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2 Vibraciones y ondas
Hasta el momento, tanto en este curso como en los anteriores, hemos estudiado movimientos en los que los objetos se trasladan de un lugar a otro: un peso que cae, una pelota que se lanza, un coche que recorre una carretera, un satélite que órbita al rededor de un planeta... Sin embargo estamos rodeados de movimientos que tienen un carácter distinto. Se trata de las vibraciones y las ondas.
A.1 Indica ejemplos de objetos que vibren. Enumera fenómenos que sean habitualmente considerados como ondas. ¿qué relación podrías establecer entre vibraciones y ondas?
Pueden encontrarse muchos ejemplos familiares de vibraciones. Las barcas en el agua que suben y bajan, el péndulo de un reloj que oscila de un lado a otro, las cuerdas, las lengüetas y los parches de los instrumentos musicales que vibran al producir los sonidos. La característica más fácilmente reconocible del movimiento vibratorio es su periodicidad, es decir, se repite a sí mismo.
El movimiento ondulatorio está estrechamente ligado al movimiento vibratorio. Cuando taño una campana y se pone a vibrar, sus vibraciones se transmiten a través del aire, produciéndose una onda que llamo sonido; cuando el sonido llega a mi tímpano lo hace vibrar, y la decodificación que nuestro cerebro hace de esta vibración provoca la sensación auditiva. En general, la vibración de un cuerpo se trasmite al medio que le rodea, originando en él ondas que pueden producir vibraciones en otros objetos. Una onda no es más que una vibración propagándose. Evidentemente no todos los medios permiten la propagación de cualquier vibración, pero ésta es una cuestión que ya abordaremos a lo largo del tema.
1 El movimiento armónico simple
Como ya hemos indicado, la característica más relevante del movimiento vibratorio es su repetición a lo largo del tiempo. En cualquier oscilación existe un punto entorno al cual se producen desplazamientos cíclicos, en un sentido y en otro, que evolucionan de forma simétrica con el transcurrir del tiempo. A este punto se le llama punto o posición de equilibrio y juega un papel importante en la descripción del movimiento vibratorio.
Para que se produzca una vibración es necesario que cuando el objeto se aleje de su posición de equilibrio actúe sobre él una fuerza restauradora que se oponga a este cambio. Es por ello que escogemos el punto de equilibrio como origen de coordenadas. La posición respecto al punto de equilibrio recibe el nombre de elongación. Cuando la fuerza restauradora es en todo momento proporcional a la elongación, el movimiento vibratorio que se genera recibe el nombre de movimiento armónico simple.
1.1 Masa colgada de un muelle
Un montaje sencillo para generar un movimiento armónico simple consiste en una masa colgada de un muelle elástico. Un muelle es elástico si la fuerza con la que se opone a ser deformado (estirado o comprimido) es en todo momento proporcional a la deformación que padece (longitud que se estira o se comprime). La constante de proporcionalidad entre la fuerza ejercida por el muelle y su deformación se llama constante elástica del muelle y se denota por k.
A.2 Define la unidad de la constante elástica de un muelle.
En el equilibrio, el muelle compensa exactamente el peso de la masa que tiene colgada, de manera que la fuerza resultante sobre la masa es nula. Si estiramos ligeramente de la masa, la acción conjunta del muelle y la gravedad producen sobre la masa una fuerza resultante proporcional a la elongación, y que en todo momento se opone a ella. Veamos como esto es así.
Consideremos la masa m y el muelle elástico de constante k sobre el eje OZ que identificamos con la dirección vertical. Cuando la masa está en el punto de equilibrio (ver figura 2-b ), el muelle se habrá estirado una longitud l 0 , para que la fuerza que ejerce sobre la masa, , compense el peso de esta,. Concluimos que se satisface que.
Cuando la elongación de la masa es una cualquiera z (ver figura 2-c ), el muelle ya no está estirado una longitud l 0 , sino una longitud. La fuerza que ejerce sobre la masa es ahora , de manera que la fuerza resultante sobre la masa es
(1)
F =m a
La fuerza restauradora es proporcional a la elongación y opuesta a ella
La aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario
Dos formas de definir el movimiento armónico simple
Figura 2 Existen dos formas equivalentes de caracterizar un movimiento armónico simple, relacionadas por el segundo principio de la dinámica.
Figura 1 Adoptamos el origen de coordenadas en el punto de equilibrio, cuando la fuerza del muelle compensa el peso de la masa colgada de él. En esta situación el muelle se ha estirado una longitud l 0. En el dibujo se aprecia que para una elongación z<0 , la longitud que se estira el muelle es l 0 -z. Si la elongación fuera z>0 la longitud que se estira el muelle seguiría siendo l 0 -z.
Como habíamos adelantado la fuerza resultante sobre la masa es una fuerza recuperadora proporcional a la elongación. Evidentemente, en este caso particular, debemos trabajar siempre con elongaciones en valor absoluto menores que la longitud l 0 que se estira el muelle cuando en la posición de equilibrio compensa el peso de la masa.
