en efecto,
AB
75. Aplicando directamente la definición, calcula la matriz inversa de
A.
Pongamos
1
a b c
A d e f
g h i
−
, tenemos
1
a b c a g b h c i
AA d e f a d b e c f
g h i a g b h c i
−
y, por tanto:
1
a g b h c i a b c
a d b e y c f d e f A
a g b h c i g h i
−
22 Unidad 1 | Matrices
78. Dadas las matrices
A
y
B
a) Calcula ( )
−
− − −
1
1 1 1
, , 2 y
A B A B. c) Comprueba que
−
−
1
1
B B.
b) Comprueba que ( )
− −
=
1 1
A A
. d) Comprueba que ( )
−
− −
1
1 1
A B B A.
a)
−
→ + → − →−
→
2 2 1 1 1 2 1 1
2 2
1
2 5 1
5
1
5
F F F F F F F F
F F
A
−
↔ → + →
→−
1 2 1 1 2 1 1
2 2
1
1 2 3
2
1
2
F F F F F F F
F F
B
→ + → − →−
→
2 2 1 1 1 2 1 1
2 2
1 2 5
10
1
10
F F F F F F F F
F F
( )
−
1
A
−
↔ → + →
→−
1 2 1 1 2 1 1
2 2
1
3 2 3
2
3
2
F F F F F F F
F F
B
b) Es una comprobación directa.
c) Es una comprobación directa.
d) ( ) ( ) ( )
− −
− − − − −
1 1
1 1 1 1 1
A B B A B A B A
79. Dada la matriz
a c
A
c d
a) Comprueba que su rango vale 2 cuando ad − bc ≠ 0.
b) Comprueba que su inversa es:
−
1
1 d b
A
ad bc c a
c) Comprueba que
A tiene inversa y calcúlala.
a)
→ −
2 2 1
rg( ) rg rg
F aF cF
a c a c
A
c d ad bc
, por tanto, rg( A ) = 2 si y solo si ad − bc ≠ 0.
b)
−
1
a b d b ad bc
AA I
ad bc c d c a ad bc ad bc
c) Según el apartado anterior A tiene inversa y
−
1
A.
Matrices | Unidad 1 23
80. Dada la matriz
A
, calcula:
a) La matriz inversa de A. b) La matriz X que verifica la ecuación
AX.
a)
−
→ − → + →
1 1
1
1 2 3
2
3 1 0 1 F F F 0 1 3 2 F F F 0 1 3 2 0 1 3 2 3 2
F F
A
b)
−
1
AX X A
81. Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales.
a)
X
b)
X
c)
X
a) La matriz
tiene inversa,
, por tanto:
−
1
X
b) La matriz
tiene inversa,
−
−
, por tanto:
−
− − − −
X
c) La matriz
tiene inversa,
−
1
, por tanto:
−
1
X