En un movimiento armónico simple existe una relación muy sencilla entre la elongación y la aceleración. En el ejemplo considerado la podemos deducir escribiendo la ecuación del segundo principio de la dinámica, , para la componente z que es la única relevante
La aceleración resulta ser proporcional a la elongación y de signo contrario. Es ésta otra manera de caracterizar el movimiento armónico simple.
Si tenemos en cuenta que la aceleración es la derivada de la velocidad y, que a su vez, la velocidad es la derivada de la posición, podemos escribir la ecuación del movimiento armónico simple considerado como
Esta ecuación la podemos considerar válida para cualquier movimiento armónico simple de una masa m sometida a una fuerza recuperadora elástica de constante k. Se llama ecuación diferencial del movimiento armónico simple.
En un movimiento armónico simple la elongación debe ser una función del tiempo tal que su segunda derivada sea proporcional a ella misma, pero con un signo de diferencia. La función más sencilla que satisface esta condición es
(8)
Una consecuencia muy importante que podemos deducir de las relaciones hasta ahora obtenidas, es que la amplitud del movimiento armónico simple estudiado no influye en el periodo del mismo. Da igual que las oscilaciones de la masa sean mayores o menores, el tiempo que se emplea en realizar cualquiera de ellas siempre es el mismo. Así, aún cuando la ecuación que utilizamos no da cuenta del amortiguamiento, podemos imaginar que este fenómeno reducirá la amplitud del movimiento sin afectar a su periodo. Esta conclusión la podremos hacer extensible a cualquier movimiento armónico simple.
En el caso que nos ocupa, el periodo de la oscilación depende de los valores de la masa que oscila y la constante elástica del muelle al que se encuentra unida según la fórmula
En general serán las propiedades inerciales y elásticas del sistema oscilante las que determinaran el periodo de la vibración, aún cuando, como veremos más adelante, esto no quiere decir que siempre exista una dependencia del periodo con la masa.
A.5 La ecuación de un movimiento armónico simple en unidades SI es. Calcula: (a) La velocidad en cualquier instante. (b) La aceleración en cualquier instante. (c) La elongación para t = 3 s. (d) La velocidad y la aceleración para t = 4 s. (e) El valor máximo de la elongación, de la velocidad y de la aceleración. Solución: (a). (b). (c). (d) ,. (e) , , .
Es usual llamar fase al argumento de las funciones seno y coseno que aparecen el las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración. Es por ello que nos referimos a la constante como fase inicial.
El valor de la constante depende sólo de la elección de origen de tiempos. Si ello quiere decir que en la masa se encuentra en el punto de equilibrio moviéndose en sentido positivo. Este es el valor de fase inicial que se adopta por defecto si no existe indicación en contra.
A.6 La oscilación de una masa colgada de un muelle tiene una amplitud de 300 cm y se repite cuatro veces por segundo. (a) Determina la frecuencia, la frecuencia angular y el periodo de la vibración. (b) Escribe la ecuación del movimiento de la masa, suponiendo que en t = 0 s la masa pasa por el punto de equilibrio subiendo. (c) Determina la velocidad y la aceleración de la masa en cualquier instante. (d) Calcula su velocidad y aceleración en t = 1.2 s. (e) Indica los valores máximos de la velocidad y la aceleración. Solución: Siempre t en s (a) , ,. (b) con t en s. (c) con t en s y con t en s. (d) ,
A.7 Interpreta que querrá decir que la fase inicial de un MAS sea , o. A.8 La ecuación del movimiento de una partícula es. El tiempo que tarda en realizar una oscilación completa es de 2 s y la trayectoria que describe es un segmento de 12 cm de longitud sobre OX y coincidiendo su punto medio con el origen de coordenadas. Se sabe que en el instante inicial la partícula se encontraba a una distancia A/2 del origen, moviéndose en sentido positivo del eje OX. (a) Halla los valores de A, T y n. (b) Posición y velocidad de la partícula en el instante t = 1/6 s de iniciarse el movimiento. Selectividad 1995 Solución: (a) , ,. (b) , .
A.9 Una masa de 100 g cuelga de un muelle de constante elástica 6.4 N/m. Estiramos de la masa hacia abajo separandola 10 cm de su posición de equilibrio y la dejamos oscilar. Consideramos como instante 0s el instante en el que soltamos la masa. Calcula: (a) La amplitud, el periodo y la frecuencia angular. (b) La ecuación del movimiento. (c) El valor de
La ecuación de un movimiento armónico simple
z =Asin(ωt +ϕ)
Posición respecto al punto de equilibrio
Tiempo medido por un reloj
Depende de las propiedades elásticase ineciales del sistema que oscila
Depende del instante en el que comienza a medirse el tiempo
Depende de la intensidad de la acción que origina la oscilación
Figura 3 En la ecuación de un movimiento armónico simple podemos identificar dos variables y tres constantes. La variable independiente, t, es el instante de tiempo y la variable dependiente, z, es la elongación. La amplitud A, la frecuencia angular T, y la fase inicial n son constantes que no tienen ninguna relación entre sí. Sus valores están determinados por factores independientes unos los de otros.
Figura 4 Sobre la masa del péndulo actúa su peso y la fuerza del hilo. Cuando el péndulo no está en la posición de equilibrio el hilo sólo puede compensar la componente del peso que actúa en la dirección del hilo. La otra componente del peso juega el papel de fuerza restauradora.
la velocidad cuando la masa llega al punto de equilibrio. (d) El valor de la aceleración cuando la masa llega al punto más alto de su recorrido. (e) El tiempo que transcurre desde que soltamos la masa hasta que esta llega al punto de equilibrio.
Solución: (a) , ,. (b) con t en s.
(c) (d) (e)
A.10 Describimos la elongación de un mismo movimiento armónico simple mediante las ecuaciones: (a) y (b) ¿Qué relación existirá entre las dos fases iniciales?
1.2 El péndulo simple
Sin lugar a dudas la oscilación del péndulo es el movimiento vibratorio mas conocido. Es sencillo demostrar que para ángulos de oscilación pequeños también es un movimiento armónico simple.
Sobre la masa m de un péndulo actúan dos fuerzas, su peso, , de intensidad , dirigido en la vertical, y la fuerza con la que el hilo sujeta la masa, , llamada tensión del hilo, de intensidad T, dirigida en la dirección del hilo. En el punto de equilibrio, cuando la masa cuelga del hilo en reposo, la fuerza que hace el hilo sobre la masa compensa exactamente el peso de la masa. Pero cuando el péndulo oscila y la masa
Figura 5 Onda trasversal en una cuerda tensa. La dirección de vibración es perpendicular a la dirección de propagación de la onda.
2 Modelo mecánico sobre la naturaleza de las ondas
Como ya hemos indicado al comienzo del tema, podemos considerar una onda como una vibración que se propaga. Vamos a tratar de elaborar un modelo que desarrolle esta idea. Para ello intentaremos imaginarnos el mecanismo mediante el cual una oscilación puede llegar a transmitirse.
A.12 Un modelo de movimiento ondulatorio debe explicar como se produce y como se propaga una onda en un medio. Sugiere diversas respuestas a estos problemas.
En el presente tema nos vamos a centrar en el estudio de las ondas que se producen en medios elásticos, conocidas como ondas mecánicas. Cuando en un medio elástico desplazamos una porción del mismo respecto de su posición de equilibrio, generamos un movimiento vibratorio (un movimiento armónico simple si el medio es perfectamente elástico) de la porción considerada. Pero, las mismas propiedades elásticas que se encuentran en la base de la aparición de la vibración, hacen que ésta se propague de una capa del medio a la siguiente, produciéndose la onda como tal. En efecto, la porción que está oscilando actuará sobre lo que le rodea, presionará o estirará, y producirá nuevas vibraciones en porciones del medio colindantes con ella, proceso que se repetirá sucesivamente. A nivel microscópico, podemos imaginarnos que la onda está constituida por la vibración de las partículas del medio; esta vibración se trasmite de unas partículas a otras debido a las interacciones entre ellas.
Ejemplos fácilmente visualizables de ondas mecánicas en medios elásticos son las ondas que se propagan por una cuerda tensa, las que se generan en un resorte y las que se producen en la superficie de los líquidos.
A.13 Qué relaciones se pueden establecer entre cómo se mueven las partículas de un medio afectado por una onda y cómo se desplaza la vibración que constituye la onda. Propón algún montaje sencillo de realizar en el que esto pueda ponerse de manifiesto.
Una cuestión que debe quedar muy clara es que cuando una onda se propaga a través de un medio este no sufre un desplazamiento neto. Las diversas partes del medio oscilan en trayectorias limitadas, mientras están afectadas por la vibración, pero cuando esta cesa, se encuentran en la misma posición que al principio. Por ejemplo, en las ondas en el agua, pequeños objetos flotantes, como trocitos de corcho, muestran que el movimiento real de las diversas partes del agua es muy reducido. Sin embargo, las ondas en el agua avanzan continuamente a lo largo de la superficie del agua.
Podemos distinguir distintas clases de ondas al considerar como están relacionados los movimientos de las partículas de materia con respecto a la dirección de propagación de las ondas mismas. Si los movimientos de las partículas de materia que transportan la onda son perpendiculares a la dirección de propagación de la onda, decimos que se trata de una onda transversal. Por ejemplo, cuando en una cuerda vertical sometida a tensión se pone a oscilar uno de sus extremos, avanza por la cuerda una onda transversal. La perturbación se mueve a lo largo de la cuerda, pero las partículas de la misma vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la perturbación (Ver figura 5 ).
Figura 6 Onda longitudinal generada en un resorte. La vibración se produce en la misma dirección en la que se propaga la onda
Figura 7 Ondas en la superficie de un líquido. Se ha representado la trayectoria de siete partículas de agua diferentes afectadas por una onda superficial que viaja hacia la derecha.
Por otra parte, si el movimiento de las partículas que transmiten una onda mecánica es de vaivén en la dirección de propagación, tenemos una onda longitudinal. Por ejemplo, cuando un resorte vertical sometido a tensión se pone a oscilar hacia arriba y hacia abajo en uno de sus extremos, avanza una onda longitudinal por el resorte (ver figura 6 ).
Algunas ondas no son ni puramente longitudinales ni puramente transversales. Por ejemplo, en las ondas en la superficie del agua, las partículas se mueven tanto hacia arriba y hacia abajo como hacia adelante y hacia atrás, describiendo trayectorias elípticas (casi circulares) conforme van pasando las ondas en el agua (ver figura 7 ).
A.14 Trata de establecer que características deberá tener un medio para que en él se propaguen ondas tanto longitudinales como transversales.
Una onda transversal sólo podrá propagarse en un medio en el que las partículas estén unidas entre sí, es decir, en un sólido. Sin embargo una onda longitudinal puede propagarse en cualquier tipo de medio, estén las partículas unidas entre sí o no; se desplazará tanto en sólidos como en fluidos (líquidos y gases). Un ejemplo clásico de esta distinción lo constituyen las ondas sísmicas transversales (ondas S) y longitudinales (ondas P); las ondas S no se propagan en el núcleo de la Tierra, lo que permitió descubrir a los geofísicos que se encuentra en estado de fusión.
A este respecto es necesario advertir que también se pueden producir ondas transversales en la superficie de separación entre un líquido y un gas; un ejemplo son las que aparecen en la superficie del agua. Pero debe quedar claro que estas ondas no se propagan "por el agua" sino "por la superficie del agua". Este fenómeno se debe a las especiales propiedades que posee la interfase (superficie de separación) gas- líquido, cuestión que escapa por completo al propósito de este curso.
A.15 Hemos visto como en una onda no hay transporte neto de materia. ¿Qué se propaga entonces?
Anteriormente comentamos que la propagación de una onda no implica el desplazamiento, en su conjunto, de la materia del medio por el que se trasmite. Lo que si que podemos considerar que se propaga es la energía y la cantidad de movimiento. Como iremos estudiando a lo largo del curso, las ondas son una forma muy efectiva de transmitir energía y cantidad de movimiento a grandes distancias.
(10)
Figura 10 Perfil de una onda trasversal en un instante dado. La propagación de la onda tiene lugar en la dirección horizontal y la vibración en la vertical. La longitud de onda es la distancia que separa dos puntos afectados por la onda que se encuentran en el mismo estado de vibración, por ejemplo, dos puntos que en el instante considerado posean una elongación máxima.
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3 Ecuación del movimiento ondulatorio
Nuestro objetivo va a ser elaborar un modelo matemático que de cuenta de como se propaga una vibración por un medio elástico, es decir, construir una ecuación que nos proporcione el valor de la perturbación que se propaga en cualquier punto del medio y en cualquier instante. A esta ecuación se le llama ecuación de ondas y puede ser extraordinariamente complicada. Nosotros constreñiremos nuestro estudio a las ondas armónicas que son las generadas por la propagación de un movimiento armónico simple.
3.1 Magnitudes para la descripción de un movimiento ondulatorio
A.17 Indica las magnitudes necesarias para describir una onda. Puedes tomar como ejemplo la onda producida en la superficie de un líquido.
En la medida en que la onda supone la propagación de una vibración, las magnitudes propias de la vibración son magnitudes propias de la onda.
La amplitud A de una onda es la amplitud de la vibración que propaga y corresponde al valor de la máxima elongación (máxima separación respecto al punto de equilibrio) que padecen las partículas del medio. El valor de la amplitud depende de la fuente de oscilación que genera la onda, y puede ir modificándose conforme la onda se expande.
El período T de una onda es el período de la vibración que propaga y corresponde al intervalo de tiempo necesario para que cualquier punto del medio complete una oscilación. Como el período de una onda permanece inalterado a lo largo de su propagación, aún cuando la amplitud de la onda disminuya, su valor coincide siempre con el del periodo de la oscilación que genera la onda.
Relacionadas con el período, y por lo tanto invariantes a lo largo del proceso de propagación de la onda, podemos considerar las magnitudes frecuencia y frecuencia angular. La frecuencia representa el número de oscilaciones completas que por unidad de tiempo realiza una partícula del medio afectada por la onda y, como ya indicamos, su valor es la inversa del periodo
En las ondas sonoras la frecuencia recibe el nombre de tono. Las altas frecuencias corresponden a los tonos agudos y las frecuencias bajas a los graves. La relación entre la frecuencia y la frecuencia angular T también ha sido establecida con anterioridad
Pero además de estas magnitudes propias de la vibración, en una onda podemos considerar otras dos: la longitud de onda y la velocidad de propagación.
Llamamos longitud de onda a la distancia que separa dos puntos afectados por la onda que se hallan en el mismo estado de vibración, es decir, dos puntos que se encuentran en la misma posición y poseen la misma velocidad y la misma aceleración.
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zona todavía no afectada por la onda
distancia x rexorrida por la onda en un intervalo de tiempo x/v
P
foco de la onda
posiciones de equilibrio
Figura 11 Consideramos que la onda se propaga en la dirección del eje OX y en sentido positivo mientras que la vibración se produce en la dirección del eje OY. Establecemos como x=0 la posición de equilibrio del foco. Si la onda viaja con velocidad v , llegar desde el foco hasta el punto P de posición x le costará un intervalo de tiempo x/v. La vibración del punto P estará retrasada respecto a la vibración del foco un intervalo de tiempo x/v.
Llamamos velocidad de propagación v a la velocidad con la que se desplaza la onda. Su valor depende del medio por el que la onda se transmite. La relación entre longitud de onda y velocidad de propagación es muy sencilla. Si la longitud de onda es la distancia que separa dos puntos afectados por la onda que se encuentran en el mismo estado de vibración, el tiempo que debe trascurrir para que la onda se desplace de un punto a otro ha de coincidir con el periodo de la vibración que se está transmitiendo. La longitud de onda es, por tanto, el desplazamiento efectuado por la onda en un periodo
3.2 Ecuación de ondas unidimensional
Las ondas pueden clasificarse en función del número de dimensiones en las que se propagan. Las ondas que se transmiten a lo largo de una cuerda tensa o un resorte son unidimensionales : avanzan sólo en una dirección. Las ondas que se generan al arrojar una piedra a un estanque son bidimensionales : se expanden por una superficie. Las ondas sonoras son tridimensionales : se extienden en todas direcciones a partir del foco en el que se generan. Comenzaremos estudiando la ecuación de ondas unidimensional y posteriormente veremos como se podría generalizar para los casos de ondas bidimensionales y tridimensionales.
Vamos a plantearnos escribir la ecuación de la onda que se produce al propagarse en la dirección OX un movimiento armónico simple que tiene lugar en la dirección OY. Podemos adoptar como ejemplo de referencia la onda producida en una cuerda tensa cuando sometemos a uno de sus extremos a un movimiento armónico simple. Supongamos que hemos escogido el extremo de la cuerda como origen, x = 0 , y que la ecuación de su movimiento armónico simple es
de manera que y = 0 corresponde al punto de equilibrio de la cuerda. Si la onda avanza en sentido positivo, el movimiento armónico de un punto cualquiera de la cuerda de posición x estará retrasado respecto al movimiento armónico simple del origen en el intervalo de tiempo que a la onda le cuesta llegar desde el origen al punto x
La constante k recibe el nombre de número de ondas ya que es sencillo demostrar que representa el número de longitudes de onda contenido en una distancia
La relación del número de ondas con la longitud de ondas es similar a la existente entre la frecuencia angular y el periodo
(18)
Solución: Consideramos que el instante 0s es el instante en el que el foco comienza a vibrar. (a) La ecuación de movimiento del foco es con t en s, y la
ecuación de la onda es con t en s y x en m. (b) La
ecuación de la elongación es con t en s; la ecuación de la velocidad es con t en s. (c) La elongación es y la velocidad es.
A.20 La ecuación de una onda es , donde x e y se expresan en centímetros y t en segundos. Calcula: (a) La frecuencia y la velocidad de propagación de la onda. (b) El tiempo que ha de transcurrir desde el instante inicial para que un punto situado a 4 cm del origen tenga velocidad máxima (en valor absoluto). (c) Indica el sentido en el que se propaga la onda y escribe la ecuación de una onda similar, pero que se propague en sentido contrario. Selectividad 1991 Solución: (a) ,. (b) El punto tiene velocidad máxima cada vez que pasa por la posición de equilibrio. Una solución es , pero no es la única solución. Como el movimiento se repite con una periodicidad de , cada semiperiodo, es decir, cada , el punto pasa por la posición de equilibrio con velocidad máxima. La solución general sería con n = 0, 1, 2... (c) La onda se propaga en sentido positivo del eje OX. La ecuación de la misma onda propagándose en sentido negativo sería.
Las ecuaciones (16) y (17) las hemos deducido pensando en un movimiento armónico simple producido en el eje OY que se propaga a lo largo del eje OX , pero las podemos aplicar al caso de cualquier tipo de perturbación, tal como podrían ser las oscilaciones de presión asociadas a una onda sonora, o la elongación de los puntos de un muelle por el que se propaga una onda longitudinal. En general la ecuación de ondas se escribe como
donde la función representa la magnitud cuya variación se propaga a lo largo del eje OX. El signo negativo corresponde a la propagación en sentido positivo y el signo positivo a la propagación en sentido negativo. Evidentemente la amplitud A tendrá las unidades correspondientes a la magnitud cuya perturbación se propaga.
A.21 Escribe la ecuación de una onda cuyas características son: velocidad 3 m/s, frecuencia 2 Hz, amplitud 5 cm, elongación en el instante y en la posición inicial 2,5 cm, propagación en el sentido negativo de la dirección OZ.
Solución: con t en s y z en m.
A.22 Una onda armónica se propaga por un medio con una velocidad de 300 m/s, una frecuencia de 100 s -1^ y una elongación máxima de 2m. Un punto P que dista 3 m del origen tiene elongación máxima en el instante inicial. (a) Escribe la ecuación de la onda suponiendo que se propaga en el sentido positivo del eje OY. (b) Calcula el tiempo que ha de transcurrir desde el instante inicial para que el punto P tenga velocidad máxima.
Solución: (a) con t en s e y en m. El punto P tiene
velocidad máxima cada vez que pasa por la posición de equilibrio. Una solución es , pero no es la única solución. Como el movimiento se repite con una periodicidad de , cada semiperiodo, es decir, cada , el punto pasa por la posición de equilibrio con velocidad máxima. La solución general sería
Los parámetros de la ecuación de ondas
f(x, t)= Asin(ωtmkx+ϕ)
Depende de la frecuencia de la fuente
Depende del instante en el que comienza a medirse el tiempo
Depende de la amplitud de la fuente
ω T = 2 π kλ = 2 π
λ=Tv
Depende de las propiedades del medio
Depende de las propiedades del medio
T
ν =^1
Figura 13 En la función de onda aparecen cuatro parámetros, cada uno de los cuales depende de factores distintos. La amplitud, A , depende la amplitud de la oscilación que origina la onda (la fuente de la onda). En esta ecuación consideramos que la onda se propaga manteniendo constante su amplitud, más adelante veremos como se puede generalizar para dar cuenta de la disminución de la amplitud que suele acompañar a la propagación de la onda. La frecuencia angular, T, siempre es igual a la frecuencia angular de la oscilación que origina la onda, aún cuando la amplitud disminuya al propagarse la onda. Lo mismo que decimos de la frecuencia angular podemos afirmar de las dos magnitudes asociadas con ella: el periodo T y su inversa la frecuencia <. El número de ondas, k , y su magnitud asociada la longitud de onda 8 dependen de las propiedades del medio por el que se propaga la onda. Aún cuando la longitud de onda y el periodo, así como sus respectivas magnitudes asociadas, están relacionados por la fórmula indicada en el esquema, se trata de parámetros independientes, ya que dicha fórmula involucra a la velocidad de propagación de la onda que depende de las propiedades del medio por el que se propaga la onda. Como en el caso del movimiento armónico simple, la fase inicial n depende del instante escogido como 0s.
A.23 Una partícula oscila armónicamente a lo largo del eje OX alrededor de la posición de equilibrio x = 0 con una frecuencia de 200 Hz. (a) Si en el instante inicial t = 0 s la posición de la partícula es x 0 = -10 mm y su velocidad es nula, determinad en qué instante será máximo el valor absoluto de su velocidad. (b) Si la partícula forma parte de un medio material, cual será la longitud de onda del movimiento ondulatorio que se propaga a lo largo del eje OX sabiendo que la velocidad de propagación es 340 m/s. (c) Ecuación de la onda que se propaga en sentido negativo del eje OZ. Selectividad 1996 adaptado Solución: (a) El valor absoluto de la velocidad de la partícula es máximo cuando pasa por el punto de equilibrio; esto ocurre un cuarto de periodo después de iniciarse el movimiento, en el instante ; y vuelve a suceder cada semiperiodo, es decir, cada. La solución general sería con
n = 0, 1, 2... (b). (c) con t en s y z
en m.
A.24 A lo largo de un resorte se produce una onda longitudinal con la ayuda de un vibrador de 50 Hz de frecuencia. La distancia entre dos compresiones sucesivas es de 16 cm. Determinad: (a) La velocidad de la onda. (b) La ecuación de la onda, suponiendo que la amplitud de es de 5 cm, que en el instante t = 0 s el foco se encuentra en la posición de equilibrio con velocidad negativa y que se trata de una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje OY. (c) La velocidad y la aceleración de un punto del resorte que se encuentra a 6 cm del foco en el instante t = 3 s Selectividad 2001 adaptado
(24)
(23)
(25)
Figura 14 Cuando la onda se propaga por una superficie a partir de una fuente puntual los frentes de onda son circulares y los rayos radiales.
(22)
Decimos que dos puntos afectados por una onda están en fase cuando se encuentran en el mismo estado de vibración. Esta circunstancia se puede caracterizar de dos formas diferentes. La más inmediata es teniendo en cuenta la definición de longitud de onda. Dos puntos están en fase cuando la distancia que los separa es un múltiplo entero de la longitud de onda.
También podemos afirmar que dos puntos están en fase cuando la diferencia de fase entre ellos es múltiplo de.
Si tenemos en cuenta la relación (21) resulta evidente que ambas condiciones son equivalentes.
Diremos que dos puntos afectados por una onda están en oposición de fase cuando se encuentran en estados de vibración opuestos, es decir, con elongaciones y velocidades de la misma intensidad y signo contrario. También ahora es posible caracterizar esta circunstancia de dos maneras distintas. La distancia entre los puntos debe ser un múltiplo impar de la semilongitud de onda
y la diferencia de fase entre los puntos un múltiplo impar de B
Por su puesto, como antes, las dos condiciones son equivalentes.
A.28 La ecuación de una onda es estando x e y en metros y t en segundos. (a) Halla todas las características de esa onda: amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia y velocidad de propagación. (b) Da la posición de varios puntos de la cuerda que vibren en fase. (c) Da la posición de varios puntos de la cuerda que vibren en oposición de fase. Selectividad 1988 adaptado Solución: (a) , , , ,. (b) Los puntos que vibran en fase están separados entre si una distancia múltiplo entero de la longitud de onda. Los puntos de posiciones , , , están en fase entre si. (c) Los puntos que vibran en oposición de fase están separados entre si una distancia múltiplo impar de la semilongitud de onda. Los puntos de posiciones y , están en oposición de fase. Los puntos de posiciones y están en oposición de fase.
3.4 Propagación de ondas en dos y tres dimensiones
Imaginemos una piedra lanzada a un lago tranquilo. Los rizos circulares se esparcen hacia afuera desde el punto en que la piedra entró en el agua. A lo largo de un rizo circular todos los puntos están en el mismo estado de vibración. Estos puntos definen una línea llamada frente de onda. En general llamamos frentes de onda al conjunto de todos los puntos afectados por la onda que se encuentran en el mismo estado de vibración. Dos frentes de onda sucesivos están separados en una longitud de onda.
Si el medio es de densidad uniforme, la dirección del movimiento de las ondas forma un ángulo recto con el frente de ondas. La línea normal a los frentes de onda que indica la dirección del movimiento de las ondas se llama rayo.
Figura 16 (a) Onda plana. Los planos representan frentes de onda espaciados en una longitud de onda, y las flechas representan rayos. (b) Onda esférica. Los frentes de onda, espaciados en una longitud de onda, son superficies esféricas y los rayos están en dirección radial
Figura 15 Si hacemos vibrar un objeto rectangular sobre la superficie del agua generaremos ondas que en su parte central serán lineales.
Los frentes de onda pueden tener muchas formas. Una fuente central en la superficie del agua produce ondas bidimensionales con frentes de onda circulares y rayos que salen hacia afuera a partir del punto de la perturbación. En cambio, un palo muy largo arrojado horizontalmente al agua produciría cerca de su centro perturbaciones que viajan como líneas rectas, y cuyos rayos serían líneas rectas paralelas.
La analogía tridimensional en la cual las perturbaciones viajan en una sola dirección es la onda plana. En un instante dado, los puntos de cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación se encuentran en el mismo estado de vibración. Los frentes de onda son planos y los rayos son líneas rectas paralelas.
La analogía tridimensional de las ondas circulares son las ondas esféricas. Aquí la perturbación se propaga hacia afuera en todas direcciones desde una fuente puntual de ondas. Los frentes de onda son esferas y los rayos son líneas radiales que salen de la fuente puntual en todas direcciones. Lejos de esta fuente los frente de onda esféricos tienen una curvatura muy pequeña, y dentro de una región limitada pueden considerarse a menudo como planos. Por su puesto existen muchas otras formas de frentes de ondas posibles.
La ecuación de onda unidimensional deducida en la sección anterior sirve para describir la propagación de oscilaciones armónicas que originan ondas lineales en dos dimensiones u ondas planas en tres dimensiones, siempre que consideremos que la propagación de la onda se produce sin pérdidas energéticas, de manera que la amplitud permanece constante.
Sin embargo esta ecuación no puede utilizarse si se trata de ondas circulares u ondas esféricas. En estos casos, conforme la onda avanza el número de puntos afectados es mayor, por lo que necesariamente la amplitud de la oscilación debe disminuir. No introduciremos ecuaciones para ondas circulares o esféricas y la cuestión suscitada la abordaremos más adelante al estudiar los aspectos energéticos del movimiento ondulatorio. También veremos entonces como se pueden tener en cuenta las pérdidas energéticas que se producen al propagarse una onda.
4 Estudio energético del movimiento ondulatorio
Ya hemos comentado antes que una onda no genera un desplazamiento neto de materia. En un movimiento ondulatorio, al propagarse la vibración lo que se propaga es la cantidad de movimiento y la energía a ella asociada. Así, en una onda armónica la energía que se trasmite es la del movimiento armónico simple de que se trate.
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Figura 17 Oscilación de la energía potencial, denotada U (t) , y de la energía cinética, denotada K(t). Se ha supuesto que en el instante t=0s el sistema se encuentra en el punto de equilibrio. La suma de la energía cinética y la energía potencial permanece constante y coincide con los máximos respectivos. En cada periodo tanto la energía cinética como la potencial oscilan dos veces.
Teniendo presente la conocida relación trigonométrica y que se puede demostrar que la energía total permanece constante, siendo su valor el correspondiente al de los máximos de energía potencial y cinética
El valor de la energía total asociada a una oscilación depende de las características del sistema, en concreto de la constante de la fuerza recuperadora, y de la amplitud.
A.30 Un cuerpo de 10 kg de masa describe un movimiento armónico simple de 30 mm de amplitud con un periodo de 4 s. (a) Calcula la energía cinética máxima de dicho cuerpo. (b) ¿Qué se puede decir de la energía potencial del cuerpo en el instante en el que su energía cinética es máxima? (c) ¿Cual será el valor de la energía total del movimiento armónico simple considerado? Selectividad 1997
Solución: (a) (b) Cuando la energía cinética es máxima la energía
potencial es nula. (c) Por lo dicho antes, la energía total en cualquier instante coincide con el valor máximo de la energía cinética.
A.31 ¿Cual es la relación entre la energía cinética y la energía potencial de un punto que vibra armónicamente en los instantes en que la elongación es: (a) x = A/4; (b) x = A/2 y (c) x = A Dato: A es la amplitud de la vibración. Selectividad 1994 Solución: La relación, para cualquier valor de x, es
En (a) A/x = 4 por lo que se obtiene que E (^) c = 15E (^) p y en (b) A/x = 2 por lo que E (^) c = 3E (^) p En (c) la energía cinética es nula y toda la energía es energía potencial.
4.2 Intensidad de una onda
A. 31 Hasta el momento hemos empleado el término intensidad como un concepto intuitivo sin definirlo formalmente. ¿Cómo se podría definir la intensidad de una onda? ¿Que magnitud de la onda estaría relacionada con la intensidad?
Cuando una onda se propaga en una dirección determinada, si considero una superficie S normal a esta dirección, a través de ella no se produce un flujo neto de materia, pero si que tiene lugar un flujo neto de energía. Llamamos potencia de la onda a través de a la superficie S considerada, a la cantidad de energía que atraviesa dicha superficie por unidad de tiempo. Si en un intervalo de tiempo la energía que ha atravesado la superficie S es la potencia de la onda a través de la superficie S es
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Figura 18 Perfil de una onda amortiguada. Cuando una onda se amortigua lo único que cambia es su amplitud. Su frecuencia y velocidad de propagación permanecen constantes.
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La magnitud potencia se utiliza para describir cualquier tipo de flujo de energía (probablemente la habrás utilizado al describir el funcionamiento de máquinas). Su unidad en el Sistema Internacional es el watt (W) y representa un intercambio de energía de un joule por cada segundo. Una onda tendrá una potencia de un watt a través de una superficie dada cuando transporte a través de dicha superficie una energía de un joule cada segundo.
La intensidad de la onda es la potencia trasmitida a través de la unidad de superficie normal a la dirección de propagación de la onda
La unidad de intensidad de onda en el Sistema internacional es el W/m 2 y no posee un nombre específico. Una onda tiene una intensidad de 1 W/m 2 cuando en cada segundo transporte una energía de 1 J a través de una superficie normal a la dirección de propagación de 1 m 2
A.33 ¿Qué magnitudes propias de la onda determinarán su intensidad?
Teniendo en cuenta las expresiones obtenidas en (28) para la energía total de un movimiento armónico simple, resulta obvio que en cualquier onda mecánica armónica la intensidad de la onda es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia angular.
Si dos ondas tienen la misma amplitud, pero diferente frecuencia, es más intensa la onda cuya frecuencia es mayor. Cuando con un instrumento musical producimos notas de la misma amplitud, la intensidad de las notas agudas es mayor que las de las notas graves. En el caso de una onda de frecuencia dada, cuanto menor sea la amplitud menor será la intensidad.
4.3 Amortiguación: atenuación y absorción
A. 34 Cuando producimos una perturbación en la superficie de un líquido o en el extremo de un muelle observamos como la onda producida va desapareciendo conforme avanza. ¿Podemos considerar que la onda se frena al ir perdiendo intensidad?
Conforme una onda se propaga la vibración que trasmite se amortigua. En su momento llamamos la atención sobre el hecho de que la amortiguación de una vibración sólo afecta al valor de su amplitud, que disminuye conforme transcurre el tiempo, sin que el periodo ni la frecuencia se alteren. Ahora debemos añadir que cuando se trata de una onda la amortiguación no afecta a la velocidad de trasmisión ni, por lo tanto, a la longitud de onda.
El que una onda mantenga constantes todas sus características, aun cuando su intensidad disminuya, es algo que, si bien no estamos acostumbrados a ver, si que estamos habituados a oír. Ya señalamos que la frecuencia de un sonido es lo que identificamos como tono, las frecuencias altas son los tonos agudos y las frecuencias bajas los tonos graves. Si un sonido aumentase o disminuyese de frecuencia al amortiguarse, las notas de los instrumentos musicales se escucharían más agudas o más graves conforme más alejados de ellos nos encontráramos. Por otra parte, si la velocidad de propagación de un sonido disminuyera con la intensidad, se podría dar la circunstancia de que los sonidos de mayor intensidad adelantaran a los de menor intensidad.
